Paniere Metodi Matematici per l'ingegneria - Risposte multiple

Lezione 002

01. Il numero complesso z=-1+i in forma goniometrica è

√2 (cos(3/4 π)+i sin(3/4 π)

2(sin(3/4 π)+icos(3/4 π)

2(cos(3/4 π)+isin(3/4 π)

√2 (sin(3/4 π)+icos(3/4 π)

02. L'argomento principale del numero complesso z=-3-4i è

arctan(4/3)+π

arctan(4/3)-π

arctan(3/4)-π

arctan(4/3)

03. Se z=3-2i e w=1+i, la parte reale di z/w è

-2,5

1/2

3

1/√2

Lezione 003

01. Le radici seste di z=3+4i sono i vertici di

un esagono inscritto nella circonferenza di centro z e raggio 5

un esagono inscritto nella circonferenza di centro z e raggio radice sesta di 5

un esagono inscritto nella circonferenza di centro l'origine e raggio radice sesta di 5

un esagono inscritto nella circonferenza di centro l'origine e raggio 5

02. Il numero complesso z=1-i in forma esponenziale è

√2 exp(-π/4 i)

2exp(-π/4 i)

2exp(π/4 i)

√2 exp(π/4 i)

03. Sia z=½+i (√3)/2. Allora

z3=√2 exp(π/3 i)

z3=exp(π/3 i)

z3=exp(πi)

z3=√2 exp(πi)

Lezione 004

01. Sia z=e(π/6 i) e w=2+3i. Allora zw è

e-π/2[½-i(√3)/2]

eπ/2[½+i(√3)/2]

eπ/2[½-i(√3)/2]

e-π/2[½+i√3]

02. Ln(-1-i) è uguale a

ln(√2)+i(-3/4 π)

ln(radice di 2)+i(3/4 pigreco+2kpigreco)

ln(√2)+i(5/4 π+2kπ)

ln(radice di 2)+i(5/4 pigreco)

03. Sia f(z)=ez, con z variabile complessa. Allora

f(z) assume sempre valori reali positivi

f(z)=f(x+iy)=ex+eiy

|f(z)|=1 per ogni z in C

f(z) può assumere valori reali negativi

Lezione 005

01. Se f(z)=sinh(z), allora

f(π/4 i)=(√2/2)i

f(π/4 i)=(√2/2)

f(π/4 i)=i/2

f(π/4 i)=2i

02. Se f(z)=zez=(x+iy)ex+iy, allora

Re[f(z)]=ex(xcosy-ysiny)

Re[f(z)]=ex(xcosy-xsiny)

Re[f(z)]=ey(xcosx-ysiny)

Re[f(z)]=ex(xcosy-ysinx)

03. Una branca di f(z)=√z è una funzione

per tutti i valori di z in C escluso lo 0

per tutti i valori di z in C escluso l'asse x

per tutti i valori di z in C

per tutti i valori di z in C escluso il semiasse delle x<0

Lezione 006

01. Sia z0 un punto di accumulazione del dominio D di f(z). Allora il limite di f(z) per z→z0 è uguale a

∞ se ∀ ∀z∈D∩B_δ(z0)\{z0}

Esiste K>0: δ>0 e risulta |f(z)|>K

∀z∈D∩B_δ(z0)\{z0}

Esiste K>0 ed esiste δ>0: risulta |f(z)|>K

∀ ∀z∈D∩B_δ(z0)\{z0}

K>0 esiste δ>0: risulta |f(z)|>K

∀ ∀z∈D∩B_δ(z0)\{z0}

K>0 esiste δ>0: risulta f(z)>K

02. Il limite di (z¯-z)/z2 (dove z¯ indica il coniugato di z) per z→0, calcolato lungo l'asse immaginario

vale 2

vale 0

non esiste

vale ∞

03. Sia f(z) una funzione continua in z0 punto di accumulazione del suo dominio. Allora

Il limite di f(z) per z→z0 esiste lungo qualsiasi curva che passa per z0 e il valore del limite può essere ∞

Il limite di f(z) esiste lungo qualsiasi curva per z0 ed è uguale a f(z0)

f(z0) esiste ed è un valore finito, ma non è detto che il limite di f(z) per z→z0 esista

Esistono direzioni lungo le quali f(z) ammette limite finito e direzioni lungo le quali il limite è ∞

