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Ex
∫(x) = ex
∮(x0) = ex0
∮'(x0) = ex0
∮''(x0) = ex0
x = x0 + X
X = x - x0 = x
ex = 1 + x + x2/2!
X0 = 0
x = x0 + X → x = 0 + X = F
K∞ = cos(x)
K∞(x0) = cos(x0)
K∞'(x0) = −sin(x0)
K∞'''(x0) = −cos(x0)
cos(∞) = cos(x0)
cos(x) = 1 − x2/2! + x4/4! + ...
ord. ∞ = 2
ord ∞ = 1
ord. ∞ = 0
cos(x) − x2/4 + ...
X0 = 0
∮(0) = 1
∮'(0) = 0
∮(0) = 0
Dμ(x) = x3/3!
Dμ(x) = x − x3/3!
B(a) = log(a)
B⁽²⁾(x) = x−2
B⁽³⁾(x) = −2x−3
B⁽ⁿ⁾(x) = (−1)ⁿ⁻¹ (n−1)! x−n
β((m))(x) = (−1)m (m−1)! x−m
m / m!
log(a) = −1/2 x−1 + 1/3 y
x = u
Ex
lim x(15x2-1) • tg a
x→0
- (ex-1) - (e5x-1)(sin x)/(cos{5x/2))
- X(15x-cos{3x2}))tgnx=
- 0(x) • X
- 3 • o{a{0(x)}} - 2 + 0(X) = 0
Non posso usare il grado perche manca 0
0+0x+0
- x+5x2+0(X)
- y - q2(y)
- o(4(x5))=o
- q0(X) = Y
x - 2 + 0 X
0(e15x)
N=(X5x2-1)
Numeratore
- gk • q(x1)
D
Denominatore
- e2e1.2x + X CAP0O(X)
ordine 2
e-1 • g • 5x
(e-in3) x
Ex
1.2x(1o(e2)
o(e3) • dx
- 1 - 0(x5)
lim numero(x15-!)(tg x)
x•(&exp(xgxin+eon(xcogsinwit))
Limiosi
finğer (xx)x
- y(x) = (1oo (log (log(x^2))) = m(x log(1+ x^2))
Denominatore
(1-e^log(1/x^2)) = (1 - e^1 x = x^3/x^4/ y/ +
x^4 = 3(1/e^x) /x (e^x)
Numeratore
log(log(x)) x^2 (log(x^4))
x (log(x+1)) = x(fog(fog(fog(x))))
Teorema 1
f: A ⊆ R descritta
A ⊆ R allora
f monotona crescente ⇔ f(x) ≥ 0 ∀
f monotona crescente ⇔ f(x) ≤ 0 ∀
Ipotesi globale tesi globale
Teorema 2
f: I ⊆ R descritta
∀ x ∈ D(f)(x) = ∃ monotona crescente
∀ x ∈ D(f)(x) = ∃ monotona decrescente
Ipotesi locale tesi globale
- Intervalla
Nel teorema 1, questo ipotesi globale, pone avere un qualunque x dx di serie po = √3 massimo esterno ipotesi locale, quanto con no leva con funzione lui intervalla.
