Esercizi analisi 1

Limiti

• 8 Gennaio 2011

Divido num. e denom. per x² per trovare lim. inf.

lim_x→0 ½ [lim_x→0 log(1+x)]

• 8 Ottobre 2013 - Termine 1

lim_x→∞ 2 + 1_{sen x}^x

= lim_x→∞ 1 + x^1/2 =1

log 2

Ho moltiplicato numeratore e denominatore per ¼^{sen x}

• 9 Ottobre 2013 - Termine 2

Divido e moltiplico per x² і⁺°˛

lim_x→0 sin 2x = 1

lim_x→0 2 : 1 : 1

Quando ho un seno moltiplico i limiti per l'angolazione per ricondurre a sen x¹ e quando ho un logaritmo log(1+x) moltiplico i dividenti per x ricondurre a log_x(1+x)

8 Luglio 2013

Limite 1

lim_x→0 (1-cosx)/x + lmx/tanx = 1

20 Maggio 2013

lim_x→0 [3^x] (lm2x)² x 1²

6 Giugno 2013

Limite 1

lim_x→3 (x³-x³)/(x-3) = 27 log 3

6 Settembre 2013 Temma 1

criterio radice

lim_m→∞ 1/(3^m(m+5)) = lim_m 1/3^m√m+5 = lim_m 1/3^m m^1/5 → 1/3 1/(m+5)⁰ = 1/3 1=1/3

la serie converge

9 Ottobre 2013 Temma 1

criterio rapporto

lim_m→∞(m+1)^m+1/[(m+1)³] = (m+1)^m(m+1)/[(m+1)³] = lim_m→∞(m+1)^m/m^m+1

la serie ha termini nulli

20 Maggio 2013

criterio radice

lim_m→∞ m³/m = lim_m m/3^m

6 Giugno 2013 Temma 2

criterio rapporto

lim_m→∞ 2/(log(m+1))² = 2x

6 Settembre 2013 Temma 2

criterio radice

lim_m→∞ 1/2^m(√(m+1))^m = 1/2

2≈ 1.3 >1 diverge

6 Giugno 2013 Tema 1

(1 - i)²(3 - i√3)²

1° Passo:

|1 - i| = √1² + 1² = √2

• |(1 - i)²| = (√2)² = √2 · √2 = 2√2

• arg (1 - i) = arc tg₁¹ = -π/4
• arg (1 - i)² = -π/2 = 2 · -π/4

2° Passo:

|3 - i√3| = √3² + (√3)² = √12

• |(3 - i√3)|² = √12² = 12

• arg (3 - i√3) = arc tg_-√3³ = -π/6
• arg (3 - i√3)² = -π/3 = 2 · -π/6

De Moivre

|Z| = Z₁ · Z₂ = 2√2 · 12 = 24√2

• arg Z = arg Z₁ + Z₂ = -3π/4 + (-π/3) = -9π/12 - 4π/12 = -13π/12

Forma Trigonometrica = 24√2 (cos (-13π/12) + i sin (-13π/12))

Risultato Modulo

√(1 / 1 - λ) + 2λ / λ - 1

6 Settembre 2013 Tema 2

Z = λ (λ - 1) + 2λ (1 - λ) / (1 - λ) (λ - 1)

|Z| = √((√2)² + (1/√2)²

√2 (1 + 1/4) = 10/4 = √10/2 = 1.58

C

Derivata seconda:

f''(x) = d/dx

Derivata risposta

Studiamo il segno

f(x) è strettamente crescente per ogni x ∈ ℝ

Il codominio è tutto ℝ

Faccio il rapporto e moltiplico e divido per (x+3)

-3 lim x → +∞ (x + 3) √((1 - 3/x) - 1) / (x + 3)

¹ / _{x + 3} ^{x + 3}

Taglio la radice con il quadrato: = 0 → -3/2

-3 lim x → +∞ (x³) (1 - 3/x - 1) / (x³)^3/2

Quando ho l’asintote obliquo y = x - 3/2 per +∞ e y = -x + 3/2 per -∞

• Trovarci i punti per +∞ x | y / m | 3/2 0 0 A (1, -3/2) 9 9 B (0, -3/2)
• Trovarci i punti per -∞ x | y / m | 3/2 9 9 A (1, 1/2) 8 8 B (3, 3/2)

Derivata prima

f'(x) = d / dx √x + 3

f'(x) = 1 / 2 * (x+3) / x³ * 3x²(x+3)² → 1 / 2 (x + 3) x²(2x + 9)

→ f'(x) = 1 / 2√(x+3) (x²(2x+9) / 2√(x³(x+3)³)

x²(2x-9) = 0 → x² √x > 0

2√(x³(x+3)³) > 0 → x > 3

Minimi

X = -3/2

f'(-3/2) = √¹/₃ ² = 7,8

f(x) decessa f'" -3/2

c’è un minimo in x = -3/2, pa f(x) rancia asimtetta?

mentre x - 3. f(x) non può da 0 crescente fino a contronone. Imo 0 è un minimo assoluto.

