Esame orale Analisi 1

Insiemi

N = {1, 2, 3, 4, ...} numeri naturali interi positivi

Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} numeri interi (+0 = 0)

D = {m/n m ∈ Z, n ∈ Z, n ≠ 0 } numeri razionali

Divisione tra B contiene numero A, B

R numeri reali

Somma dei primi n numeri naturali

n²+nⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂ n numero pari

ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂ n numero dispari

Somma delle potenze di 1/2

x = ¹/_2ⁿ

∑ ¹/_2^k sommatoria su K da 0 a n di ¹/_2^k

Somma a Mengoli

∑ ¹/_k(k+1) = 1 - ¹/_n+1 (primo e ultimo termine)

Somma telescopica

a_k - b_k = b_k+1

∑ ^{a_k = b_K+1}/_K=1 ∑ ^{(b_k - b_k+1)} = (b₁ - b_n+1)

∑ _k=0 k³ = n² = (n(n+1))²/4 n(n+1)² n²/2 n/6

Teoria sugli insiemi

Un insieme può essere specificato enunciando una sua proprietà caratteristica o per tabulazione (elencandone gli elementi)

a ∈ A se a è un elemento di A

a ∉ A se a non è un elemento di A

A ⊆ B A è un sottoinsieme di B se e solo se ogni due elementi di A sono anche elementi di B

A ⊂ B A è un sottoinsieme proprio di B se A ⊆ B ma esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A

Insiemi

N {1, 2, 3, 4, ...} numeri naturali interi positivi

Z {0, ±1, ±2, ±3, ...} numeri interi

D {m/n ∋ m ∈ Z, n ∈ N} numeri razionali divisione tra B e 0 costringe numero a D

R numeri reali

Somma dei primi n numeri naturali

h n(n+1)/2

n numero pari: n(n+1)/2 n numero dispari

Somma delle potenze di 1/2

S = 1-1/2ⁿ

∑_k=0ⁿ 1/2^k Sommatoria su k da 0 a n di 1/2^k

Somma di Mengoli

∑_k=nⁿ² 1/k(k+1) = 1/n - 1/n+1 (primo e ultimo termine)

Somma telescopica

a_n = b_k - b_k+1

∑_k=hⁿ a_k = ∑_k=1ⁿ (b_k - b_k=n) = (b₁ - b₂) + (b₂ - b₃) + (b_k-2 - b_k-1) + (b_k - b_n)= b₁ - b_n

∑_k=0ⁿ k² = n³ + n²/2 + n/6

Teoria degli insiemi

Un insieme può essere specificato enunciato una sua proprietà caratteristica o per tabulazione (elencandone gli elementi)

a ∈ A ⇔ a è un elemento di A

a ∉ A ⇔ a non è un elemento di A

A ⊆ B ⇔ un sottoinsieme di B se e solo se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B

A ⊂ B ⇔ A è un sottoinsieme proprio di B se A ⊆ B ma esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A

Operazioni tra insiemi

A ∩ B

Intersezione di A e B. L'insieme degli elementi comuni sia ad A sia a B.

A ∪ B

Unione di A e B. L'insieme di tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi A e B.

A^c

Complementare di A. L'insieme costituito dagli elementi che non appartengono ad A.

B\A

Differenza tra B e A. L'insieme costituito degli elementi di B che non appartengono ad A.

∅

Insieme vuoto non contiene nessun elemento.

Implicazioni e quantificatori

P ⇒ Q

P implica Q se quando P è vero anche Q è vero. P è Condizione sufficiente affinché valga Q.

Q ¬⇒ P

Q non implica P.

P <=> Q

P implica Q e Q implica P. Vale P se e solo se vale Q.

P è una condizione sufficiente e necessaria perché valga Q.

Equivalenza.

P ⇨ Q

Se Q è falso allora anche P è falso.

Q è condizione necessaria affinché valga P.

∃

Quantificatore esistenziale.

∀

Quantificatore universale.

Ordinamento di ℝ

Mettere in ℝ una relazione d'ordine (> o <).

ℝ₊ = {0, 0.1, 0.01, 0.001} ∪ {0.1, 0.5}

x > 0 se x ∈ {0, 1} ∪ {0, ∞}

Valore assoluto

|x| = {x se x ≥ 0 -x se x < 0

Proprietà

• (a) |x| ≥ 0
• (b) |x| = 0 se e solo se x = 0
• (c) |x| ≤ |x| + |y| Diseguaglianza triangolare

Dimostrazione diseguaglianza triangolare

Consideriamo 2 casi:

• (a) x, y ≥ 0; -x, -