Esame orale Analisi 1

Insiemi

• N = {1, 2, 3, …} numeri naturali interi positivi
• Z = {0, ±1, ±2, ±3, …} numeri interi ( ± 0 ± )
• Q = {m/n m ∈ Z n ∈ N n > 0} numeri razionali
• Q = R contengono sempre Q, Z, N
• R = numeri reali

Somma dei primi n numeri naturali:

• n/2 (n + 1) n numero pari
• 1/2 (n + 1) n numero dispari

Somma delle potenze di:

• 1/2ⁿ
• Σ_k=0^∞ Sommatio a=K da 0 an di 1/2^k

Somma MENO:

• Σ_k=1ⁿ 1/k(k+1) = 1/n - 1/n+1 (primo e ultimo termine)

Somma TELESCOPICA:

• a_r = b_k - b_k+1
• Σ_k=1ⁿ a_k = Σ_k=1ⁿ (b_k-b_k+1) = (b₁-b₂) + (b₂-b₃) + (b₃-b₄) + ... +(b_n-b_n+1) = b_n - b_n+1
• Σ_k=0ⁿ k³ = n³ n² + n/2 n/6

TEORIA degli INSIEMI

• Un insieme può essere specificato attraverso una sua proprietà caratteristica o per tabulazione (elencandone gli elementi)
• x ∈ A x è un elemento di A
• b ∉ A se e solo se b non ∈ non è un elemento di A
• A ⊆ B A è un sottoinsieme di B se e solo se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B
• A ⊂ B A è un sottoinsieme proprio di B se A ⊆ B ma b esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A

A ∩ B Intersezione di A e B, l'insieme degli elementi comuni sia ad A sia a B

A ∪ B Unione di A e B, l'insieme di tutti gli elementi che appartengono almeno ad uno degli insiemi A e B

A^c Complementare di A, insieme costituito dagli elementi che non appartengono ad A

B \ A Differenza tra B e A, l'insieme costituito dagli elementi di B che non appartengono ad A

∅ Insieme vuoto non contiene nessun elemento

P → Q P implica Q se, quando P è vero, anche Q è vero

P ↛ Q Q non implica P

P ⇔ Q P implica Q e Q implica P, vale P se e solo se vale Q

¬Q ≏ ¬Q Condizione sufficiente e necessaria perchè valga Q equivalenza q

¬P → ¬Q Se Q è falso, allora anche P è falso

¬Q ≏ ¬Q Condizione necessaria affinché valga P

∃ Quantificatore esistenziale

∀ Quantificatore universale

Ordinamento di R

Mediante la relazione d'ordine (> , <)

R₊ = (0 , ∞) {x | x > 0} (0 , +∞)

x > 0 se x ∈ (0 , +∞) {0 , +∞}

Valore assoluto

|x| = { x se x > 0 -x se x < 0

Proprietà

(1) |x| ≥ 0 (2) |x| = 0 ↔ x = 0 (3) |x ⋅ y| = |x| ⋅ |y| (4) |x + y| ≤ |x| + |y| disuguaglianza triangolare

Dimostrazione disuguaglianza triangolare

Consideriamo x , y (1) x ≤ y ≤ 0 (2) 0 ≤ x + y ≤ 0 (3) 1x + y| = |x| + |y| x ⋅ y

|x| + |y| ≤ |x - y|

Definizione di R:

Sia A ⊂ C  in C ora A ammette un minimo

(8) Sia A ⊂ C in C ora

A ammette un minimo

Dim:

l’insieme numerico è un insieme intersecandosi quindi diviene min°

Esiste b ch (A) = (mina, a)  < b b (intersezione di n).

Opera è min° quindi possiamo considerare (per assurdo) supponiamo che (per la proprietà)

Abbiamo costruito c con A ⊆ C

Assurdo perché

(9)

(1 − m) b − 1 > 1 − 1 assurdo

quindi c ⊂ A

insieme induttivo

Def:

il A ⊆ N è un insieme induttivo se:

• (1) 1 ∈ A
• (2) se × ∈ C A => × + 1 ∈ C A

(9) Sia A ⊂ C in induttivo allora  A ⊆ N allora :

Dim:

Lorem per cui (1); cose

Per cui supponiamo

n coincide ^fine A B.

Assurdo perché (

Successioni monotone

(an) : monotona crescente se an ≤ an+1 ∀n ∈ N

1. (1.7) sia (an) monotona crescente
2. (a) se (an) è limitata superiormente allora lim an esiste n→∞
3. (b) se (an) non è limitata sopra lim an = +∞
4. (2) Fissiamo x ∈ [a, b] x ∈ [a, b] dobbiamo mostrare che esiste n t.c. ∀n ≥ n se f(n) ∈ Aoo iterato
5. Dom
6. (3) teorema del confronto (an) (bn) (cn)
7. Se an ≤ bn ≤ cn ∀n ∈ N (definizione per conv. mono)
8. lim an = L n→∞
9. lim cn = L n→∞
10. (a) (an) ≤ (bn) lim an ≤ lim bn
11. Se lim an = +∞ <-> lim bn = +∞
12. Fissiamo (a) (b) dobbiamo mostrare che esiste n t.c. vincolo
    • (a.1) 0 = <;; x - 1
    • lim an n→m <;= lim m t.c. < n
    • (<; c) step n <= n
    • (<; 2) bn ≤ bn - 1 lim an n→∞ (vontinuitá per conv.)

Lim (a_n) = a = 1

Lim b_n = 1

b_n= (a_n + a) ≠ 1

===> CRITERIO N.₁ A

Si abbia b_n = a_n ⁱⁿ P, b_n > 1

b_n= (a_n + a) b_n - 1 = 1, 1 - a

===> Cr = = > = 0 ^(k₂)

a²_n + 1 > 1

Serie GEOMETRICA (o RAGIONE Cultiplic).})

1 1 ad ^{seq cambia come q}

]

CRITERIO della convergenza

< b_n -- dispare > b_ns + b_n convergenti ≠ anche 1

===>

VERO o in tutti

===> _ns, _n pi