formulario analisi 2

Serie di potenze

∑_n=0^∞ a_n(x-x₀)ⁿ

∑_n=0^∞ &frac{1}{n^λ}

λ = (α, β)

f_x (x, y) = &frac;∂ f(x, y)}{∂ x}

f_y (x, y) = &frac;∂ f(x, y)}{∂ y}

Criterio del rapporto

ρ = ∑ |a_n| |a_n+1| ≈ a_n^1/n

ρ = +∞ se r = 0

ρ = 0 se r = +∞

Se ∑ |a_n|uⁿ

Serie trigonometriche

Serie di Fourier: a₀ +∑_n=1^∞ [a_ncos(nx) + b_nsen(nx)]

CONVERGENZA ∑ a_n|uⁿ∑ |b_n| a_n = &frac{2}{π} ∫₀^π f(x)cos(nx) dx

Criterio della radice

√ ⁿ√^u_n

Sviluppi di Taylor

e^t ≈ 1 + t + &frac{t²}{2!} + …

sen t ≈ t - &frac{t³}{3!} + …

Differenziabilità

Piano tangente f differenziabile in (x₀, y₀)

Minimo relativo interno ∇f(x₀, y₀) = 0

det Hf(x₀, y₀) > 0

Hf = MATRICE HESSIANA

Hf = [f_xx f_xyf_xy f_yy]

λ=(α;β)

Formula del gradiente (derivata direzionale)

f_λ(x₀) = f_x(x₀)⋅α + f_y(x₀)⋅β

Converge se 0≤x≤1

Diviene se x <-1

Serie di potenze

Criterio del rapporto

Scelte Telese Fosses

Serie trigonometriche

Serie di Fourier: a₀/₂ + ∑_m=1^∞[a_mcos(mx) + b_msen(mx)]

Criterio della radice

Sviluppi di Taylor

cosx=1-_t²/₂

Differenziabilità

Piano tangente f differenziabile il (x₀;y₀) in R²

Minimo relativo interno

Massimo relativo interno

Matice Hessiana

f_xxf_xyf_yxf_yy

Gradiente di f

Gradiente senza spazi

Curva semplice

Φ curva semplice⇔ Φ(t₁) ≠ Φ(t₂) [non si autointerseca]

Curva chiusa

Φ(a,b) → ℝΦ(a) = Φ(b)

Curva regolare

|Φ'(t)| = √[x'₁(t)]² + [x'_m(t)]² ≠ 0 [sto escludendo curve che hanno spigoli]

Versore tangente

T(t₀) = ^Φ'(t₀)/_|Φ'(t0)| = ^x'(t₀)/_{√[x'(t)]² + [y'(t0)]²} , ^y'(t₀)/_{√[x'(t0)]² + [y'(t0)]²}

Retta tangente

y = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀)

Versore normale

N(t₀) = ^y'(t₀)/_{√[x'(t0)]² + [y'(t0)]²} , -^x'(t₀)/_{√[x'(t0)]² + [y'(t0)]²}

Condizioni di regolarità

loop-catches: [x'(t)]² + [y'(t)]² > 0 ecc. reguli. [ρ'(Θ)]² + [ρ'(Θ)]² > 0

Lunghezza di una curva

Lunghezza sostegno e solo se la curva è semplice curve rettificabili

sup L(P) ≠ ∞ L(P) = regulares Φ curva regolare

Lunghezza

L(Φ) = ∫_a^b |Φ'(t)| dt [si può estendere alle curve regolari a tratti]

Ascissa curvilinea

S(t) = ∫_t0^t |Φ'(ξ)| dξ = ∫_t0^t √[x'(ξ)]² + [y'(ξ)]² dξ

Lunghezza di un arco di curva regolare

L = ∫_x0^x₁ √1 + f'(x')² dx curva in forma cartesiana y = f(x) x = [x₀, x₁]

