Paniere Metodi Matematici per l'ingegneria - Risposte multiple

Lezione 03001

Sia g(x)=4 se x∈[0,π) e g(x)=0 se x∈[π,2π), 2π-periodica su R. Utilizzando lo sviluppo in serie diFourier dell'onda quadra, si ottiene che la serie di Fourier di g(x) è2+4/π Σsin(2nx)/(2n+1), con n che va da 0 a +∞2+8/π Σsin[(2n+1)x]/(2n+1), con n che va da 0 a +∞2+8/π Σcos[(2n+1)x]/(2n+1), con n che va da 0 a +∞4/π Σsin[(2n+1)x]/(2n+1), con n che va da 0 a +∞

2. Sia h(x)=1 se x∈[0,π) e h(x)=-1 se x∈[π,2π) 2π-periodica si R. Utilizzando lo sviluppo in serie diFourier dell'onda quadra, si ottiene che la serie di Fourier di h(x) è1+1/π Σsin[(2n+1)x]/(2n+1) con n che va da 0 a +∞4/π Σsin[(2n+1)x]/(2n+1) con n che va da 0 a +∞4+4/π Σcos[(2n+1)x]/(2n+1) con n che va da 0 a +∞2+2/π Σcos[(2n+1)x]/(2n+1) con n che va da 0 a +∞

3. Sia f(x) la funzione onda quadra. Allora∀k≥0f(x)

è una funzione dispari e quindi ak=0

f(x) è una funzione pari e quindi bk=0 per k≥0

i coefficienti di Fourier di f(x) sono a0=1, ak=0 se k≥1 e bk=-2 se k≥1 dispari

i coefficienti di Fourier di f(x) sono a0=1, ak=0 se k≥1 pari e ak=-2 se k≥1 dispari e bk=0 se k≥1

Lezione 0310

1. Sia f(x) una funzione periodica con pulsazione ω e semiperiodo t, con sviluppo in serie di Fourier dato da Σckeikx, con k che va da -∞ a +∞. Allora ∀k∈Z ck=1/(2t) ∫f(x)e-iωkx dx, dove l'integrale è esteso da -t a t,

∀k∈Z ck=1/t ∫f(x)eiωkx dx, dove l'integrale è esteso da -t a t,

∀k∈Z ck=1/(2t) ∫f(x)eiωkx dx, dove l'integrale è esteso da -t a t,

∀k∈Z ck=1/t ∫f(x)e-iωkx dx, dove l'integrale è esteso da -t a t,

2. Sia z=x+iy in C. Allora la funzione esponenziale f(z)=ez è definita come

ey[cos(x)+isin(x)]ex[sin(y)+icos(y)]ex+y[cos(y)+isin(y)]ex[cos(y)+isin(y)]

3.

Sia f(x) una funzione di variabile reale a valori reali periodica di periodo T. Allora la pulsazione di f(x) è ω=T/2π

Lezione 03201. Sia f(x)=x se x∈[0,1] periodica di periodo 1 in R. La serie di Fourier di f converge puntualmente alla funzione

s(x)=x se x∉Z e s(x)=1 se x∈Z

s(x)=x se x∉Z e s(x)=0 se x∈Z

s(x)=x se x∉Z e s(x)=1/2 se x∈Z

Per il teorema di convergenza puntuale di una serie di Fourier, se f ha un salto in x0 ed esistono finiti f'+(x0+) e f'-(x0-), allora

non è detto che la serie di Fourier di f converga in x0

la serie di Fourier di f converge in x0 e la somma è s(x0)=[f'+(x0+)+f'-(x0-)]/2

la serie di Fourier di f converge in x0 e la somma è s(x0)=[f(x0+)-f(x0-)]/2

la serie di Fourier di f converge in x0 e la somma è s(x0)=[f(x0+)+f(x0-)]/2

Il teorema di Dirichlet afferma che se f è una funzione periodica di periodo T e limitata,

Allora la serie di Fourier di f converge puntualmente a ∀x∈[0,T] s(x)=[f(x+)+f(x-)]/2

