Risposta alle domande e domande aperte dell'esame di Idraulica

UNA PENDENZA DEL FONDO INFERIORE A QUELLA CRITICA.

∂ ∂(+) ∂ ∂ ∂ ∂

= − = − + = − − = − = − (*)

∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

2 2

∂

2

(1 )

= ( + )= ( + ) = − (**)

2 2

∂x 2 2 −

=

Sostituendo (**) in (*) ed esplicitando rispetto a si trova 2

1−

− = 0 moto uniforme

2

1 − =0 condizioni critiche

→

(1) Se Y>Y0 j<

→

(2) Se Y<Y0 j>

Caso (1) profili M

Caso (2) profili S

6-IN UNA CONDOTTA, IN PRESENZA DI UN BRUSCO ALLARGAMENTO SI DETERMINA UNA DISSIPAZIONE DI

ENERGIA LOCALIZZATA (PERDITA DI BORDA). SI DETERMINI L’ESPRESSIONE DELLA PERDITA LOCALIZZATA

E, INDICANDO IN MODO CHIARO TUTTE LE IPOTESI CHE VENGONO INTRODOTTE NELLA TRATTAZIONE.

In un impianto è possibile che sia presente il passaggio da un diametro D1 a uno D2 maggiore. Localmente il

moto non è più unidirezionale, generandosi significative componenti di velocità ortogonali all’asse della

condotta. Ciò fa si che localmente il moto del fluido non possa essere analizzato con le equazioni delle

correnti.

Bilancio di energia tra le sezioni 1 e 2 2 2

1−2 1 −2

→ + ℎ1 − ℎ2 +

E1-∆E=E2 ∆E=E1-E2 ∆E= (*)

2

Teorema della quantità di moto

Spinta di pressione nella sezione 1’ : =p1’*A2

Spinta inerziale nella sezione 1’ := ρQv1’

➔ P1’A2+ ρQv1’-Gsin(α)-p2A2- ρQv2=0

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ →

Per continuità… v1A1=v1’1′ essendo A1=1′ v1’=v1

Teorema di Bernoulli tra le sezioni 1 e 1’ (con h1=h1’)

2 2

1 1 1′ 1′ →

+ ℎ1 + = + ℎ1′ + p1=p1’

2 2

Termine relative alla componente della forza peso

h2−h1 = ϒ(h2 − h1)A2

Gsin(α)=(ϒA2∆x) ∆x

Complessivamente

12 + ρQv1-ϒ(h2-h1)A2-p2A2-+ ρQv2=0 divido per ϒA2

1−2 ρQ(v2−v1) 2(2−1)

+ ℎ1 − ℎ2 = = (**)

ϒ2

Sostituendo (**) in (*)

2 2 2 2 2 2 2 2

2(2−1) 1 −2 22 −221+1 −2 1 −212+2 (1−2)

+ = =

∆E= ∆E=

2 2 2 2

Rispetto alla velocità di monte…. 2

1 1

2

∆ = (1 − )

Dalla continuità v2=v1A1/A2 quindi (***)

2 2

Rispetto alla velocità di valle 2

2 2

2

∆ = ( − 1)

Dalla continuità v1=v2A2/A1 quindi (****)

1 2

DISSIPAZIONE LOCALIZZATA DI SBOCCO 2

∆ =

Utilizzando la (***) con v1=v e A2>>>A1 si ha 2

DISSIPAZIONE LOCALIZZATA DI IMBOCCO 2 2

2

∆ = ( − 1)

Utilizzando la (****) con v2=v A2=A e A1=CcA si ha =0.4

2 2

Sperimentalmente

2

∆ =0.5

2 MECCANICA DEI FLUIDI

1-SI TRACCI IN MODO SCHEMATICO MA QUALITATIVAMENTE CORRETTO IL DIAGRAMMA DI MOODY E SE

NE DISCUTA IL SIGNIFICATO ALLA LUCE DELLE DIVERSE CONDIZIONI DI MOTO CHE VI SONO

RAPPRESENTATE.

Legge di Darcy-Weisbach:

̅̅̅

̅ ̅̅̅

̅

2 2

= = = = ( , )

pe una condotta circolare diventa perché quindi f=4Cf è la

4 2 2 4

funzione d’attrito o di resistenza

f è valutata sperimentalmente:

̅̅̅

̅ ̅̅̅

̅ ̅̅̅

̅

2 2 2

2 2

= − = − = − E1-E2=

∫ ∫

1 1

2 2 2

(1 − 2)

F=2 ̅̅̅

̅

2

Il diagramma di Nikuradse, di

origine sperimentale, ha trovato

giustificazione teorica, alla luce

del modello fenomenologico di

turbolenza proposto da

Kolmogòrov nel 1941, solo

recentemente

L'esperienza di Nikuradse consiste nell'adoperare un tubo cilindrico con una scabrezza artificiale. Poiché

non è sufficiente descrivere la scabrezza come solo parametro lineare ma, dato che in un tubo di larghe

dimensioni la scabrezza agisca meno rispetto ad una condotta di modeste dimensioni, è occorso dare alla

scabrezza un indice relativo, cioè e/D, ove e è il diametro dei granellini di sabbia e D è il diametro del tubo

stesso. Questi granelli di sabbia, aventi tutti diametri uguali, permettono di registrare, mediante diversi

esperimenti, il fattore d'attrito in funzione del numero di Reynolds.

