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Forme differenziali esatte
1) Stabilire se ω è esatta e, se sí, determ.
ω = xdx + ydy
dFx = ∂Fy/∂y = 0 → è esatta (Derivate parz. in croce)
F(x,y) = ∫xdx → x2/2 + g(y)
∂F/∂y(x,y) = 0
→ ∂F/∂y = ∂F(x,y)/∂y
g'(y) = b = ∫g'(y)dy = y2/2
F(x,y) = x2/2 + y2/3
2) ω = (2x + 5xy3)dx + (15xy2 + 2y)dy
∂F1/∂y = 15y2, ∂F2/∂x = 15y2 → è esatta
F(x,y) = ∫(2x + 5xy3)dx → ∫2x + 5xy3dx =
2x2/2 + 5y3x
F(x,y) = x2 + 5xy3 + g(y)
fy(x,y) - ∂F(x,y)/∂y + g'(y) = 15y2 + 2y
g'(y) = 2y
∫g(y) = y2
F(x,y) = x2 + 5xy3 + y2
3)
ω = sinx dx + cosy dy
∂f2/∂x = 0
∂f1/∂y = 0
è esatta
fx = sinx dx
∫sinx dx = -cosx
F(x,y) = -cosx + ρ(y)
fy(x,y) = ∂F(x,y)/∂y + ρ'(y) = cosy > ρ'(y) = cosy
ρ(y) = siny
F(x,y) = -cosx + siny
6)
(x2y + y2 + 1)dx + (x3/3 + 2xy)dy = ω
∂f2/∂y = x2 + 2y
è esatta
∂f2/∂x = 3x2/3 + 2y = x2 + 2y
fx(x,y) = (x2y + y2 + 1) dx > ∫(x2y + y2 + 1) dx -
x3/3 y + xy2 + x
F(x,y) = x3/3 y + xy2 + x + ρ(y)
fy = ∂F(x,y)/∂y + ρ'(y) = x3/3 + 2xy > x3/3 + 2x y ρ'(y)
ρ'(y) = 0
ρ(y) = 0
F(x,y) = x3/3 y + xy2 + x
a)
F(x,y) = xcosy + y3cosx + ϕ(y)
fy = ∂F(x,y) / ∂y + ϕ'(y) = 3y2cosx - xsinx
-xsinx + 3y2x + ϕ'(y) = 3y2cosx - xsinx
ϕ'(y) ≡ 0
F(x,y) = xcosy + y3cosx
b)
ω = (2xyz + z2 - 2y2 + 1)dx + (x2 - 4xy)dy + (x2y + 2x - 2)dz
∂f1 / ∂y - ∂f2 / ∂x → 2xz - xy = 2xz - 4y
∂f2 / ∂z - ∂f3 / ∂y → x2 - x2
∂f3 / ∂z → 2xy + z2 = 2xy + 22
fx = (2xyz + z2 - 2y2 + 1) dx →
∫fx dx = 2x2y2 + xz2 + x3 - 2xy2 + tx
F(x,y,z) = x2y2+ xz2 - 2x2y2 + tx + β1(y,z)
fy = ∂F(x,y,z)/∂y + β1(y,z) = x3 - 4xy
x2xy + β1(y,z) = x2 - 2xy
x2xy + β1(y,z) ≡ 0
F(x,y,z) = x2y2 + xz2 - 2x2y2 + tx + β2(y,z)
fz = ∂F(x,y,z)/∂z + β2(y,z) = xy + 2x - 2
x2y + 2x + β2(y,z) = x2 + 2x - 2 → β2(y,z) ≡ -2
β2(y,z) ≡ -2
F(x,y,z) = x2y2 + xz2 - 2x2y2 + tx - 22
11 Tau Calcolare
∮ dx - dy / (x + y + z) y percorso chiuso
∮01 y = -x + 1 ∮02 y = x - 1 ∮03 y = -x - 1 ∮04 y = x + 1 verifico fe è orale
∂f/∂y = -1/(x+y+z)2 quì è orale
∂f/∂x = +1/(x+y+z)2
Uso la definizione:
∮ω → ∫+[f1(x(t),y(t))x'(t) + f2(x(t),y(t))y'(t)]dt ↔
∮1 x(t)=t y(t)=-t+1 1 ≤ t ≤ 0 x'(t)=1 y'(t)=-1
∫01 dt = ∫0 1(1) + 1 // −t+1+2 // −t+1+2 )dt = ∫0 1[1/3 + 1 / 3 ]dt = ∫012 / 3 dt = 2 / 3
= - (2/3)
∮2 x(t)=-t y(t)=-t+1 0 ≤ t ≤ 1 x'(t)=-1 y'(t)=1
∫0 1 dt = ∫0 1-1 / -t + 1
+ ⨀7/−t+1+2 _= -> 1 0 -1+1 / -2 t + 3 = ✯
∮3 x(t)=t y(t) = t - 1 0 ≤ t < 1 x'(t)= -1 y'(t)=1
∮4 x(t)=t y(t)=t-1 o ≤ t ≤ o1 x'(t)=1 y'(t)=1
F(x,y) = 2x-y/(1+x²)² - 1/1+x² = ω
Dire se F ammette potenziale e in caso affermativo det il potenziale.
