Paniere svolto Meccanica razionale e statica (2025) - Risposte aperte

E E

R

10. Si consideri il sistema rappresentato in figura. L'asta AB, omogenea di lunghezza l e massa m, ha gli

estremi A e B che possono scorrere rispettivamente lungo gli assi verticale e orizzontale di un sistema

cartesiano xy. L'estremo A dell'asta è collegato, mediante una molla di costante elastica k, ad un

punto fisso C, posto sull'asse y ad una distanza l da O. Si possono assumere come lisci tutti i vincoli del

θ

sistema. Scrivere il legame funzionale fra l'allungamento della molla e l'angolo di inclinazione

dell'asta. ϑ y s

Si scelga come coordinata libera del sistema l’angolo antiorario che l’asta forma con l’asse , e con ,

s ϑ

indichiamo la coordinata che identifica l’allungamento della molla. Il legame tra e si ricava dalla

( )

s=l ∙ 1 −cosϑ .

figura: Il legame cinematico è: .

ṡ=l ∙ ϑ̇ sin ϑ

LEZIONE 23.

01. Enunciare il Teorema di Galileo. ( )

r

V

La velocità assoluta di un punto P è la somma della velocità relativa e della velocità di

V

p p

( ) ( ) ( )

T r T

=V +V

trascinamento : , dove la velocità di trascinamento è data da:

V V

p p p p

( )

( )

r ' ' . Il teorema di Galileo esprime la composizione della velocità, ovvero lega la

=v +

V o w × P −O

misura della velocità fatta dall’osservatore fisso con la velocità misurata dall’osservatore mobile.

LEZIONE 24.

05. Enunciare il Teorema di Coriolis. ( )

r

a

L’accelerazione assoluta di un punto P è la somma della sua accelerazione relativa , della sua

a

p p

( ) ( )

T C

accelerazione di trascinamento e della sua accelerazione di Coriolis (o complementare):

a a

p p

( ) ( ) ( )

r T C

=a +a +a , dove l’accelerazione di trascinamento e di Coriolis, sono date da:

a p p p p

( )

( ) ( )

( )

T ' ' ' ;

=a +w +

a o × w × P −O ẇ × P − O

p

( ) ( )

C r

=2 .

a w ×V

p p

LEZIONE 27. 1

04. Un peso di massa poggia su un piano inclinato di 45° ed è collegato attraverso una carrucola A,

m m

avente momento di inerzia I, ad un altro corpo di massa . L'attrito dinamico è pari all'attrito statico.

2

Si determini il valore del coefficiente di attrito statico che assicura l'equilibrio del sistema.

Per determinare il valore del coefficiente di attrito che assicuri l’equilibrio:

=μs =μs

a=0 → F ∙ m ∙ g F ∙ m ∙ g

e .

att 2,1 1 att2,2 2

m sin α −m

1 1 2

μs= m cos α

1 1

LEZIONE 29. m

04. Un punto materiale P di massa è mobile a senza attrito su un carrello ed è collegato ad un punto

O' solidale al carrello mobile tramite una molla di costante k. Indicare i gradi di libertà del sistema e le

coordinate dei punti O' e P. I gradi di libertà del sistema sono 2.

{ ' '

+

xp=x o x p

( )

' ' 

x o ; x p ' '

= =0

y o y p

LEZIONE 30.

02. Determinare la posizione del baricentro del sistema descritto in figura e composto da una lamina

circolare, omogenea di raggio r e massa m, e una lamina quadrata, omogenea di lato 2r e massa 3m,

tangente alla prima. Indicare la posizione degli assi di riferimento scelti.

Pongo l’origine coincidente con il centro del disco, e scelgo l’asse x

parallelo alla direzione che congiunge i due baricentri. Per simmetria materiale l’asse x e l’asse z

(ortogonale al piano del sistema) sono principali. Di seguito l’asse y (anch’esso passante per il

baricentro) è principale:

1 1 7

2 2 2

+ =

Ix= m R m4 R m R

4 12 12

( ) ( )

14 94 12 14 194

2 2 2 2 2

+ + + =

Iy= m R m R m4 R m R m R

7 19 32 16

2 2 2 2

+ + = =

Iz=Ix Iy= mR mR mR m R

12 4 6 3

LEZIONE 31.

12. Un disco di massa m e raggio r rotola senza strisciare su un piano inclinato di un angolo α rispetto

al piano orizzontale. Scrivere la prima equazione cardinale.

=mg

0 V − mg=0 →V .

Somma delle forze H H

dQ dv ( )

=m =ma=F +0

att

dt dt

13. In un piano verticale, due punti A e B, di ugual massa, sono collegati da un filo inestensibile di

massa trascurabile. Il punto A scorre su una guida orizzontale ed è collegato ad O da una molla di

costante elastica k, mentre B scorre su una guida verticale. Qual è la relazione fra l'accelerazione del

punto A e quella del punto B? Calcolare inoltre la tensione del filo.

La condizione di inestensibilità del filo richiede che i due punti abbiano velocità e accelerazioni di ugual

modulo: 1 mg

( )

= = = = >

ẋ ẏ ẍ ÿ τ mg+ kx τ 0

e . Tensione del filo: e (rozione).

A B A B min

2 2

14. In un piano verticale, due punti A e B, di massa 2m e m rispettivamente, sono collegati da un filo

inestensibile di massa trascurabile. Il punto A scorre su una guida orizzontale ed è collegato ad O da

una molla di costante elastica k, mentre B scorre su una guida verticale. In assenza di attrito calcolare

la tensione t del filo. =− +τ

ẍ k x

F=m∙ a τ m

L’equazione scritto per il punto A e proiettata lungo x è: .

