Risposte alle domande, Statistica

1) Dare la definizione di vettore aleatorio gaussiano standard e di vettore aleatorio gaussiano. Fornire le principali proprietà dei vettori gaussiani.

Un vettore aleatorio Z¯ = (,...;) è gaussiano standard n-dimensionale se le v.a ,...; sono v.a gaussiane standard indipendenti.

Un vettore aleatorio n-dimensionale X¯ è gaussiano se esistono una matrice A ×, μ¯ ∈ ℝⁿ e un vettore gaussiano standard n-dimensionale Z¯, tali che X¯ = Z¯ + μ¯.

Sia X¯ = Z¯ + μ¯ vettore gaussiano n-dimensionale e C = la matrice di covarianza di X¯, allora valgono le seguenti proprietà:

• Se > 0 , allora la componente -esimo è una gaussiana con ∼ (; ). Se = 0 allora ( = ) = 1.
• Se è una matrice × e h¯ ∈ ℝ allora Y¯ = X¯ + h¯ è gaussiano con vettore delle medie μ¯ + h¯ e matrice di covarianza C.
• Se ₁,...; sono non correlate allora sono anche indipendenti.

Statistica - Teoria 1 / 32 19/01/13

1) Dare la definizione di vettore aleatorio gaussiano standard e di vettore aleatorio gaussiano. Fornire le principali proprietà dei vettori gaussiani.

Un vettore aleatorio Z^→=(z_i,...;z_n)^T è gaussiano standard n-dimensionale se le v.a z_i,...;z_n sono v.a gaussiane standard indipendenti.

Un vettore aleatorio n-dimensionale X^→ è gaussiano se esistono una matrice A n×m, μ^→ ∈R^r e un vettore gaussiano standard n-dim Z_→, tali che X^→ = A Z^→ + μ^→.

Sia X^→ = A Z^→ +μ^→ vettore gaussiano n-dim. e C=AAT la matrice di covarianza di X^→, allora valgono le seguenti proprietà:

• Se c_ii > 0 , allora la componente i-esimo x_i è una gaussiana con x_i ∼ ( μ_i ; c_ii). Se c_ii = 0 allora P(x_i = μ_i) = 1.
• Se G è una matrice k×n e h^→ ∈ R^k allora Y_→ = G X^→ + h^→ è gaussiano con vettore delle medie G μ^→ + h^→ e matrice di covarianza GC GT.
• Se x₁;...;x_n sono non correlate allora sono anche indipendenti.

2) Date la definizione di funzione generetrice dei momenti di una variabile aleatoria e elencare le sue principali proprietà. Calcolare la fgm della V.A. x+y, con x e y indipendenti e con distribuzione esponenziale di media ϑ, giustificando i passaggi.

Sia X una VA per la quale esiste un intervallo aperto G contenente lo 0 tale che e^tx ammette media ∀t in 0. Allora la funzione:

m_x(t) = E(e^tx) definita almeno ∀t ∈ 0 è la fgm di x.

Tutti gli altri momenti possono essere ottenuti derivando più volte m_x nell'origine. Valgono le seguenti proprietà:

• Siano x e y 2 vettori aleatori che ammettono fgm m_x e m_y, allora le 2 fgm: F_x = F_y se e solo se m_x = m_y.
• Sia x' un vettore aleatorio che ammette m_x' e siano m_x le fgm marginali. Allora le componenti di x' sono indipendenti se e solo se m_x' = m_x . m_x2 .... . m_xn.

x e y sono VA indipendenti 1/λ = ϑ λ = 1/ϑ , f_x(x) = ¹/_ϑ e^{-1/_ϑ x}.

Poiché sono indipendenti, la fgm di x+y è data dal prodotto delle 2 funzioni generatrici m_x+y(t) = m_x(t) . m_y(t).

E(e^tx) = ∫₀^+∞ e^tx . ¹/_ϑ e ^-1/ϑ dx = ∫₀^+∞ e ^{(t -1/ϑ)x} dx =

= -¹/ϑ (¹/_{t -¹/ϑ}) ∫₀^+∞ e ^{-(t + 1/ϑ)x} dx = -¹/_{t -¹/ϑ - 1} = ¹/_{1 - tϑ}.

Statistica - Teoria 2 / 32 19/01/13

3) Dare la definizione di distribuzione t e F. Fornirne le proprietà dei quantili delle due distribuzioni.

Se z e C_n sono V.A. indipendenti con z ∼ N(0;1) e C_n ∼ χ²_n allora la V.A