Verifico se ω esatta.
∂F/∂y = 2x/(1+x²)²
∂F/∂x = -1(+2x)/(1+x²)² + 2x/(1+x²)² è esatto!
Ammesso potenziale: Parto da fy = b!!!
fy = b -> ∫ -y/1+x² dy -> -y/1+x²
F(x,y) = -y/1+x² + ϱ(x)
fx = ∂F(x,y)/∂x + ϱ'(x) = 2x/(1+x²)²
ϱ'(x) = 0 -> ϱ(x) = 0
F(x,y) = -y/1+x²
a) F(x,y,z) = (2y+1, 2x-1, 2z) Dire se ammette potenziale e se sì, calcolalo.
∂f1/∂y = ∂f2/∂x -> b = 2 α
∂f2/∂z = ∂f3/∂y -> 0 = 0 α è esatto -> Ammette Potenziale
∂f1/∂z = ∂f3/∂x -> 0 = 0 α
F(x,y) = 1/2 ln(x2 + y2)
ρ(y) = 0
ω = (1/y2 + x - sen(x-y)) dx + (2y/y2 + x + sen(x-y)) dy
Stabilire se ω è definito e calcolare
∫E ω con E: y=√(4-x2)
Verifico se è esatta
∫e ω = F(P1) - F(P0)
∂f/∂y = -2y/(y2 + x) + cos(x-y)
∂f/∂x = -2y/(y2 + x) + cos(x-y)
F(x,y) = ln(y2 + x) + cos(x-y) + ρ(cy)
ρ(y) = 0
- F(x,y) = [ln(y2 + x) + cos(x-y)](0,2)(0,0) = [ln2 + cos2] - [ln1 + cos1]
∂f(x,y)=15xy2+2y
(e)
(x2y2+1) dx + (x3+2x+y)dy=w
fx=...fy... -> fxdx=x3y+x y2+x
∫fx dx = x3y + xy2 + x
F(x,y)= x3y/3+xy2+x + φ(y)
Φ'(y)=0Φ(y)=0
F(x,y)= x3y/3 + xy2 + x
∂(x3y)/∂y= x3/3 + 2xy
2xy = 2xy (o)
Fxy=x/1+y2
F(x,y)=x/1+y2
∂(x3y)/∂x= x/1+y2
Massimi e minimi liberi
f(x,y) = 3x2y + x3y
- ∂f/∂x = 3x2 + y = 0 ⇒ y = -3x2
- ∂f/∂y = 3y2 + x = 0 ⇒ 3(3x3)(x + x) = 0
→ ∞ 3(3x4 + x)4 + y ⇒ x → (2x7 + λ) = 0
- x = 0
- c.d.u. : x = 0
- (27x)3x4λ = 0
- y = 0
P1 = (0,0) P2 = (−1/3, −1/3)
- ∂2/∂x2 = 6x
- ∂2/∂x∂y = ∂/∂x(∂f/∂y)= 1
- ∂2/∂y2 = 6y
u P1 : H =
- (0x 1)w 0 (1 6y)w 0
- → det H = −1
- 1 < 0
delle
→ det H =
- ( 0 -2)w
- -3λ = 370 |
det H = 320 e A < 0
2
f(x,y)= 2(x2 + y2 + 1) + (x4 + y4) − 2x2y2 + 2 x4 − y4
- ∂f/∂x = 4x − x3 = 0 ⇒ x − x3 = 0
- y − y3 = 0 (x,y) = 0
- (x,y) = ±1
P1 = (0,0) P2 = (1,1)
uP1 = (0,0)
- detH = (1-3x2 020 1-3y2)w 4 > 0
- A > 0 YE6
detH(P2) = (−2 0) (0 -2)
→ 4 > 0
det > 0 A < 0 MAX
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