A A

=mg = =

m ÿ − τ ẋ ẏ ẍ ÿ →

Per il punto B lungo y: . Poiché e (inestensibilità del filo)

B A B A B

− kx+ τ mg− τ

=mg = =

ẍ − τ . ẍ ÿ

τ m Sostituendo e risolvendo si ricava: =

A A B

2 m m

− kx+ τ=2 mg −2 τ 2 1

= +

τ mg kx

=2mg +

3 τ kx  3 3

LEZIONE 32.

10.Un sistema è composto da tre aste omogenee, come riportato in figura: - l'asta OA ha lunghezza

2l√2 e peso q ed è incernierata a terra in O - l'asta BC è incernierata in B nel punto medio dell'asta OA,

ha lunghezza l e peso p - l'asta CD è collegata con l'asta BC nel punto C attraverso una cerniera e a

terra in D alla stessa altezza di O. Ha lunghezza l e peso p e la distanza OD è uguale a 2l. Determinare il

momento C della coppia da applicare all'asta CD affinché il sistema sia in equilibrio con l'asta CD

verticale.

NON SO.

11. Un sistema è composto da tre aste omogenee, come riportato in figura: - l'asta OA ha lunghezza

2l√2 e peso q ed è incernierata a terra in O- l'asta BC è incernierata in B nel punto medio dell'asta OA,

ha lunghezza l e peso p- l'asta CD è collegata con l'asta BC nel punto C attraverso una cerniera e a terra

in D alla stessa altezza di O. Ha lunghezza l e peso p e la distanza OD è uguale a 2l. Determinare le

reazioni vincolati nella cerniera B nella condizione di equilibrio con l'asta CD verticale

NON SO.

12. Dato il pendolo doppio descritto in figura, indicare le reazioni vincolari quando il sistema si

scompone nei due pendoli:

13. Il sistema rappresentato in figura si può muovere in un piano verticale ed è composto da due aste

rigide di massa m e lunghezza 2l, collegate in A da una cerniera. L'asta OA è vincolata nel punto O,

mentre l'estremo B dell'asta AB può muoversi lungo l'asse orizzontale. I punti O e B sono collegati da

una molla elastica avente avente k come costante elastica. I vincoli sono ideali. Indicare le forze attive

e le reazioni vincolari sull'asta AB.

LEZIONE 33.

06. Due aste omogenee di massa m e lunghezza l sono incernierate fra loro nel punto A. L'asta AO è

vincolata da una cerniera fissa in O, mentre l'asta AB è vincolata a scorrere su di una guida verticale.

Le aste sono collegate fra loro da una molla di costante k. A riposo la lunghezza della molla è di 2l0.

Determinare l'energia potenziale del sistema.

“Vtot ”.

2 MODO: Potenziale totale del sistema

=U +U +U

U tot m 1 m 2 molla ( )

1 l l

2

| | + +¿

=mg − mg sin ϑ −mg lsinϑ sinϑ

U y −mg y − k B − 0 )

tot G 1 G 2 2 2 2

l 3 1 2 2 2 2

=−

U mg sinϑ − mg sinϑ − k 4 l si n ϑ=− 2 mglsinϑ −2 k l si n ϑ .

 tot 2 2 2 2 2

Vtot l’opposto del potenziale totale: +2

Si definisce energia potenziale totale Vtot=2 mglsinϑ k l si n ϑ .

LEZIONE 34.

01. In un piano verticale vi sono due masse m e due molle ideali di costante elastica k. La prima molla

connette una delle due masse ad un punto fisso O del piano e l'altra molla connette fra loro le due

masse. Scrivere l'espressione del potenziale.

=mg∙ +mg

V y ∙ y

A B .

02. Il sistema in figura è composto da un disco di massa m e raggio R che rotola senza strisciare su un

asse orizzontale, e da un'asta di lunghezza 2R e massa m, che può ruotare in un piano verticale attorno

al punto A (cento del disco). Il centro dell'asta è collegato ad un punto della circonferenza del disco da

una molla di costante elastica k vincolata in un punto P posto sulla circonferenza del disco. Calcolare

l'energia potenziale del sistema.

−1 2

U= K x −mg ∙ y G

2 .

m

03. Una asta omogenea di lunghezza 2l e massa è mobile in un piano verticale con un estremo .

2

vincolato ad una parabola di equazione y=ax2. Scrivere l'espressione del potenziale. U=− mg ∙a x

04. Si consideri un sistema di due corpi rigidi di massa m vincolati a muoversi lungo due rette

parallele. Le masse sono collegate con due molle di costante elastica k ad una retta perpendicolare

alle altre due rette. Le due masse interagiscono fra di loro attraverso una terza molla di costante

elastica k. Calcolare il potenziale del sistema.

−1 2

U= K s

2 .

05. Il sistema in figura è composto da un disco di massa m e raggio R che rotola senza strisciare su un

asse orizzontale, e da un'asta di lunghezza 2R e massa m, che può ruotare in un piano verticale attorno

al punto A (cento del disco). Il centro dell'asta è collegato ad un punto della circonferenza del disco da

una molla di costante elastica k vincolata in un punto P posto sulla circonferenza del disco. Calcolare

l'energia cinetica dell'asta. 1 1 1 1

2 2 2

= =

T l ϑ ∙ m m R ∙ ϑ

A

2 2 2 6

= .

LEZIONE 36.

07. Cosa sono gli integrali primi del moto?

Gli integrali primi del moto sono una funzione dipendente dalle coordinate e dalle velocità dei punti del

sistema, il cui valore si mantiene costante