Lezione 007

01. Il limite di f(z)=[2-2cos(z)-z2]/(3z4) per z→0 vale

-0,25

-1/36

2/3

0

02. La funzione f(z)=|z|2

∀z∈C

è derivabile ∀z∈C\{0}

è derivabile

è derivabile solo per z=0

non è derivabile in alcun punto

03. Il limite di (ez-1-z)/z2 per z→0 vale

1

∞

0

½

Lezione 008

01. Sia C un cammino parametrizzato da r(t) in [a,b]. C è un cammino semplice se

r(t) è suriettiva

r(t) è iniettiva

r(a)≠r(b)

r(a)=r(b)

02. Se il cammino C è parametrizzato da r(t) in [a,b], allora il cammino inverso -C può essere

parametrizzato da

r(b+t(a+b)) con t∈[0,1]

r(a+t(a+b)) con t∈[0,1]

r(b+t(b-a)) con t∈[0,1]

r(b+t(a-b)) con t∈[0,1]

03. Il sostegno di un cammino C parametrizzato da r(t) in [a,b] è

r(b)

r([a,b])

r(a)

L'intervallo [a,b]

Lezione 009

01. ∫1/z dz lungo la semicirconferenza di centro l'origine e raggio 1, dal punto z=1 al punto z=-1, vale

-1

0

-πi

πi

02. ∫z2dz lungo la semicirconferenza centrata nell'origine e di raggio 1, dal punto z=1 al punto z=-1,

vale

-2/3

4/3

2/3

2/3 i

03. ∫z/z¯ dz (dove z¯ indica il coniugato di z) lungo la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1

vale

-1

0

2π

i

Lezione 010

01. ∫z2ezdz lungo la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1 vale

1

0

2πi

πi

02. ∫1/z dz lungo la circonferenza centrata in z=1 e di raggio ½ vale

1

0

πi

2πi

03. ∫1/(z-1) dz lungo una qualsiasi circonferenza centrata in z=1 vale

πi

0

-πi

2πi

Lezione 011

01. Sia f(z) una funzione analitica in un aperto di C. Allora il coefficiente n-esimo della sua espansione

in serie di Taylor centrata in z0 è

1/n!∫f(z)/(z-z0)n+1 dz lungo una circonferenza centrata in z0

1/(2πi)∫f(z)/(z-z0)n+1 dz lungo una circonferenza centrata in z0

∫f(z)/(z-z0)n+1 dz lungo una circonferenza centrata in z0

1/(2πi)∫f(z)/(z-z0)n dz lungo una circonferenza centrata in z0

02. Una funzione di variabile complessa

Se è analitica non è detto che sia olomorfa

Se è olomorfa non è detto che sia derivabile infinite volte

è analitica se e solo se è olomorfa

Se è olomorfa in z0 non è detto che sia sviluppabile in serie di Taylor in un intorno di z0

03. Se Λ è un circuito semplice e w è un punto interno a Λ, allora

f(n)(w)=1/n!∫f(z)/(z-w)ndz, dove l'integrale è esteso a Λ

f(n)(w)=n!/(2πi)∫f(z)/(z-w)ndz, dove l'integrale è esteso a Λ

f(n)(w)=1/(2πn!)∫f(z)/(z-w)n+1dz, dove l'integrale è esteso a Λ

f(n)(w)=n!/(2πi)∫f(z)/(z-w)n+1dz, dove l'integrale è esteso a Λ

Lezione 012

01. ∫ez/(z-1)2dz lungo la circonferenza centrata in z=1 di raggio 1 vale

eπi

2eπi

2πi

-2πi

02. ∫1/(z2-1) dz lungo la circonferenza centrata in z=-1 di raggio 1 vale

-πi

2πi

1

0

03. ∫sin(z)/z4dz lungo la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 2 vale

πi/4

-πi/3

-πi/4!

πi/3

Lezione 013

01. La parte singolare dello sviluppo in serie di Laurent attorno a z=0 della funzione f(z)=1/[z2(z-1)] è

-1/z2-1/z

-1/z2+1/z

1/z2+1/z

1/z

02. La parte singolare dello sviluppo in serie di Laurent attorno a z=0 della funzione f(z)=sin(z)/z è

0

1/z

1/z2

Σz2n+1/(2n+1)!, dove la sommatoria è per n che va da 0 a +∞

03. La funzione f(z)=1/cos(z)

ha una singolarità non isolata in z=0

non ha singolarità isolate

ha singolarità isolate in z=π/2+kπ, con k∈Z

ha una singolarità isolata in z=0

Lezione 014

01. La funzione f(z)=1/(z2-iz) ha

in z=0 un polo doppio

in z=i un polo doppio

in z=0 e in z=i due poli doppi

in z=0 e in z=i due poli semplici

02. La funzione f(z)=(ez-1)/z ha, in z=0

una singolarità eliminabile

un polo doppio

un polo semplice

una singolarità essenziale

03. Sia f(z) una funzione con un polo in z0=i. Allora la sua serie di Laurent centrata in z0 ha

la parte singolare con un numero finito di termini

non ha la parte regolare

soltanto la parte regolare

la parte singolare con infiniti termini

Lezione 015

01. Il residuo di f(z)=zcos(1/z) in z=0 è

1/4!