1 Ottobre 2013 Tema 2

f(x) = (x+1) e^x2

Dominio: (x+1) è definito in tutto ℝ

e è definito su tutto ℝ perché

x² è definito su ℝ = ℝ

Asinto Verticale

• lim_x→-1 f(x) = (x+1) x e^x2 = 5.169^x2 0^-∞+∞
• lim_x→1 (x+1) x e^{5.159-x2 0-∞ 0❤}

La retta x=1 è un altro verticale a destra di 1

A. Orizzontale

• lim_x→-∞ (x+1) x e^x2 = lim_x→-∞ 0 = 0 + ∞ = 0
• lim_x→∞ lim_x→∞ lis

7 A. Orizzontale, neom. coart. Orliche

• A. Obliquo y = mx + q
• lim_x→-∞ f(x)= lim_x→-∞ x e^-∞ lim_x→∞ ^y
• lim_x→-∞ (x+1) e^x2 - x → lim_x→-∞ (x+1) e^x2 - x = 2x
• → lim_x→∞ (x+1) e^x2 (x-1)

Detto recensione a limite modera e^mn-1 sabzottig intrombini prim per oliga normere

• lim_x→-∞ (x+1) e^x2 - 8 x ± e ⇔ lim_x→-∞ (x+1) e^x2 x^nt lim_x→∞ (x+1) e^x2
• ≠ lim_x→∞ (x+1) x e^x2 null != lim_x→-∞ [(x+1) e^x2]
• lim_x→-∞ (x+1) x e_x²-1 → lim_x→∞ x x e^1/2 lim_x→∞ x²
• lim_x→-∞ e_{(x+1) x^x1-2x} = 2.0

Ha un asintote obliquo y = 2x + 2x Da entrombr. sato

∫''(x) = ∫ dx = ∫ 5 / ((x+2)² + (3-x)²)

f''(x) = 0 - [5(2(x+2) + 2(3-x)] / [(x+2)² + (3-x)²]²

g'(x) = -10(x+2) - 10(3-x)

f''(x) = -10 [6(x+2) + 6(3-x)] / [(x+2)² + (3-x)²]²₂

f''(x) = -10[(2x-1)] / [(x+2)² + (3-x)²]² ≥ 0 Segno

{10 > 0 ∀ x∈R

{1 - 2x > 0 = x < 1/2

{[(x+2)² + (3-x)²]² > 0 ∀ x∈R

f(x) è crescere fino 1/2 che è un punto di flesso dove cambia crescere

Flesso x = 1/2

f'(1/2) = arctan 3/3 + 2/3 - 1/2 = 0 II U

Integrali

• 12 Maggio 2014

∫ log x² dx

integrazione per parti ripetute

f(x) = x^3/2f₁(x) = log x

∫x^3/2log x²dx = x^3/2_-x^t+1log x - ∫_-x^t+1 1₁₊₁ dx

=6 [6 ∫x^1/2log x dx

=6 [ ⅔ x^3/2log x - ⅔∫x^3/2dx - x^{3/4 -3} dx

=6 [x^1/2log x - ⅔x^3/2 - ⅔ x^3/2 + ε

=x^3/2log x - ⅔ x^3/2 - ⅔ [x^3/2log x - ½ ¾

=x^1/2 + c

- ⅓∫l+ ε

=x^3/2log x_⅓log x^1/3 + ⅓ (log^x ⅓) + C

• 6 Ottobre 2013 Tema 2

∫_3x-1 dx

integrale razionale

Scomponiamo il denominatore

x² + x + 1 = &points &lang

Scompongiamo l'integrale nella somma di due integrali

&frac32; (2x - 3 ₃ ^{3x+2 - 5}) = &frac32;_x²+x+1

= &frac32;(2x + 1)

=0

=2 (4 - 1^{52x+1 dx}

= &frac52;∫₁ dx

x²+x+1 = x²+x+1

Studiamo separatamente il primo per sostituzione con (^x2+x+1)=t

(&sub>2x_{+1 dx = (2x⁺¹)}

∫= log x²+x+1

Studiamo il secondo integrale per fratti semplici

∫₁x²+px+q dx =∫ 4₁

∫_¹x²+ px + q dx = log ∫

= 6

∫=2x^3/2+6x² + p_x - p₂+px² a²

3 = 0

∫