Analisi 2 - Moltiplicatori di Lagrange Esercizi

Moltiplicatori di Lagrange

β(x,y) = x⁴ + y² g(x,y) = x² - y - 1

M = {(x,y) ∈ R² : g(x,y) = 0}

CON MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE

SCRIVO LA FUNZIONE LAGRANGIANA

ℒ(x,y,λ) = x⁴ y² - λ (x² - y - 1)

• ℒ'_x(x,y,λ) = 2x - 2λx → 2x(1 - λ) = 0
• ℒ'_y(x,y,λ) = 2y + λ = 0
• ℒ'_λ(x,y,λ) = -x² + y + 1 = 0

PRIMA EQUAZIONE SODDISFATTA PER x=0 E λ=1

• CASO 1: x=0 P₁(0, -1, 2) → STAZIONARIO
• CASO 2: λ=1 P₂(√₂/2, √₂/2, 1) P₃(√₂, -1/2, 1)

MATRICE HESSIANA ORLATA

H =

1. [ 0 2x -1 ] [ 2x 2-2λ 0 ] [-1 0 2 ]

SOSTITUISCO I VALORI x, y, λ con P₁

detP₄ [ 0 0 0 0 -2 0 7 0 0 2 0 0 -1 2 3 0 ] = 0 + 0 + 0 - 0 + 2 = Z Z > 0 P₄ MASSIMO LOCALE

SOSTITUISCO I VALORI x y P₂

detP₂ [ 2 0 0 0 0 2/√2 0 -2/√2 0 -1 2/√2 2/√2 ] = 0 + 0 + 0 - [-2/√2 2/√2 0 2/√2] = -(s)² = -4 < 0 P₂ MINIMO LOCALE

SOSTITUISCO I VALORI x y P₃

detP₃ [ 2 -√2 0 0 -√2 0 0 -2/√2 0 -1 2/√2 0 ] = -4 < 0 P₃ MINIMO LOCALE

6 FEBBRAIO 2014 MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE

g(x,y) = y-x² g(x,y,z) = x²y²-4 H_z = { ξ(x,y)∈R² : g(x,b) = 5 }

FUNZIONE LAGRANGIANA

L(y,x,z,λ) = y-x²-λ(x²y²-4)

L'_x(y,x,z,λ)→ 2x-2xλ → -2x(1+λ) = 0 L'_y(y,x,z,λ)→4x²y = 0 L'_λ(y,x,z,λ) → x²y²-4 = 0

• CASO x=0

2y = 1 - y = ¹/_2η y = ^-1/₂ 1 (1/2η)²4 = 4/4ζ

λ = ± ¹/₄

Punto stazionario

P₁ (0,0) che però non si trova dentro il quadrato

Lato AB

(x,0)

g(x) = g(x,0) = x² con x ∈ [0,1]

P₂ (0,0) P₃ (0,1) → che sono il punto A e B

Lato BC

(1,y)

g(x) = g(1,y) = 1-y² con y ∈ [0,1]

P₃ (1,0) P₄ (1,1) → che sono il punto B e C

Procedo con gli altri due lati ugualmente (sostituo per trovare i vettori il Max e il Min)

g(A)= g(B)= g(C)= g(D)=