Risposte alle domande, Statistica

1) Dare la definizione di vettore aleatorio gaussiano standard e di vettore aleatorio gaussiano. Fornire le principali proprietà dei vettori gaussiani.

Un vettore aleatorio ⁿ = (z₁; ... ; z_n)^T è gaussiano standard n-dimensionale se le z₁, ..., z_n sono v.a. gaussiane standard indipendenti.

Un vettore aleatorio n-dimensionale ⁿ è gaussiano se esistono una matrice A _{n x m}, ^m ∈ ℝ^r e un vettore gaussiano standard n-dim. ⁿ tali che ⁿ = A ⁿ + ^m.

Sia ⁿ = A ⁿ + ^m vettore gaussiano r-dim. e C = AA^T la matrice di covarianza di ⁿ, allora valgono le seguenti proprietà:

• Se c_ii > 0, allora la componente i-esimo x_i è una gaussiana con x_i ∼ (μ_i, c_ii). Se c_ii = 0 allora P(x_i=μ_i) = 1.
• Se G è una matrice k x n e h ∈ ℝ^k allora ^k = G ⁿ + h è gaussiano con vettore delle medie G^m + h e matrice di covarianza GCG^T.
• Se x₁, ..., x_n sono non correlate allora sono anche indipendenti.

Statistica - Teoria

2) Dare la definizione di funzione generatrice dei momenti di una variabile aleatoria e elencare le sue principali proprietà. Calcolare la fgm della V.A. X+Y, con X e Y indipendenti e con distribuzione esponenziale di media ϑ, giustificando i passaggi.

Sia X una VA per la quale esiste un intervallo aperto G contenente lo 0 tale che e^tx ammette media ∀t ε G. Allora la funzione :

m_x(t) = E(e^tx) definita almeno ∀t ε 0 è la fgm di x.

Tutti gli altri momenti possono essere ottenuti derivando più volte m_x nell'origine. Valgono le seguenti proprietà:

• Siano x e y vettori aleatori che ammettono fgm m_x, m_y, allora le 2 fgm : F_x = F_y ⇔ se e solo se m_x = m_y.
• Sia x̅ un vettore aleatorio che ammette m_x̅ e siano m_x le fgm marginali. Allora le componenti di x̅ sono indipendenti se e solo se m_x̅ = m_x1, m_x2, …, m_xn.

X e Y sono VA indipendenti 1/λ = ϑ λ = 1/ϑ, f_x(x) = 1/ϑ e^-1/ϑx.

Poiché sono indipendenti la fgm di x+y è data dal prodotto delle 2 funzioni generatrici m_x+y(t) = m_x(t) · m_y(t).

E(e^tx) = ∫₀^+∞ e^tx · 1/ϑ e^-1/ϑx dx = ∫₀^+∞ e^(t-1/ϑ)x dx =

= -1/ϑ (1/(t-1/ϑ)) ∫₀^+∞ [-(t-1/ϑ)x] e^(-t-t-1/ϑ)x dx = -1/t-1/ϑ = 1/1-tϑ.

• consistenza: P(|_X̅n−μ|>ε)→0 per n→+∞ ∀ε>0 : P_θ(|_Dn - k(θ)|>ε)→0 per n→+∞, vale ∀ε>0 perciò è uno stimatore consistente.
• asintoticamente gaussiano per il TCC: P(^{(_X̅n−μ)_√n}/σ̂ ≤ x)→Φ(x) per n→+∞. Per "n grande" X̅_n ≃ N(μ, ^σ₂/n) qualunque sia la distribuzione delle x_i (con media e varianza finita).

3) Descrivere brevemente il metodo di massima verosimiglianza per la stima di un vettore di parametri incogniti della popolazione.

Sia f_θ una densità discreta o assolutamente continua dipendente da un parametro incognito θ (o da un vettore di parametri incogniti θ = (θ₁,..., θ_k)). Sia x₁,...,x_n un campione aleatorio estratto da f_θ; la densità del campione essendo le x_i v.a. i.i.d. è:

L(θ) = F_θ(x₁,...,x_n) = L(x₁,...,x_n| θ) = ∏_i=1ⁿ f_θ(x_i)

Supponiamo di osservare i dati x₁ = x̄₁, ..., x_n = x̄_n e consideriamo la funzione di θ, detta verosimiglianza del campione o likelihood

L(θ) = F_θ(x̄₁,...,x̄_n| θ) = ∏_i=1ⁿ f_θ(x̄_i)

Se x₁,...,x_n sono v.a. discrete allora: L(θ) = ∏_i=1ⁿ P_θ(x_i = x̄_i)

se assolutamente continue: L(θ) = ∏_i=1ⁿ F_θ(x̄_i).

