Appunti corso Analisi 1 (teoria+esercizi)

PUNTI

X

CALCOLO DOMINIO

TROVO NON

e IL per

UTA

DERIVABI trovo punti orizzontale

X

f STAZIONARI

o D tangente

DI

STUDIO f

SEGNO x

RICERCA CONCAVITA

DELLA L'ALTO fly ha

VERSO

f to flesso

se to

70 in

un

f t O

f BASSO

VERSO IL

O

to 20

STUDIO DERIVATA

SEGNO

i

trovare

Per di

punti flesso trovo

ghe

RISCIO L x

f di

e

D to

o flesso

punto

La Xo FLESSO

f OBLIQUO

O

to FLESSO ORIZZONTALE

f O

Lose ftp.f 100

derivabile in

fix Flesso

to X

non VERTICALE

PROBLEMI DI OTTIMO

la da rendere

Trovo funzione mal

OBBIETTIVO min

O

condizioni

le

imponga sulla X

trovo di

massimi Minimi f

e accettabili

scarto quelli non

STUDIO FUNZIONE

DI

DOMINIO la

SIMMETRIE solo

studio

In 170

caso in

La FI

PARI ASSE Y

f

X x

fly P

f

DISPARI o O

x

CON

INTERSEZIONI GLI f

ASSI x O

D

FIX

SEGNO FUNZIONE

DELLA D O

ESTREMI D

STUDIO DI

AGLI

LIMITI

INTOTI

AS

TROVO linffeffè 100

verticale di fly

E

to se

D

in

lag to fu

ORIZZONTALE almeno tra

se fisico

D go

uno

yo

y esistono

se sia

Ibico che finiti

9

m

obuavo mha Ybligantato

fa

yen fi

9

f'IN

DERIVATA PRIMA

dominio

trovo di

zeri f

e x la crescente

f 70

studio fly

il di

segno decrescente

x

f o

trovo di

punti e

massimo derivabilità

relativo di

punti

e

minimo non

DERIVATA f

SECONDA X fila

dominio

trovo di

zeri

e f 70

x

È fila

studio il di

segno To X

f LO

l'eque

trovo di Risolo f t

D

n flesso

punti

i o

Xo FLESSO

f OBLIQUO

O

to FLESSO ORIZZONTALE

o f O ftp.f 100

X flesso

in

fa derivabile to

Se non VERTICALE

Di e

funzione se

1x1 I

f(x) in to 0

& =

= KI

Il le

lin

- = Non

X DO

- =1= DERIVA

in sign

A CALCOLO DERIVATE

La regolarità

è proprietà

derivabilità più continuità

potente

di rispetto alla

una

↳

) Terema DERIVABILITA' CONTINUITA

=D

* fi-f

lin f(x o

per

# 7

Hp e finito

ed =

hom ( lin

(x)-f(xd]

Quindi fl

f(x

necessariamente + 0D =

=

to

ALGEBRA DERIVATE

DELLE

(a

Siano (a

b) b)

derivabili

+eg allora

tot

: - in :

- ;

, , h'(x)

e (fig) ex et

1) g)

fi Es

fig u(x) +

cs(x)

=

sin(e)

e in

derivabile +

to =

= =

.

g)

#) (f g(xd)

e f' (x) f(x0) g((xd)

in

f g to

derivabile +

e

- = ·

· f)

(i.

e f'

1 (Xd)

& f devivabile to

in e = . + (xdg(x0) g(x)

f(x)

(f(g) -

f/g .

# fo) e

(g(xd) in

derivabile toe =

con [g(x0)]

↳ I

sin

cos2(x)

= (x)

+

hk

h(x taux

Es =

= cos

cas"(x/ (x)

.

TEOREMA IR-M TIM - R

in sia

DERIVAZIONE derivabile

sia

DELLA e

to

f q :

, (f)

Assumiano T2

DELLA Im

f COMPOSTA che (gof)' (40) g(

e n'(xd fd

(x0))

e

h

Allora la derivabile

In R

gof

+ +

in to

=

compostar = =

: -

2x/h(x)

Es h(x1 -oh(x) (

ces(x2 3) ch'(x) e

tangente

in

sin(x) la

to

+ 0 0

=

= =

= .

. orizzontale

I a

H(ho i

H(10)

h) lin -

line + - Se

=

= 2

h h

0

-

TEOREMA DERIVABILITA

DI

f

DELLA INVERSA

Sia JER

7f-1

ICR- R

f derivabile EI che

to supponiamo che

, -O

in e

:

e

-

:

(x)

f' + 0 I 1(yd

f -

f(x)

y to

& y = =

+- 2 2(yd)

e (xd(

-

+

derivabile

Alloa (x)

in + e 4x

+4

= 2 (yd

+ =

= +

2(yd)

-

+

Es . 1

2

- (x) -

tan"

f'(x) f

f(x) (x) f

tau(x) actany

1 +au2(x)

+

· 1 +

=

= =

= (y)

actau

x

E

1 logx) =

arctaullog(x)

· = · Co (R)

+ +

-

In

2x)2

log(1

Ex Ex log(1

(x( 2x2)

x vo 0

+ +

- - =

+

+

· -arctau(c) E

-

actan(x)

Tr

lin

- 0

+ro + =

- =

-

-

X Do

-

f(x)-f(x)

lin - well'origine

= derivabile

m

X Do

- -lo

Ex-eg(1 += x

+ =

lin &

=

Dot

X - (rx)

lin-1/2 liv

(Ex)

arctam lin arctau E

- =

=

-not X

X EX

S E- x)0

2x2

1 + ,

f(x) E X 0

=

= & (2x

*

1

e +

= ,

2)

+

funzione foR)