= ∫_t0^t₁ √[x'(τ)]² + [y'(τ)]² dτ forma parametrica x(t), y(t) t ∈ [t₀, t₁]

= ∫_Θ0^Θ₁ √[ρ'(Θ)]² + ρ(Θ)² dΘ forma polare ρ = ρ(Θ), Θ ∈ [Θ₀, Θ₁]

Integrali curvilinei di funzioni

s = ascissa curvilinea f: (^{♣ ♣} (♠) ℝ²

∫f d s = ∫_Δ f(x(t), y(t)) √[x'(t)]² + [y'(t)]² dt non dipende dalla parametrizzazione di Δ scelta.

μ curva regolare con supporto in Ax

• {_x(t) = xt ∈ [a, b]
• y(t) = y baricentro x̅₀ = ¹/_L(χ) ∫ x ds
• y̅₀ = ¹/_L(χ) ∫ y ds

Forma differenziale lineare

ω a(x, y)dx + b(x, y)dy ω è di classe C^∞ ed: a, b ∈ C^∞

ω definita in un aperto A ⊆ ℝ² è esatta se ∃ f: f(x, y) d.f.m. differenziabile in A t.c. ω = d f(⇔ ^a = ∂f_x b = ∂f_y⇾ f è costante = primitiva di ω

Integrale curvilineo della forma differenziale w lungo mu

w = f(g(t), y(t)) se FDL esatta se w = 0 mu curva chiusa regolare w FDL esatta

g³w chiusa in un aperto A ⊆ R²²

a(x, y, t) _{∂x ∂c(x, y, t) ∂x∂z}

Aperto semplicemente connesso

• Se ogni curva regolare &in; ∀ R

Rassomenando

1. (CN) su FDL esatta ↔ w = 0
2. (CN) su FDL esatta ↔ w chiusa in A

Differenziale conservativo in un irrotazionale

(CN) Affinchè un dominio sia normale rispetto ad un asse → deve essere chiuso e limitato (compatto)

Dominio normale rispetto all'asse x

D: { a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x) } α, β &in; C⁰ ([a, b])

Dominio normale rispetto all'asse y

D: { c ≤ y ≤ d, φ₁(y) ≤ x ≤ φ₂(y) } φ₁(y) ≤ φ₂(y)

Area di un dominio normale piano

μ(D) = ∫_a^b [ β(x) - α(x) ] dx

μ(A) = ∫_c^d [φ₂(y) - φ₁(y)] dy

Formule di riduzione per gli integrali doppi

f ∈ C⁰(A) A dominio normale A normale rispetto asse X

∫∫_A f(x, y) dxdy = ∫_a^b ( ∫_α(x)^β(x) f(x, y) dy ) dx

A normale rispetto asse Y

∫∫_A f(x, y) dxdy = ∫_c^d ( ∫_φ1(y)^φ₂(y) f(x, y) dx ) dy

A normale rispetto entrambi gli assi (per esempio quando φ(y) = A è un rettangolo)

∫_a^b ( ∫_c^d f(x, y) dy ) dx = ∫_c^d ( ∫_a^b f(x, y) dx ) dy

Baricentro di A

A dominio limitato B = (γ_x, γ_y)

γ_x = ¹⁄_{μ (A)} ∫∫_A x dxdy   γ_y = ¹⁄_{μ (A)} ∫∫_A y dxdy

Area (misura) di un dominio A (limitato)

→ μ(A) = ∫∫_A dxdy

1^a Teorema di Guldino

D : dominio normale del piano

X = asse che non contiene punti interni di D

κ = angolo di rotazione

Volume

V(S(disc)) = μ(D) l(γ₁) = μ(D × γ₀) = d ∫∫_D y dxdy

V(S(solido)) = π ∫∫_D x dxdy   se ruoto attorno all'asse y

D : Solido descritto dalla rotazione di D intorno a X di un angolo di ampiezza d ha volume pari al prodotto della misura di D per la lunghezza dell'arco di circonferenza descritta dal baricentro di D nella rotazione.