E poiché le quantità in gioco sono particolarmente, Nikuradse ha riportato in un grafico su scala logaritmica

le letture delle sue esperienze. Dapprima possiamo notare che per Re quantitativamente bassi, il moto è

laminare ed uniforme. In corrispondenza di Re critico, i valori di subiscono un forte rialzo: siamo entrati

nella zona di moto turbolento di transizione, caratterizzata da 2000 < Re < 2500. Nel caso di un tubo liscio,

la curva (Re) presenta concavità verso l'alto ed è decrescente per valori di Re fortemente alti. Allora

entrano in gioco le scabrezze relative, quantificate dal rapporto dei diametri della scabrezza e del condotto

stesso. Si può notare come l'arpa presenti valori di pressoché costanti per un valore di Re ben preciso. Esso

equivale alla curva log(Re)=70, e per tale valore, risulta costante come nel caso di moto puramente

turbolento (cioè non dipende da altri all'infuori di Re). Tale retta individua la fine della zona di moto

turbolento di transizione, ed è definita come “numero di Reynolds di attrito”.

In fluidodinamica, il diagramma di Moody (noto anche come "abaco di Moody") è un

diagramma bilogaritmico che riporta il fattore di attrito di Darcy (da non confondersi col numero di

Fanning o fattore di attrito di Faning, numericamente uguale a un quarto del fattore di attrito di Darcy) in

funzione del numero di Reynolds al variare della rugosità secondo la correlazione di Colebrook. L'equazione

di Darcy-Weisbach permette il calcolo della perdita di carico (altrimenti detta caduta di pressione) in un

tubo.

Si distinguono 3 zone con riferimento al numero di Reynolds

1- Re<2000 moto laminare

64

= derivato dal moto di Poiseulle per analogia con la legge di Darcy-Weisbach

2- 2000<Re<4000 zona critica

Il moto può essere sia laminare che turbolento, dipende da fattori esterni

3- Re>4000 moto turbolento

Quando il moto è turbolento si distinguono 3 condizioni con rifermento al comportamento idraulico della

parete del tubo.

Lo spessore del sottostrato viscoso

-è direttamente proporzionale alla viscosità (cinematica) del fluido

0

=

-è inversamente proporzionale alla velocità d’attrito. √

(è lo sforzo alla parete, rappresenta l’intensità del moto turbolento)

′ ≈ 5

Spessore del sottostrato viscoso: ∗

La parete non è liscia, ma scabra

Le asperità di parete, di altezza caratteristiche e, possono risultare:

 

a- molto inferiori al sottostrato viscoso ( e ' ): allora non interferiscono con il moto, quindi è come se

la parete fosse perfettamente liscia (le asperità di parete risultano “mascherate” dal sottostrato

viscoso).

∗

≫ ( < 5)

se parete idraulicamente liscia => f = f(Re)

Il moto turbolento, che occupa praticamente l’intera area della

condotta, non risente delle asperità della parete, anzi

interagisce solo con il sottostrato viscoso! Quindi f dipende

solo dalla viscosità (cioè da Re), e non dall’altezza delle

asperità (e/D). Tubi con e/D diverso “collassano” tutti su una

stessa curva (“tubo idr. liscio”)



b- la via di mezzo (e~ ' )

∗

 e(5< < 70 ÷ 80)

se '~ condizioni intermedie => f = f(e/D, Re)

Il moto turbolento, che occupa praticamente l’intera area della

condotta, interagisce solo con il sottostrato viscoso, ma risente

anche delle asperità di parete! Quindi f dipende dalla viscosità

(cioè da Re), e anche da dall’altezza delle asperità (e/D).

 

c- molto maggiori del sottotrato viscoso ( e ' ): le asperità interferiscono direttamente con il moto

turbolento (resistenza di forma) e i fenomeni viscosi sono confinati in zone così piccole del campo di

moto da “uscire di scena”.

∗

 e( > 70 ÷ 80)

d- Se '≪ parete idraulicamente scabra => f = f(e/D)

N.B.: il sottostrato limite non resta aderente… di fatto sparisce!

Il moto turbolento, che occupa praticamente l’intera area della

condotta, non risente più della viscosità (i cui fenomeni sono

confinati in zone irrilevanti del campo di moto), ma solo dalle

asperità di parete! Quindi f dipende solo e/D (e non più da Re):

linee orizzontali in Moody.

NB: il comportamento della parete (idraulicamente liscia/scabra) non dipende solo dall’altezza delle

asperità, ma anche dalle caratteristiche del moto!! Quindi un dato tubo può comportarsi come

“idraulicamente liscio” quando Re è basso (sottostrato viscoso relativamente grande), ma per Re

crescente può passare a condizioni intermedie e infine diventare “idraulicamente scabro” se il

sottostrato viscoso viene “distrutto” dall’intensità del moto turbolento!

3-ELICA DI TRAZIONE: IPOTESI ALLA BASE DELLA TRATTAZIONE, PASSAGGI ANALITICI, ESPRESSIONE DEL

RENDIMENTO, DESCRIZIONE DEL CAMPO DI MOTO (VELOCITÀ E PRESSIONI).

L'elica (o elica propulsiva o propulsore ad elica) è un organo intermediario in grado di trasformare

la potenza meccanica di un albero rotante in variazione della quantità di moto di un fluido, allo scopo di

generare una propulsione secondo il principio di azione e reazione. Il moto impresso al fluido