Risposte alle domande di Metodi numerici per l'ingegneria presenti nel testo

Sostituendo, troncando l'errore e generalizzando si ha

Il generale il problema si può scrivere nella forma compatta

Domande ed esercizi 1 Pagina 22

Nota, A è simmetrica e definita positiva, difatti vale

Le proprietà di A la definiscono non singolare, il che permette l'operazione

Si fanno gli stessi passaggi fatti sopra, in particolare

Per utilizzare la forma compatta vista sopra, si deve avere la diagonale dominanza di A, che ora non è più simmetrica; allora si deve avere Domande ed esercizi 1 Pagina 23

I passaggi sono identici a quelli fatti al punto 4), ottenendo una forma compatta del tipo

Con A non singolare per le stesse ragioni esposte in 4)

Si risolve allora il problema agli autovalori, che, date le condizioni di Dirichlet, saranno del tipo

Autor: Michele Arena Domande ed esercizi 1 Pagina 24

Ott 1lunedì 9 gennaio 2023 16:47

1)Per ottimizzazione si intende un processo di ricerca dell'elemento ottimale, scelto all'interno di

Un insieme di elementi, posto secondo un criterio di ottimalità e, in caso, uno o più vincoli che definiscono l'insieme. In particolare si definisce una funzione obiettivo, ossia la funzione per cui si cerca un minimo/massimo che deve rientrare all'interno dell'insieme di ammissibilità, un insieme di punti definito dai vincoli.

Si definisce minimo di una funzione quel punto tale che, in un intorno centrato in esso, sia il valore minimo; se questo è vero per un intorno che si estende all'intero dominio della funzione, allora il minimo è globale.

Ipotesi

Tesi

Dimostrazione

Domande ed esercizi 1 Pagina 25

Si dice punto stazionario quel punto in cui f' = 0, punto critico un punto stazionario o in cui f' non esiste.

I candidati a max/min di f dipendono da f:

• Se di classe C1 in un intervallo aperto, sono i punti stazionari
• Se di classe C1 in un intervallo chiuso, sono i punti stazionari e quelli estremali, ovvero gli estremi

dell'intervalloSe di classe C0, si considerano anche i punti critici- Se presenta punti di discontinuità, anche questi sono candidati-5)IpotesiTesiDimostrazionePer ipotesi la sommatoria si annulla. Sostituendo nella definizione di minimo abbiamo6)Gradiente ed hessiano sono così definitiIpotesiTesiDimostrazione Domande ed esercizi 1 Pagina 26IpotesiTesiDimostrazioneDall'espansione di Taylor fatta primaSostituendo nella definizione di minimoEssendo ipotizzato che il membro sinistro fosse maggiore di zero, questo dimostra la tesi. Nota: maggiore euguale a zero non sarebbe stato sufficiente, perché per ε non nullo potrebbe valere7) Domande ed esercizi 1 Pagina 278)Autor: Michele Arena Domande ed esercizi 1 Pagina 28Ott 2lunedì 9 gennaio 2023 16:482)Un problema di programmazione lineare è tale per cui le h sono funzioni lineari e i vincoli sono solo diuguaglianza , inoltre3)Si usano variabili di slack e di surplus; queste, definite

allo stesso modo, servono per riscrivere rispettivamente

4) Una variabile libera è l'i-esima componente di f(x) tale per cui non vige il vincolo:

Domande ed esercizi 1 Pagina 29

Questa si può trattare in due modi

Preso un vincolo

Si esplicita x_i e la si sostituisce in tutti gli altri vincoli. In questo caso, il vincolo di partenza si sopprime, così come la variabile

In alternativa, si sostituisce ovunque

In questo caso, si aggiunge una variabile e le condizioni

5)

6) Domande ed esercizi 1 Pagina 30

Autor: Michele Arena Domande ed esercizi 1 Pagina 31

Ott 3

lunedì 9 gennaio 2023 16:48

1) Si fa solo il primo, il secondo è analogo, sono solo più rette

2) I casi sono:

Regione ammissibile limitata, soluzione unica (pari ad uno spigolo della regione)

Regione ammissibile limitata, soluzione infinita (pari ad un segmento della regione)