D Dominio Normale Regolare

d(x), β(x) ∈ C¹[a, b]

d(x) La frontiera di un dominio regolare è l'unione finita di curve regolari ⇒ 2 versioni tangente & 2 versione normale

+D = frontiera di D positiva quando la normale è orientata verso l'esterno del dominio

Formule di Gauss-Green (G.G.)

D dominio regolare del piano; f(x, y) ∈ C¹(D)

∬_D ∂f(x, y)/∂x dydy = ∫_+D f(x, y)dy

∬_D ∂f(x, y)/∂y dxdy = - ∫_+D f(x, y)dx

1° Applicazione G.G. ⇒ Formule d’area di un dominio piano regolare

I° μ(D) = ∬_D dxdy = ∫_+D xdy

II° μ(D) = ∬_D ydx

III° μ(D) = 1/2 ∫_+D xdy - ydx

2° Applicazione G.G. ⇒ Teorema della Divergenza

D: dominio regolare

F = (F₁, F₂) campo vettoriale ∈ C¹(D)

∬_D divF dxdy = ∫_+D ds = flusso del campo F uscente dal bordo del dominio D = prodotto scalare di F = (F₁, F₂) con il vettore normale a +D rivolto verso l'esterno del dominio

3° Applicazione G.G. ⇒ Formula di Stokes

∫_+D F₁ dx + F₂ dy = ∬_D ( ∂F₂/∂x - ∂F₁/∂y ) dxdy

Cambiamento di variabili negli integrali doppi

D₁ ⊂ dominio regolare ∈ &Ropf;² ∃ φ: ⊂ D₁

φ: (u, v) ∈ D¹ → (x, y) ∈ D t.c. φ(D¹) = D e applicazione invertibile &in; D¹ con det(∂x/∂u, ∂y/∂v) ≠ 0 in D

∫∫_D f(x, y)dxdy = ∫∫_D¹ f(φ₁(u, v), φ₂(u, v)) |det J| dudv

x = ρcosΘ

y = ρsenΘ

∫∫_D f(x, y)dxdy = ∫∫_D¹ f(ρcosΘ, ρsenΘ) ρdρdΘ

Integrali tripli

E dominio normale rispetto al piano:

• (x, y) E = { (x, y, z) ∈ D ∈ &Ropf;², α(x, y) ≤ z ≤ β(x, y)}
• (x, z) E = { (x, z, y) ∈ D ∈ &Ropf;², α(x, z) ≤ y ≤ β(x, z)}
• (y, z) E = { (y, z, x) ∈ D ∈ &Ropf;², α(y, z) ≤ x ≤ β(y, z)}

Formule di riduzione

Dominio normale: D rispetto a un asse in &Ropf;³

a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)

∫∫∫_E f(x, y, z) dxdydz = ∫_D dxdy ∫_α(x)^β(x) f(x, y, z) dz

Es. sezione E in piano x = costante

∫_a^b∫∫_α(x)^β(x) f(x, y, z) dxdydz = ∫_a^b dx ∫_α(x)^β(x) dy ∫ ∫ f(x, y, z) dz

Coordinate cilindriche

x = ρcosΘ

y = ρsenΘ

z = z ρ > 0 Θ ∈ [0; 2π)

ρ = √(x²+y²) det J_c = ρ

Coordinate sferiche

x = ρsinΦcosΘ

y = ρsinΦsinΘ

z = ρcosΘ

ρ ∈ [0; +∞)

Θ ∈ [0;π/2]

Φ ∈ [0;π]

