Paniere di Geometria svolto - Risposte aperte

17.1 Parlare del prodotto righe per colonne tra matrici e dell’inversa di

una matrice.

18. Parlare del determinante.

18.1 Parlare dell’interpretazione geometrica del determinante delle

matrici con entrate reali.

19. Descrivere lo sviluppo di Laplace per il calcolo del

determinante.

19.1 Descrivere come utilizzare il metodo di eliminazione di Gauss per il

calcolo del determinante.

19.2 Descrivere alcune proprietà del determinante.

20. Descrivere la relazione tra il determinante di una matrice e la

dipendenza/indipendenza lineare delle colonne e delle righe della

matrice.

20.1 Parlare del rango di una matrice, in particolare enunciando un

risultato (teorema, proposizione o corollario).

21. Descrivere la formula esplicita dell’inversa di una matrice.

21.1 Descrivere come utilizzare il metodo di eliminazione di

Gauss-Jordan per il calcolo dell’inversa di una matrice.

22. Parlare delle applicazioni lineari associate alle matrici.

22.1 Parlare delle applicazioni lineari, in particolare dando la

definizione ed enunciando un risultato (teorema, proposizione o

corollario).

23. Parlare del nucleo delle applicazioni lineari, in particolare

dando la definizione, e parlare dell’immagine e del rango delle

applicazioni lineari.

23.1 Enunciare il Teorema fondamentale dell’algebra lineare, e

descrivere alcune delle sue conseguenze.

24. Parlare degli isomorfismi, ed enunciare il Teorema di

isomorfismo.

25. Parlare delle matrici associate alle applicazioni lineari.

26. Parlare dei cambiamenti di base.

27. Parlare della relazione tra le soluzioni di un sistema di

equazioni lineari e le soluzioni del sistema di equazioni lineari

omogeneo associato.

29. Descrivere la regola di Cramer.

30. Descrivere l’applicazione di uno dei metodi di eliminazione di

Gauss, di Gauss con normalizzazione o di Gauss-Jordan, per la

soluzione dei sistemi di equazioni lineari.

31. Dare la definizione di autovalore e autovettore, e parlare

della molteplicità geometrica, in particolare enunciando un

risultato (teorema, proposizione o corollario).

31.1 Parlare del polinomio caratteristico di applicazioni lineari e/o

matrici, in particolare dando la definizione ed enunciando un

risultato (teorema, proposizione o

corollario).

32. Parlare della diagonalizzabilità di applicazioni lineari e/o

matrici, in particolare dando la definizione ed enunciando un

risultato (teorema, proposizione o corollario).

32.1 Descrivere le disuguaglianze relative alle molteplicità

geometrica e algebrica, e applicarle alla diagonalizzazione di

applicazioni lineari e/o matrici (Criterio di diagonalizzabilità).

32.2 Dare la definizione di autovalore e autovettore, e parlare della

molteplicità algebrica, in particolare enunciando un risultato

(teorema, proposizione o corollario).

33. Parlare della forma parametrica e della forma cartesiana

delle rette nello spazio.

33.1 Parlare della forma parametrica e della forma cartesiana dei

piani nello spazio.

35. Parlare delle applicazioni affini.

35.1 Parlare della forma matriciale delle applicazioni affini.

36. Parlare dei prodotti scalari e delle norme associate.

36.1 Parlare delle norme associate ai prodotti scalari, in particolare

dando la definizione ed enunciando un risultato (teorema,

proposizione o corollario).

37. Parlare degli angoli tra rette e piani nello spazio.

35. Descrivere il processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.

35.1 Parlare delle basi ortonormali negli spazi vettoriali reali.

39. Parlare delle isometrie, in particolare dando la definizione ed

enunciando un risultato (teorema, proposizione o corollario).

39.1 Parlare delle matrici simmetriche, in particolare dando la

definizione, parlando dei loro autovalori ed enunciando il Teorema

spettrale.

39.2 Parlare delle matrici ortogonali, in particolare dando la definizione

ed enunciando un risultato (teorema, proposizione o corollario).

39.3 Parlare delle forme quadratiche e della matrice associata.

39.4 Parlare brevemente delle forme quadratiche definite positive,

definite negative, semidefinite positive, semidefinite negative e

indefinite, in particolare dando la definizione ed enunciando un

risultato (teorema, proposizione o corollario).

40. Parlare degli spazi proiettivi.

41. Parlare delle curve algebriche.

42. Parlare delle coniche e delle coniche degeneri, in particolare dando

la definizione.

43. Descrivere le matrici associate alle coniche, e il loro utilizzo per la

classificazione e per lo studio delle coniche (dal punto di vista euclideo,

affine o proiettivo).

44. Parlare della retta polare di un punto rispetto a una conica non

degenere, in particolare dando la definizione e descrivendone le

proprietà.