Se f è una funzione periodica di periodo T e se l'intervallo [0,T] si può scomporre in un numero finito di sottointervalli in cui f è monotona, allora la serie di Fourier di f converge puntualmente a s(x)=[f(x+)]∀x∈[0,T]+f(x-)]/2

Se f è una funzione periodica di periodo T e limitata e se l'intervallo [0,T] si può scomporre in un numero finito di sottointervalli in cui f è monotona, allora la serie di Fourier di f converge puntualmente a s(x)=f(x)∀x∈[0,T]

Se f è una funzione periodica di periodo T e limitata e se l'intervallo [0,T] si può scomporre in un numero finito di sottointervalli in cui f è monotona, allora la serie di Fourier di f converge puntualmente a s(x)=[f(x+)]∀x∈[0,T]+f(x-)]/2

Lezione 03301. Sia f(x)=|x| se x∈[-1,1] periodica di periodo 2 in R. Allora non è

di serie di Fourier ad f perché f non è derivabile in x=0.di serie di Fourier perché f non è continua in R non si può applicare il teorema di derivazione di serie di Fourier perché la derivata di f non è continua in [-π,π) la serie di Fourier di f si può derivare termine a termine in ogni intervallo [-π,π] perché sono soddisfatte le ipotesi del teorema di derivazione di serie di Fourier. 03. Sia f(x)=x^2 se x∈[-π,π) periodica di periodo 2π su R. La sua serie di Fourier è (2/3)π^2+4Σ(-1)^k/k^2cos(kx), dove k va da 1 a +∞. Allora la serie di Fourier di f converge uniformemente ad f(x) e, derivando la serie termine a termine, si ha f'(x)=4Σsin(kx)/k, con k da 1 a +∞, se x≠±π. La serie di Fourier di f converge uniformemente ad f(x) e, derivando la serie termine a termine, si ha f'(x)=4Σ(-1)^(k+1)/k^2 sin(kx), con k da 1 a +∞, se x≠±π. La serie di Fourier di f converge uniformemente ad f(x) e, derivando la serie termine a termine, si ha f'(x)=4Σ(-1)^(k+1)/k^2 sin(kx), con k da 1 a +∞, se x≠±π.

la serie termine a termine, si ha chef'(x)=4Σ(-1)k/k sin(kx), con k da 1 a +∞, se x≠±π

la serie di Fourier di f converge uniformemente ad f(x) e, derivando la serie termine a termine, si ha chef'(x)=(4/3)π-4Σ(-1)k/k sin(kx), con k da 1 a +∞, se x≠±π

Lezione 03401. Sia u(x)=xζ(x), dove ζ(x)=1 se x∈[-1,1] e ζ(x)=0 altrove. Allora u∈L1(R)u non è in L1(R) perché non è derivabileu non è in L1(R) perché non è continuau non è in L1(R) perché è illimitata

02. Sia u∈L1(Rn). Allora u^(s) ha al più un numero finito di punti di discontinuitàil limite per |s|→+∞ di u^(s) vale 0il limite per |s|→+∞ di u^(s) vale +∞||u|| in L1(Rn) è ≤ ||u^|| in L∞(Rn)

03. Sia u una funzione di variabile reale a valori complessi e inoltre sia u∈L1(R). Allora la trasformatadi Fourier di u è u^(s)=∫u(x)eisxdx

