Analisi 1 – raccolta

Z Z Z Z

1 1 2

x

dx g) xe dx h) tan x dx

e) dx f ) 2/3

p 2 x(log x)

−

x 1 log x √

Z Z Z Z

1 x

2 −

i) dx j) 7x cos(3x 5) dx k) cos x sin x dx l) dx .

2 2

sin 2x cos (3x + 5)

4. Calcolare per parti i seguenti integrali.

Z Z Z

−x

(a) x sin x dx (b) 2xe dx (c) log(1 + x) dx

Z Z Z

2 2

−

(d) 2x log(x 5) dx (e) x log (5x) dx (f) (x + 1) cos x dx

Z Z Z p

x 2

−

(g) 2x arctan x dx (h) e sin x dx (i) 1 x dx .

5. Calcolare i seguenti integrali di funzioni razionali.

2 − −

Z Z Z

2x 3x + 7 3x 4 3x

(a) dx (b) dx (c) dx

2 3

− − −

x 5 x 6x + 8 x 1

5 4 5

− −

Z Z

Z x 3x + x + 3 x x +1

9x + 8

(d) dx (e) dx (f ) dx .

3 2 2 4 2

−

x + 2x + x + 2 x 1 x + x

6. Calcolare i seguenti integrali, usando le opportune sostituzioni. √

x −

Z Z Z

e sinh x x + x 1

(a) dx (b) dx (c) dx

2x x

− −

e 3e + 2 cosh x +1 x 5

Z

Z Z Z

1 p p p

√ √ 2 2 2

− −

(d) dx (e) 1 x dx (f ) 1 + x dx (g) x 1 dx

3

2x( 2x + 1) −

Z Z Z

2 cos x 3 1

sin x dx (j)

(h) dx (i) dx .

2

2 3

(1 + tan x) 4 sin x + 3 cos x

−

sin x cos x + 1

7. Calcolare i seguenti integrali definiti √ √

1 2 16 3

− −

Z Z Z Z

x 1 log(2x + 1) t 3

√ −

(a) dt (d) 4|x 1| arctan x dx .

dx (b) dx (c)

2 2

−

x 4 (2x + 1) −

t 3 t +2

0 0

0 9

8. Calcolare le seguenti aree:

(a) Area delimitata dal grafico della funzione 1

1 1

√

f (x) = +

+ 2

x x

x

∈

e dall’asse della x, per x [1, 4].

(b) Area della regione piana R compresa tra il grafico della funzione

 2

x + x ≤

 se 0 x < π

f (x) = 6 ≤ ≤

sin x se π x 2π



e l’asse delle x. x

−e −e)

(c) Area della regione R del piano xy compresa tra la curva di equazione y = e la retta per A= (1, e

−1).

B= (0,

(d) Area della parte di piano compresa tra il grafico della funzione

2

−

f (x) = (x 1) log(x + 4)

∈

e l’asse delle x, per x [0, 1].

(e) Area della parte di piano compresa tra il grafico della funzione

x 2x

− e

e

f (x) = 2x

1 + e

√

h i

1

∈

e l’asse delle x, per x log , log 3 .

√ 3

9. Sia |x| −1 ≤

se x < 1

f (x) = 2

− ≤ ≤

16 x se 1 x 3.

a) Calcolare la media integrale µ di f sull’intervallo [−1, 3].

∈

b) Dire se esiste un punto c [−1, 3] per cui f (c) = µ.

10. Data la funzione 2

h(x) = x log(x + 1)

(a) trovare tutte le primitive di h;

(b) trovare la primitiva di h(x) che passa per P= (1, log 2). π

2

11. Trovare la primitiva della funzione f (x) = x sin x + cos x che si annulla per x = .

2

12. Sia  p |x| se x < 1



f (x) = 1 ≥

se x 1.

2

 4 + x

Determinare la primitiva generalizzata di f che si annulla per x = 0.