1/2

-1/2

1

02. Il residuo di f(z)=z3e1/z in z=0 è

0

1

1/4!

1/3!

03. Il residuo di f(z)=sin(z)/z2 in z=0 è

1

-1

2!

0

Lezione 016

01. Se f(z)=1/g(z), con g(z0)=0 e g'(z0)≠0, allora

z0 è un polo semplice per f(z) e Res(f,z0)=1/g'(z0)

z0 è un polo semplice per g(z) e Res(g,z0)=g'(z0)

z0 è un polo semplice per g(z) e Res(g,z0)=1/g'(z0)

z0 è un polo semplice per f(z) e Res(f,z0)=1/f'(z0)

02. Il residuo in ∞ di f(z)=[sin(1/z)]/(z-1) è

-1

1

0

πi

03. Se ∞ è un punto di accumulazione per il dominio di f(z) ed è una singolarità isolata per f(z), allora

il residuo di f(z) in ∞ è il residuo di -1/z2f(1/z) in 0

il residuo di f(z) in ∞ è il residuo di f(1/z) in 0

il residuo di f(z) in ∞ è il residuo di -1/z2f(1/z) in ∞

il residuo di f(z) in ∞ è il limite di f(z) per z→∞

Lezione 017

01. ∫z3e1/zdz lungo la circonferenza di centro z=1 e di raggio 4 vale

πi/3

πi/12

πi

πi/4

02. ∫1/(z2+1) dz lungo la circonferenza centrata in z=i e di raggio 1 vale

2πi[Res(f,i)+Res(f,-i)]

2πiRes(f,-i)

2πi[Res(f,i)-Res(f,-i)]

2πiRes(f,i)

03. ∫z3/(z4+i) dz lungo la circonferenza di centro z=0 e raggio 2 vale

2πi

-πi

-2πi

πi

Lezione 018

01. ∫cos(2t)/[2+3sin(t)] dt tra 0 e 2π vale

2πi(1/3-40/271)

2πi(41/270+1/3)

2πi(41/270-1/6)

2πi(-1/3)

02. ∫x2/(x4+5x2+6)dx da -∞ a +∞ vale

(3/√3)π

(3-√6)/(√3) π

2πi

(3+√6)/(√3) π

03. ∫x2/(x2+1)3dx da -∞ a +∞ vale

2π/3

πi/8

πi/16

π/8

Lezione 019

01. ∫cos(3x)/(x2+1)dx da 0 a +∞ vale

πi/(2e3)

π/(2e3)

π/e3

πe3/2

02. ∫[xsin(x)]/(x2+1)dx da 0 a +∞ vale

πi/(2e)

π/e

πi/e

π/(2e)

03. ∫cos(x)/x dx da -∞ a +∞ vale

π

0

1

πi

Lezione 020

01. Sia Λ il cammino costituito dai due archi di circonferenza centrati in z=0, di raggio rispettivamente

r e R e dai due segmenti che congiungono tali archi, partendo dal semiasse Re(z)>0 fino alla retta che

forma un angolo di 2π/3 con tale semiasse. Sia f(z)=√z/(z3+1). Se Cr(0) e CR(0) sono i due archi di

circonferenza e λ è il segmento sulla retta che forma un angolo di 2π/3 con Re(z)>0, allora l'integrale di

f(z) su Λ è

∫√x/(x3+1)dx-∫√(iy)/[(iy)3+1)]dy+∫√(iy)/[(iy)3+1]dy+∫√x/(x3+1)dx, dove il primo integrale è calcolato da r a

R, il secondo lungo Cr(0), il terzo lungo CR(0) e il quarto lungo λ

∫√z/(z3+1)dz+∫√z/(z3+1)dz, dove il primo integrale è calcolato lungo Cr(0) ed il secondo lungo CR(0)

∫√x/(x3+1)dx+∫√x/(x3+1)dx, dove il primo integrale è c