dove l'integrale è da 0 a +∞ u^(s) = ∫u(x)e^(-isx)dx, dove l'integrale è da -∞ a +∞ u^(s) = 1/(2π) ∫u(x)e^(isx)dx, dove l'integrale è da -π a π u^(s) = ∫u(x)e^(-isx)dx, dove l'integrale è da -π a π Lezione 03501. Sia u∈L1(Rn) continua e limitata e sia u^∈L1(Rn). Allora ∀x∈Rn u(x) = 1/(2π)n ∫u^(s)exp(is·x)ds, dove l'integrale è esteso ad Rn, ∀x∈Rn u(x) = ∫u^(s)exp(is·x)ds, dove l'integrale è esteso ad Rn, ∀x∈Rn u(x) = ∫u^(s)exp(-is·x)ds, dove l'integrale è esteso ad Rn, ∀x∈Rn u(x) = 1/(2π)n ∫u^(s)exp(-is·x)ds, dove l'integrale è esteso ad Rn, 02. Sia u(x) = 1-x^2 se x∈[-1,1], u(x) = 0 altrimenti. Allora u^(s) = 4/s^3 sin(s) - 4/s^2 cos(s) se s≠0, u^(0) = 0 u^(s) = 4/s^3 sin(s) se s≠0, u^(0) = 4/3 u^(s) = 4/s^2 cos(s) se s≠0, u^(0) = 1 u^(s) = 4/s^3 sin(s) - 4/s^2 cos(s) se s≠0, u^(0) = 4/3 03. Sia f unag(x) = 1 se x ∈ [-3,3] e g(x) = 0 altrimenti è g^(s) = 6sin(s/3)/s se s ≠ 0, g^(s) = 2sin(s/3)/s se s ≠ 0, g^(s) = 3/2 sin(s/3)/s se s ≠ 0, g^(s) = 2/3 sin(s/3)/s se s ≠ 0. 02. Sia f(x) = 1 se x ∈ [-1,1] e f(x) = 0 altrimenti. Ricordando che la sua trasformata di Fourier è f^(s) = 2sin(s)/s se s ≠ 0, si ottiene che la trasformata di Fourier di

g(x) = 1 se x ∈ [1,3] e g(x) = 0 altrimenti è g(^s) = 2e^-3issin(s)/s se s ≠ 0g(^s) = 2e^-issin(s)/s se s ≠ 0g(^s) = 2e^-issin(s-2)/(s-2) se s ≠ 0g(^s) = 2e^-2issin(s)/s se s ≠ 0

3. Sapendo che la trasformata di Fourier di f(x) = 1/(x²+1) è f(^s) = πe^-|s|, si ha che la trasformata di Fourier di f'_x = -2x/(x²+1)² è (f'_x)^s = πe^-i|s|(f'_x)^s = πis e^-|s|(f'_x)^s = -2is²/(s²+1)²(f'_x)^s = is/(s²+1)²

Lezione 03701. Sia u(x) = exp(-3x²). Allora u^s = √π exp(-s²/4)u^s = √(π/3) exp(-s²/3)u^s = √(π/3) exp(-3s²)u^s = √(π/3) exp(-s²/12)

2. Utilizzando il risultato dell'esercizio precedente e l'espressione della trasformata di Fourier di una derivata, si ottiene

g^s = isin²(s/2)/(s/2)² se s ≠ 0g^s = sin²(2s)/(2s)² se s ≠ 0g^s = sin²(s/2)/(s/2)² se s ≠ 0g^s = sin²(s)/s² se s ≠ 0

3. Siano g(x) = |x| se x ∈ [-1,1], g(x) = 0 altrimenti e f(x) = 1

seg'(x) = 1/2f(x+1/2) - 1/2f(x-1/2)

g'(x) = f(x-1/2) - f(x+1/2)

g'(x) = 1/2f(x+1/2) - f(x-1/2)

g'(x) = f(x+1/2) - f(x-1/2)

Lezione 0380

1. Sia u(x) = exp(-x^2/2). Allora

u'(x) = -xu(x)

u'(x) = -1/2xu(x)

u'(x) = xu(x)

u'(x) = u(x)

2. Ricordando che la trasformata di Fourier di u(x) = exp(-ax^2), se a>0, è u^(s) = sqrt(pi/a) exp(-1/(4a) s^2),

trasformando l'equazione differenziale dell'esercizio precedente, si ottiene l'equazione differenziale

(u^(s))' = su^(s)

(u^(s))' = -su^(s)

(u^(s))' = -1/2su^(s)

(u^(s))' = u^(s)

3. La soluzione del problema di Cauchy (u^(s))' = -su^(s), u^(0) = sqrt(2pi), ha soluzione

u^(s) = sqrt(pi) exp(-1/2s^2)

u^(s) = sqrt(2&p