SOLUZIONE

√ √

x x

2 2

− −

1. (a) Per provare che F (x) = 4 x + 2 arcsin è una primitiva di f (x) = 4 x sull’intervallo (−2, 2) è

2 2

0 ∈

sufficiente provare che F (x) = f (x), per ogni x (−2, 2). 2

−x

−2x 1 2

1/2

1 x p

p

0 √ √

√ 2

2 −

− + =

= 4 x +

+2

F (x) = 4 x + p 2

2 2 2 2

2 2 − −

− − 2 4 x 4 x

2 4 x 1 x /4

2

−x + 4 1 1

1 p p p

√

2 2 2

− − −

4 x + = 4 x + 4 x = f (x).

= 2 2 2

2

−

2 4 x π

−

(b) Sicuramente G(x) è una primitiva di f (x), in quanto differisce da F (x) solo per la costante .

3

√ 3 .

Controlliamo che G(1) = 2

√ √ √

1 12 π 3 π π 3

− − −

G(1) = 4 1 + 2 arcsin = + 2 = .

2 3 2 6 3 2 0

2. F (x) e G(x) sono entrambe derivabili su IR. Sono entrambe primitive di una stessa funzione f (x) se si ha F (x) =

0 ∈

G (x) = f (x), per ogni x IR. Calcoliamo le derivate:

0 0 12

−

F (x) = 2 sin x cos x = sin(2x) , G (x) = (−2) sin(2x) = sin(2x).

0 0

Dunque F (x) = G (x) = f (x) = sin(2x).

Essendo due primitive della stessa funzione sullo stesso intervallo, la loro differenza deve essere costante.

Calcoliamone la differenza:

2 2 2

12 12 1 37

−

− cos(2x) + 11 = sin x + (1 2 sin x) + 18 = 18 + = .

F (x) G(x) = sin x + 7 + 2 2

√ 3/2

Z

Z 1 1 (2x + 5) 1 p

1/2 3

2x + 5 dx = 2(2x + 5) dx = + c = (2x + 5) + c

3. (a) 2 2 3/2 3

−1/2

2

Z

Z x 1 1 (x + 5) 1

−3/2

2 √

−

· + c =

2x (x + 5) dx =

(b) dx = + c

p −1/2

2 2 2

2 3 x + 5

(x + 5) 2

−

4

Z Z

1 1 (8 + x ) 3 1

3

5 5

− −

3 4 3 4 −

(c) x (8 + x ) dx = 4x (8 + x ) dx = + c = + c

3 3 23 p

−

4 4 8 4 2

3 (8 + x )

x x

Z Z e

3e x

dx = 3 dx = 3 arctan(e ) + c

(d) 2x x 2

1 + e 1 + (e )

Z Z

1 1/x

(e) dx = dx = arcsin(log x) + c

p p

2 2

−

1 (log x)

−

x 1 log x 1/3

Z Z

1 1 (log x) p

−2/3 3 log x + c

(f) dx = (log x) dx = + c = 3

2/3 x 1/3

x(log x)

Z Z

1 1

2 2 2

x x x

(g) xe dx = 2xe dx = e + c

2 2 −

Z Z Z

sin x sin x

− − |

(h) tan x dx = dx = dx = log cos x| + c

cos x cos x

Z Z Z Z

1 1 1 cos x 1 1 1 1 |

(i) dx = dx = dx = dx = log tan x| + c

2 2

sin 2x 2 sin x cos x 2 sin x cos x 2 cos x tan x 2

Z Z

7 7

2 2 2

− − −

(j) 7x cos(3x 5) dx = 6x cos(3x 5) dx = sin(3x 5) + c

6 6

√

Z Z 2 2 p 3

1/2 3/2 sin x + c

(k) cos x sin x dx = cos x(sin x) dx = (sin x) + c =

3 3

Z Z

x 1 6x 1 2

(l) dx = dx = tan(3x + 5) + c

2 2 2 2

cos (3x + 5) 6 cos (3x + 5) 6

4. Ricordiamo la regola di integrazione per parti:

Z Z

0 0

· · − ·

f (x) g(x) dx = f (x) g(x) f (x) g (x) dx

0

Z −

f (x) = sin x f (x) = cos x

(a) Per ricavare x sin x dx scegliamo =⇒ 0

g(x) = x g (x) = 1

Otteniamo:

Z Z

−x − −x

x sin x dx = cos x (− cos x) dx = cos x + sin x + c 0 −x −x

Z Z −e

f (x) = e f (x) =

−x −x

(b) Per ricavare 2xe dx = 2 xe dx , conviene scegliere =⇒ 0

g(x) = x g (x) = 1

Dunque:

Z Z

−x −x −x −x −x −x

−x · − · − −2e

2 xe dx = 2 e (−e ) dx = 2(−x e e ) + c = (x + 1) + c.