∫∫∫_S dxdydz = ∫∫∫_T²(S) ρ²sinΦ dρdΦdΘ

Coordinate sferiche adattate all'ellissoide

x = x_o + aρ cosΘ senφ

y = y_o + bρ sinΦ sinφ

z = z_o + cρ cosφ

det J_σ = abc ρ² sec φ(x-x₀)²/a² + (y-y₀)²/b² + (z-z₀)²/c² ≤ 1

Area circonferenza

A(c) = πr²

Volume sfera

V(S) = ⁴/₃ πr³

Area ellisse

A(E) = abπ

Volume ellissoide

V(E) = ⁴/₃ abc π

Baricentro corpo solido omogeneo Ω

Ω = ¹/_V(Ω) ∭_Ω x dx dy dz | ∭_Ω y dx dy dz | ∭_Ω z dx dy dz

Momento d'inerzia di Ω rispetto a una retta r

I = ∬_r δ²(x, y, z) ρ(x, y, z) dx dy dz dt

D = dominio connesso D' = punti interni di D.

Superficie

Superficie regolare

Φ è una sup. regolare se sono verificate le condizioni:

• (i) Φ ∈ C¹(D) ⟺ x(u, v), y(u, v), z(u, v) ∈ C¹(D)
• (ii) Φ è invertibile in D ⟺ ∀(x, y, z) ∈ Φ(D') ∃! (u, v) ∈ D' t.c. Φ(x, y, z) = Φ(u, v)
• (iii) Lo Jacobiano ha rango 2 in D ⟺ J ̸= 0 in un minimo 2x2 con det ≠ 0

D Φ =   x   y   z A(u, v) = det           ( ∂x/∂u ∂x/∂v)             ( ∂y/∂u ∂y/∂v) ( ∂z/∂u ∂z/∂v)

B(u, v) = -det        ( ∂x/∂v ∂x/∂u)           ( ∂y/∂v ∂y/∂u) ( ∂z/∂v ∂z/∂u)

C(u, v) = det   ( ∂x/∂u ∂x/∂v)        ( ∂y/∂u ∂y/∂v) ( ∂z/∂u ∂z/∂v)

(iii’) (A, B, C) ̸= (0, 0, 0) ∀ Φ(u, v) ∈ D’ A² + B² + C² > 0 ∀ Φ(u, v) ∈ D’

Piano tangente a S in P ∈ Φ(D’)

A(x₀, y₀, z₀) (x−x₀) + B(y₀, z₀) (y−y₀) + C(z₀, x₀) (z−z₀) = 0

P = (x₀, y₀, z₀) = Φ(u₀, v₀)

Area di una superficie regolare

A(S) = ∫_S dσ = ∬_D √A(u, v)² + B(u, v)² + C(u, v)² | d¹(u, v) | du dv

2° Teorema di Guldino

Area di superficie di rotazione

L’area della sup.zia generata dalla rotazione di un arco di una curva regolare e semplice γ intorno a una retta a cui essa complanare e non l’interseca è data dal prodotto della lunghezza della curva moltiplicato per la lunghezza dell’arco di circonferenza descritto dai baricentri di p_i sulla rotazione.

Integrale superficiale

∫_S c°(Σ)∫∫_D f^{(u, v)} √a²+b²+c² du dv

Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie

⟨F₁, m⟩ dσ = ∫∫_D (F₁A + F₂B + F₃C) du dv

F = (F₁, F₂, F₃) m = normale

Baricentro di Σ superficie nel materiale

x_B = 1/A(Σ) ∫∫ x(u, v) √a²+b²+c² du dv Σ omogenea

Divergenza

Divergenza = funzione scalare

div F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Rotore

=> campo vettoriale

rot F = ( ∂F₃/∂y - ∂F₂/∂z , ∂F₁/∂z - ∂F₃/∂x , ∂F₂/∂x - ∂F₁/∂y )

Teorema della divergenza in ℝ³

∫∫∫_D div F dx dy dz = ⟨F₁, m⟩ dσ_+∂D

m = versore normale orientato verso l'esterno di D.

Teorema di Stokes

∫⟨rot F₁, m⟩ dσ = ∫ F₁ dx + F₂ dy + F₃ dz_+∂S