Per il teorema basta una definizione avvenq una test
Ipotesi quando ra pr serve una tesi, no può
Dim T1
f: I x = D(f) monotona x < y
Applicazione logiche
∃c ∈ I x < y f(x) f(y) f(c)=f'(c)(y-x)= 0
Ex
f(x)= 1/x
D(f)= R\{0}
∀ x ∈ R 3 f' = 1/x = 0
f' è decrescente con cilindro devol imtervallo est unimo esse minimo
la funzione decrescente
f non decresce in D
Pro qn ro
f => f è massimo crescente in f ≤ f
Si f monotona crescente in f'
Esercizio
f(x) = log2(1 - logex)
- Studiare monotonia
- Calcolarlo f'
1
D(f) = ]0, +∞[
∀ x ∈ D(f) ∃ f−1 ( x )
1/logex = x [ x = logex ]
1/x ( 1 − logex )
1 = loge(1)
- x0 1 logex = 1
- 0 1 xe ↔ +∞
f è monotona crescente in ]0, e]
decrescente in ]e, +∞[
2
f'(x) = 1/x [ x−1 − 2x ( 1 − logex ) ]
1/x − x |2logex| = /+
−3/x ( 3 − 2logex )
−1/x ( 2logex )
x(3 − 2logex)
2logex
x
f'(x)
f è concava in ]0, e]
f è convessa in ]e, +∞[
(4)
continua crescente in [5, (5)[
decrescente in ]5.5, +∞[
Vece, precisa e continua
PROP
Se : [, ] ⟶ ℝ
Se in ], [ è crescente e è continua in [, ]
allora è crescente in [, ]
DIM
∀1, 2 ∈ ], [ (1) ≤ (2)
Se 1 ⟶ + Se 2 ⟶ - allora () ≤ (1)
Se x1 ⟶ + Se ⟶ - () ≤ ()
Se è pto di max rel. (5) è max rel
(5, (5))
ALTRO ESERCIZIO
\(1+x\)^{n} - \(1+x+\frac{1}{2}\)^{n}
→0 exp(2) - 1 =
\(1+x×1\) = 0×(\(1+x×1\))n
= o()n
\(1+x+x^{2}\)1 × o()n - o
0 × o()n
−
→0 \(\frac{1+x}{exp(\(x^{2}\))} - 1
\(x^{n+1}\)\(1+\frac{1}{2}\(\frac{1}{x}\(\frac{1}{})\)n
× exp(\(\frac{1}{}\)) - 1
- × - (×1)
\(\frac{1}{x}\) -> quindi primo modo tropo - - - →
( + )2 + x + + \(x^{a+1}\)
\(y = + 0 \(y^{n}\)
\(\frac{1}{^{2}}\)dx = 1 + \(1+\(\frac{5}{5^{2}\)\) = 0 ).y^{n}\)
exp (1\(\frac{1}{x})\)
z`z
→∞(()) = ∞
MONOTONIA
() = \(\sqrt{\(\frac{x^{{2-1}}\)+1}\)}/x^{al}
()
≠ - \(Expe
D(ℝ) = R = ℝ≠ 25
ℝ = continua
en'la derivata in
D(ℝ) = D(ℝ)
' ()\(=\(\frac{x^{2}}\sqrt{\(\frac{x^{{2-1}}\)+1}\))\)^{2}\)
= (^{2x})
/ \(\frac{1}{x^{2}}\) / exp (1\(\frac{1}{x})\
= (\(\(\(\frac{x^{-k}\)\))\) {2 =>n)
= \(nega\(x^{-1}\(x - 1}\)\)/\(sqrt ∞
= \((a\(\(\(\frac{1}{x})\)\)/\(\sqrt∞})\) x
- '() =
2x + 1 = 2√(x² + x)
x² + 6x + 1 = x√(x² + x)ux = 1 = uxux = 1 = uxNON HA SOLUZIONI
β'(x) < 0 ∀ x
β'(x) > 0 in [0, 1]
β'(x) ≤ 0 in ] - ∞, 0 [:β è decrescente in [ - ∞, 0 [β è crescente in [0, + ∞ [
-1 punto di una retta0 punti di una retta
Trovare quante soluzioni ha l'equazione β(x) = 0date dipendenti
|q| = x + 1 cos(q) = 1Dg(β) = R
qₓ = [β(q), 3(β(q)]
β'(x) : negax - neg(x) ≡ 0x > xβ'(x) = - 1 = neg(x) ⇒ ≥ 0x < xβ'(x) = - 1 = neg(x) ⇒ ≤ 0
β è crescente in ] 0, + ∞ [β è decrescente in ] - ∞, 0 ]
β'(x) = 0 has 1 sola soluzioneβ'(x) = 3 ha due soluzioni (A, B)β'(x) = -1 Non ha soluzioni
Se β: ]0, 1[∪]2,3[→Kβ ∈ C¹β' ∈ O
β(x) = |x| è convesso?
β è convessa
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