Regione ammissibile non limitata, soluzione non definita limitata

Regione ammissibile non compatta (vincoli che si contraddicono)

soluzione non ammissibile-3)Per sistema lineare sottodeterminato si intende un sistema del tipo Ax=b in cui il numero di equazioni è minore del numero di incognite.Sia una matrice A (m x n, m<n) di rango m e siano linearmente indipendenti i primi m vettori di A, questi definiscono una base B; sia inoltreSe poniamo Domande ed esercizi 1 Pagina 32Se poniamoIn generale, a patto che A abbia rango m, esistono finite delle soluzioni di base, in quanto queste possonoesistere prendendo le sottomatrici di A.In generale, esistonoQuindi non possono esistere più soluzioni di base di quante sono quelle sottomatrici4)5)Sia A di rango m, con le prime colonne di m linearmente indipendentiDomande ed esercizi 1 Pagina 33Quest’ultima è la forma canonica di Ax=b6)Il j-esimo vettore a può essere espresso comeDove i λ sono la rappresentazione di a_j sulla base formata dai vettori da 1 a m.Quello che si chiede è come poter rappresentare lo stesso vettore in

una base simile, ma dove il vettore a_p è stato sostituito con un vettore a_q, con q tra m+1 ed n; allora, partendo dall’espressione precedente

7) Sia scritto il vettore dei termini noti b=Ax come

Domande ed esercizi 1 Pagina 349)

Sia dato un problema di programmazione lineare x è detta soluzione ammissibile se soddisfa solo la prima condizione, se questa è una soluzione di base si chiama soluzione ammissibile di base.

Analogamente riguardo quella ottimale, così detta se soddisfa tutte le condizioni

Il teorema fondamentale della programmazione lineare afferma che

Se esiste una soluzione ammissibiile, esiste anche una soluzione ammissibile di base

- Se esiste una soluzione ammissibile ottimale, esiste anche una soluzione ammissibile di base ottimale

Questo teorema riduce la risoluzione del problema alla ricerca di soluzioni di base.

Il metodo del simplesso si basa su questo per passare efficientemente da una soluzione di base ad un’altra, garantendo, se possibile,

una decrescita dell'obiettivo, quindi il raggiungimento della soluzione di base ottimale.

Il metodo consiste nei seguenti passaggi:

Scrittura dei coefficienti di costo ridotto- Domande ed esercizi 1 Pagina 35

Scrittura dei coefficienti di costo ridotto- Scelto il minimo tra quelli negativi (che chiamiamo con il pedice q), si scrivono i seguenti rapporti

Se sono presenti elementi positivi, si sceglie il minimo tra questi (che chiamiamo con il pedice p): indice di riga ne definirà il perno

Si applicano le seguenti formule

Si ripete finché i coefficienti di costo ridotto sono tutti positivi, condizione che determina l'ottimalità della soluzione della nuova soluzione x' trovata, in quanto

Autor: Michele Arena Domande ed esercizi 1 Pagina 36

Ott 4lunedì 9 gennaio 2023 16:49 Domande ed esercizi 1 Pagina 37

E si procede analogamente a sopra

Autor: Michele Arena Domande ed esercizi 1 Pagina 38

Ott 5lunedì 9 gennaio 2023 16:50

1)Un problema di

La programmazione intera è un problema di programmazione in cui l'elemento ottimale deve essere un intero, scelto quindi all'interno di un insieme di elementi interi; questo significa che la regione ammissibile di un problema è costituita da punti, e non più da una regione continua.

Con rilassamento lineare si intende la risoluzione del problema di programmazione intera avendo soppresso il vincolo di appartenenza agli interi. Questo, nonostante non ci dia la soluzione per il problema originario, ci permette di conoscere l'intorno della soluzione (quindi se esiste una soluzione del problema lineare, ne esiste una intera, idem se non esiste), oltre che un valore oltre il quale non può esistere la soluzione intera.

Nel metodo branch & bound ci sono altri dettagli, ma non è stata fatta una descrizione dettagliata.

Il metodo cutting plane consiste nel tagliare tramite aggiunta di vincoli la regione ammissibile in modo da escludere soluzioni ottimali frazionarie.

Dato un

1. Una direzione è di discesa se, preso un punto e spostandoci lungo questa, si riduce il valore della funzione valutata in quel punto. In un problema vincolato non tutte le direzioni sono ammissibili, ma solo quelle che sono tangenti al vincolo nel punto da cui ci si sposta.
2. In un punto di minimo deve valere f'(x) = 0. Inoltre, dal vincolo g(x) = 0 si ha g'(x) = 0. Se esiste d tale che le due condizioni siano soddisfatte, allora non siamo in un minimo; si può dimostrare che non esiste quel d se si verifica la condizione di...