Analisi 2 - Esercizi integrali tripli

Integrali tripli

V 11/12 R1. Calcolare il valore di f (x, y, z) dxdydz dove:

a] f (x, y, z) = 1; E = (x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 2x - x ; 0 ≤ z ≤ 1

b] f (x, y, z) = 1; E = (x, y, z) : z > x + y ; x + y + z ≤ 1

c] f (x, y, z) = 1; E = (x, y, z) : x + y ≤ z ≤ x - y

d] f (x, y, z) = 1; E = (x, y, z) : 0 ≤ z ≤ 1 + y - x; 0 ≤ y ≤ 1 - x

e] f (x, y, z) = 1; E = (x, y, z) : x + + z < 4; x + + (z - 2) < 49 9p

f] f (x, y, z) = e z - y ; E = (x, y, z) : 0 ≤ y ≤ z ≤ 1; 0 ≤ x ≤ zn o√ 2

g] f (x, y, z) = xz; E = x - z(x, y, z) : 0 ≤ x, z ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 7

h] f (x, y, z) = xy + z x + y ; E = (x, y, z) : x + y ≤ z ≤ 12

i] f (x, y, z) = xy + z ; E = [0, 3] × [0, 2] × [0, 1]

j] f (x, y, z) = xy + z ; E = (x, y, z) : x + y + xy ≤ z ≤ x + y + xy

1. z) = ; E = (x, y, z) : z < x + y ≤ z + 22 2 z(x + y ) e ¡ ¢√2− 2π e−2 π 2 π 28 27 2Soluz. (elencate in ordine crescente): , π, , π, , , , , 2π e − 3 , 10π.16 12 8 3 3 2 15 2(Un ringraziamento a Giuliano Giudici per la segnalazione di alcuni errori di calcolo.)2 2 22.
2. Calcolare il volume della regione delimitata dal cilindro di equazione x + y = a e dall’iperboloide2 2 2 2di equazione x + y − z = −a .
3. La regione E ⊂ R è l’insieme limitato che si ottiene intersecando la superficie di equazionez = log (xy) con il cilindro, con generatrici parallele all’asse z, che si proietta sulla regione A =© ª2(x, y, 0) : x ≤ y ≤ 2, x ≥ 1/2 . Calcolare il volume di E.
4. Calcolare il volume della regione E ⊂ R contenuta all’interno del cilindro di equazione x + y = 1,2 2e delimitata dal paraboloide di equazione z = x + y − 2 e dal piano di equazione x + y + z = 4.