(c) In questo caso conviene vedere la funzione integranda log(1 + x) come prodotto della funzione costante 1 per

( f (x) = x

0

f (x) = 1 1

la funzione log(1 + x) e scegliere =⇒ .

0

g(x) = log(1 + x) g (x) = 1+ x

Z Z x

−

Pertanto log(1 + x) dx = x log(1 + x) dx .

1+ x

Per calcolare l’ultimo integrale, conviene prima eseguire un “trucco” algebrico, e poi sfruttare la linearità

dell’integrale; nel prossimo esercizio vedremo un procedimento più completo che tratta dell’integrazione delle

funzioni razionali.

Per ora, scriviamo:

−

x x +1 1 1+ x 1 1

− −

= = =1 ;

1+ x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x

dunque

Z Z Z

x 1

− − |1

dx = dx dx = x log + x| + c.

1+ x 1+ x

Tornando all’integrale di partenza, si ha:

Z −

log(1 + x) dx = x log(1 + x) x + log (1 + x) + c. −1.

L’ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che la funzione integranda è definita solo per x >

2

Z Z x

2

− − −

(d) 2x log(x 5) dx = x log(x 5) dx

−

x 5

Anche in questo caso, manipoliamo l’ultima funzione razionale, nel seguente modo:

2 2 2

− − −

x x 25 + 25 x 25 25 (x 5)(x + 5) 25 25

= = + = + = x +5+ .

− − − − − − −

x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5

Pertanto 2

Z Z 25 x

2 2

− − − − − − − |x −

2x log(x 5) dx = x log(x 5) x +5+ dx = x log(x 5) 5x 25 log 5| + c

−

x 5 2

|x − −

La funzione integranda è definita solo per x > 5; pertanto si avrà 5| = x 5. Dunque

2

Z x

2

− − − − − −

2x log(x 5) dx = x log(x 5) 5x 25 log(x 5) + c.

2

2 2 2

Z Z Z

x x 5 x

2 2 2

− −

(e) x log (5x) dx = log (5x) 2 log(5x) dx = log (5x) x log(5x)

2 2 5x 2

Riapplicando nuovamente la formula di integrazione per parti all’ultimo integrale, ricaviamo

2 2 2 2 2

Z Z

x x 1 x x x

2 2 2

− − −

log (5x) log(5x) x dx = log (5x) log(5x) + + c

x log (5x) dx = 2 2 2 2 2 4

Z Z Z

2 2 2

− −

(f) (x + 1) cos x dx = (x + 1) sin x 2(x + 1) sin x dx = (x + 1) sin x + 2 (x + 1) cos x cos x dx =

2 −

= (x + 1) sin x + 2(x + 1) cos x 2 sin x + c. 2 −

Z Z Z

1 x +1 1

2 2 2

− −

(g) 2x arctan x dx = x arctan x x dx = x arctan x dx =

2 2

x +1 x + 1

Z 1

2 2

− − −

= x arctan x 1 dx = x arctan x x + arctan x + c

2

1 + x

Z Z Z

x x x x x x

− −

(h) e sin x dx = e sin x e cos x dx = e sin x e cos x + e sin x dx .

Dunque

Z x x x

−

2 e sin x dx = e sin x e cos x

da cui Z 1

x x x

−

e sin x dx = (e sin x e cos x) + c.

2 2

−2x −x −

Z Z Z + 1 1

p p p

√ √

2 2 2

− − − − −

(i) 1 x dx = x 1 x x dx = x 1 x dx =

2 2

− −

2 1 x 1 x

Z Z 1

p p √

2 2

− − −

= x 1 x 1 x dx + dx

2

−

1 x

Dunque

Z p p

2 2

− −

2 1 x dx = x 1 x + arcsin x

da cui Z 1

p p

2 2

− −

1 x dx = (x 1 x + arcsin x) + c.

2

Lo stesso integrale può essere risolto per sostituzione (si veda l’esercizio n. 6).

5. (a) Per risolvere gli integ