Metodi Numerici con Elementi di Programmazione (formulario - risposte modello)

Disezione:

K x log( _b-a/_Ԑ )

^F(x_n)/_b-a

Punto Unito M:

x_n+1 = log( ^1-f(x_n)/_1-xn )

^f(x_n)/_1-xn , ∣ x_n - x ∣ ≤ Ԑ, K = ¹/_1-α

^{log K}

Condizionamento

∣x_n∣ = ^{∣A∣∣A-1∣}/_{∣B∣∣B^-1∣}

Splitting

C_p = - D^-1(L+U)

Q_D = Đ^-1B

C_G5 = - (D+L)^-1U

Q_G5 = (D+L)^-1B_x

²/_{(d+Λ+L^-1Q5)}

K x log( ^1-f(x₀)/_X0-K ) log f(x_c)

Valori Iniziali

EE. y_i = y_{i, xi}

y_h = y_i + h(∫f(x_n + 1 , ..., y_n)) + ∫Dx, y₁ = f(x₁, y₁, y₂)

EM. y_i = y_{i, h}

f(x_n, y_n + y_h)

y_RKK1

y_m+1 = y_m+1 + ∫(y_n + ^{h_x + 3}/₅)

EI y_i = y_i + h ( ¹/₂ yj,...)

CN h. y_i = y_{i, yi-1}

f(x₁, y₁, y₃)

I.e. 1 ≤ (C, ph ⁷) I e (∑ k, x(...)^⁷) e^x, x₁...

Limiti:

y⁴

y^{i, y_i}

y^i...

u²yⁱ = τ c ^h2/ ( yⁿ, yⁱ - 2px, y^j)

 =

Interpolazione:

M ʳ ASDϯ,

M_n a_M

f(x) = MAMA_asacrron log m a M M log_x a

Spline: (lineare)

Sc (x) = _n f'(y_c)

Quadratura:

∫ (a) + ∫∑ fx

f(b) h² = ∫'' sin h² π''+ \ ∫(y``)

s. 12 ∫ ^h_p3x = ^{ux2/λ d ∫s}

Estrazione:

y_n = ^1/2y2

∫ (y₆, x_i) e^4y

R_1/2 = ∫ x^y, h

R_1/2 = P̃_1/4

ALGORITMI

1. Definisi: algoritmia equivalente e fai esemp. con argomenti del corso. Due algoritmi sono eq. quando ricevono stessi input, restituiscono stessi output, restituiscono stessi output in corrispondenza degli stessi input. Massimo Comune Divisore (tra p e q).
   • Input: p, q
   • 1. LEGGI p, q
   • 2. ASSEGNA A
   • 3. ASSEGNA A
   • 4. ASSEGNA A
   • 5. PONI M = max{N}
   • 6. STAMPA M
   • Output: M
   • Input: p, q
   • 1. LEGGI p, q
   • 2. SE p = q
   • 3. TORNA AL PUNTO 2 FINCHÉ
   • 4. STAMPA M
   • Output: M
2. Definire: diagrammi di flusso e principali simboli.
   • Schema grafico rappresentativo di uno pseudocodice.

2) Tipologie d'errore e stima del resto.

L'errore di troncamento è quello la cui natura proviene dall'approssimazione di una generica funzione con un polinomio di grado n. Questo errore può essere stimato attraverso il polinomio di grado n+1, la derivata n+1 della funzione in un dato punto, e il in tutto il dominio di interpolazione. Il resto (di troncamento) dunque non è nient'altro che l'integrale di questo errore nel dominio d'integrazione. Il resto di propagazione invece nasce dall'integrazione dell'errore di propagazione (la cui natura proviene dall'errore che si è su dati) nel dominio di integrazione che può essere stimato attraverso la conoscenza dell'errore massimo che si ha sui dati e dei coefficienti delle formule di quadratura.

Nel caso in cui non si dispongano delle informazioni necessarie su citate, è possibile ricorrere al criterio di Runge (con estrapolazione di Richardson) per ottenere una stima del resto di troncamento di una certa formula di quadratura attraverso il calcolo del valore dell'integrale in tutto il dominio di integrazione rispetto a due passi (dei nodi), uno doppio dell'altro; sottraendo i risultati e moltiplicando per un opportuno fattore si ottiene una stima del resto di troncamento desiderato.

• nel corso di interpolazione algebrica polinomiale si può scegliere il metodo delle differenze divise se i dati tabulati sono al più affetti da errori trascurabili (conveniente rispetto alla base di Lagrange nel caso di aggiunta di nodi e di rimozioni). Oppure si può utilizzare la base di Lagrange e il fenomeno di per to limitare il fenomeno interpolatore (se i dati sono affetti da errore non trascurabile se tiene conto l'errore di propagazione)
• nel caso di numerosi dati, maggiori affetti da errore non trascurabile, si può ricorrere all'approssimazione ai minimi quadrati (tenendo conto della dimensione della matrice perché mal condizionata) di un polinomio di grado minimo
• nel caso di stima della derivata di una funzione si può confrontare questa con la differenza divisa dello stesso ordine (n ad esempio) moltiplicata per n!

1. Similarità e differenze tra minimi quadrati e interpolazione:
   • dati affetti da errore contenuti (interp), altrimenti minimi quadrati
   • il polinomio verifica esattamente il valore di n+1 nodi (interp), il polinomio minimizza la distanza quadratica neutra il valore che assume nel modo e quello assunto da f nello stesso, per ogni modo (minimi quadrati)
   • stima del polinomio attraverso somme e moltiplicazioni (base di Lagrange) per l'interp, stima del polinomio attraverso la risoluzione di un sistema lineare mal condizionata (quadrati)
   • sia n+1 il numero di nodi allora se n = M M grado del polinomio che si vuole approssimare con minimi quadrati, i due problemi coincidono
   • l'interpolazione riesente sempre del numero de nodi a disposizione, l'approssimazione ai quadrati no quando M diventa molto maggiori di n