Stima MLE → ˆθ_n = argmax_θ (L(θ)) = argmax_θ (∏_i=1ⁿ f_θ(x̄_i))

Stimatore MLE → ˆθ_n = t_n(x₁,...,x_n)

Descrivere il procedimento per ottenere un intervallo di confidenza unilatero, di livello \(1-\alpha\), per la varianza di una popolazione normale con media e varianza \(\alpha^2_0\) nota.

Costruiamo l’intervallo di confidenza per la varianza \(\alpha^2\) usando il fatto che \(\frac{(n-1)Sn^2}{\alpha^2} \sim \chi^2_{n-1}\) è una quantità pivotale perché funzione solo di \(\alpha^2\).

Se \(\alpha \epsilon (0;1)\) ho:

\(1-\alpha = P\left(\mu;\alpha^2\right) \left( \frac{(n-1)Sn^2}{\alpha^2} < \chi^2_{\frac{\alpha}{2};n-1} < \frac{(n-1)Sn^2}{\alpha^2} \right) =\)

\(P\left(\mu;\alpha^2\right) \left( \frac{(n-1)Sn^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2};n-1}} < \alpha^2 < \frac{(n-1)Sn^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2};n-1}} \right)

Per gli intervalli unilateri avrò:

\(1-\alpha = P\left(\mu;\alpha^2\right) \left( \frac{(n-1)Sn^2}{\alpha^2} \leq \chi^2_{\alpha; n-1} \right) = P\left(\mu;\alpha^2\right) \left(\alpha^2 > \frac{(n-1)Sn^2}{\chi^2_{\alpha; n-1}}\right)

ossia \(\left(\frac{(n-1)Sn^2}{\chi^2_{\alpha; n-1}} ; + \infty \right) \), intervallo illimitato superiormente.

\(1-\alpha = P(\mu;\alpha^2)\left(\frac{(n-1)Sn^2}{\alpha^2} > \chi^2_{1-\alpha; n-1} \right) = P(\mu;\alpha^2)\left(\alpha^2 < \frac{(n-1)Sn^2}{\chi^2_{1-\alpha; n-1}}\right)

ossia \((0 ; \frac{(n-1)Sn^2}{\chi^2_{1-\alpha; n-1}})\), intervallo illimitato inferiormente.

18) descrivere il procedimento per ottenere un test di livello α per le ipotesi H₀: μ = 0 contro H₁ : μ ≠ 0 dove μ è la media di un campione gaussiano x₁, ... , x_n di varianza σ₀² = 1.

x₁, ... , x_n dove x_i estratto da N(μ, σ²), voglio verificare:

H₀: μ = μ₀ = 0

H₁: μ ≠ 0

Considero una regione critica del tipo:

c := { (x₁, ... , x_n) : | x̄_n - μ₀ | > k }

α = P(errore di I specie) = P_H0 ( (x₁, ... , x_n) ∈ c ) = P_μ0 ( | x̄_n - μ₀ | ≥ k )

Se μ₀ = 0 ho: x̄_n ~ N(μ₀, σ₀² / n) → ( x̄_n - 0 ) √n / 1 ~ N(0;1) quindi:

α = P_μ0 ( | x̄_n - μ₀ | / σ₀/√n > k √n / σ₀ ) = 2 P_μ0 ( ( x̄_n - μ₀) / σ₀/√n > k √n / σ₀ ) =

= 2P( z ≥ k √n / σ₀ ) = 2P( z ≥ k √n / 1 ), risolvo rispetto a k:

P( z ≥ k √n / σ₀) = α / 2 → k √n / σ₀ = z_α/2 per cui ottengo:

c := { (x₁, ... , x_n) : | x̄_n - μ₀ | √n / σ₀ > z_α/2 }.

Possiamo dunque concludere che un test di livello di significatività α