2) (D)

> funzi derivata I

derivabile centrale

con

e

(*) su (1/x)

liv

S Ik.

x f(0)

X per Carabinieri

Xsin CONTINUA

0 dei

0 . =

=

, X DO

f(x) ↳ livitata

-

0 t 0

=

, lin xsiu(x Nan e derivabile in

f(x)-f(d)

lin to 0

= =

XDO X 0

- X sink

lin

*

però )

Se X sin) derivabile

continua

fiel O

prendo = a =

·

= *

S ↳

Acs)")

(1/) live

Sin x incrementale

+

2x cou o rapporto

·

f(x) , esiste e finito

ed

= O 1 0

- =

! =

liv #f

cs())

(sinE

=

o f(x) f'(d) continua

e in to

now a

= =

-

x

DERIVATE SUPERIORE

ORDINE

DI +' (0)

f(x)

Je h

7 - e derivabile in

finito in

diremo valte to

che tar

e

due

,

X-Xo

to f"(x)

limite

denoterence questo con

caso (D)

CDE

CATENA De(D)

SPAZI

DI (D)

VEITORIALI ↳ derivabili voglio

funzioni quanto

PUNTI DERIVABILITA

DI NON fl

lim

(a b) DR

. Y

7 e 7

in

derivabile finito

continua to

in se

to

-

, , &

i) PUNTO Angoloso -

-

f(x)-f(xd

lim (xd

lim f(x) +

f((x) = f(xd

- -

finiti diversi t =

e =

X to

D Xo -D

X 1

- X-to

- D

CUSPIDE

ii) &

f(x)-f(xd

lim (xd

f(x)-

#lim +

1

7 infiniti In

diversi -

Dxot

e = =

X to -D

X 1 -

- X-to D

-

CUSPIDE/Angolo

iii) &

ER =

f(x)-f(xd (xd

lin lim

# f(x)- +

-e : Dxot = DX

x

X to X

X to

X

- - D

- -

iiii) VERTICALE

tg

A *

FLESSO -

f(x)-f(xd

lim

7 1

=

X-DXo to

X -

Teorema FERMAT -f'(x) 0

l'estremalità =

N

C

C

di per ·

. .

.

(a b)

Sia e

Allora

R Xoe(a

f b) punto

derivabile in zo

se estremante,

funzione ,

-e

: , un

una ,

aperto b)

(a f(x)

f derivabile >

estremante 0

Xo

in punto

con to =

- ,

,

7 flX

Se è è orizzontale

to tg

flesso

detto

punto allora pto di

& estremante esso

o e

, a

un

nom

= ,

D(xe(a a) -

f(x)

b) pti stazionari pti critici

: o

=

,

Supponiamo la

-

/a locale

b) derivata

ci

punto

Xo sia in

che massime

di

un

,

Quindi NO

: f(x)-f(xd f(x)

lim

D7 finito o

=

Dxot to

X X Teorema

- di

- 70 permanenza

f(x)-f(xd f(x)

lim

7 del #I

segno

finito

D 70

=

- to

X DXo X

- -

TEOREMA LAGRANGE

DI 1b)-fas

+

Sia b)

[a b)

f (a

[a (a -c

R l

b)

in +

derivabile b) =

continua in =

e allea

>

-

: : c.

; ; , .

,

, +(a)(x-a]

f(b)

[f(a) -

# h(x) f(x)

funzione ausiliaria +

= -

-f(a)

f(b) a(x

Retta a)

y-a

Secaute s : = -

b - (1) (2)

h(b) e

0 f

h(a)

Notiamo costante estremante

contiene

che 0 un

=

- 0

= flb-t-

Exe[a b) h()

(a

Quindi

h'(x)

[a

h b) b) +'

1) avro (c)

in

costante ce

0

= ;

: ; = -

,

·

2) b]

[a

h [a b]

e in

costante continua in

non ma

: ;

, hial h(b)

h avendo necessiamen

D Weiestrass

da annette di assoluti

Min ,

punto max e

un e = .

.

.

(a b)

+n

xne + , (x (a)

f(b) f

-

nh'

Fermat f'()

(a di

allora

supponiamo tecrema

che b) ovvero

dal 0

Xme : = =

, b a

CRITERIO MONOTONIA

Di crescente

f (440 (a

e b)

in

Se ,

Sia (a -R

b)

f Allora

derivabile

: ;

, f(x)

↳ 7 (a

e b)

50 in

n

decrescente ,

↑ %

La 'so

crescente f(x) *

Es

la strettamente

prendo =

.

diseguaglianze decesecute f'(x) 3x20

strettamente

strette = R

#x

ES . Monotona rescente f(x2)

n f(t) +

<x

· =

z = la

perché

Ecco derivata cantiere

& f(x1)

Ad f(x)

Df(x)-f(x)20 - f(x)

il

72-ty motoria

30 di di

crattere

- X2 An

- 11

tra

Oscilla

~

S

S film

su(t(x) sin(f(x)) cas(1(x)

f(x)t(e X x

+ 0

a -

- ,

, nondio

0

=

O

O x 0 ↳

estremant

= e

e ta

f(x)

n f

fe EXER

e

costante

se derivabile e

· 0

= =

↳ CARATTERIZZAZIONE DELLE A

FUNZIONI Derivata NULL

devival

e

costante D

Sia (intervalle

f ER

I f

R e

allera

: ; I

in

actan(f(x))

f(x)

Es y)

(x) 0)v(0

arctan +

+ 0

= - , ,

. cEx E

cx ((z

f(x) XxD

0

- =

=

-

=

TEOREMA L'HOSPITAL

DE

DI

Siamo /X0)

Il

f R

g derivabili infinite

entramble

ed<