Paniere geometria - risposte aperte

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A• Se viene modificata tramite mosse di Gauss sulle colonne (invece che sulle righe), l'effetto è sempre quello descritto nella definizione assiomatica.. In particolare, scambiando tra di loro due righe o due colonne il determinante cambia segno, restando uguale in valore assoluto. Ne consegue che un numero pari di scambi non varia né il segno né il modulo del determinante. det(A)

• Se una riga (o una colonna) è somma di due righe (o colonne), è la somma dei due determinanti che si ottengono sostituendo a quella riga (o colonna) rispettivamente le due righe (o colonne) di cui è somma.

10. Descrivere brevemente lo sviluppo di Laplace per il calcolo del determinante

Il teorema di Laplace riduce il calcolo del determinante di una matrice di ordine n al calcolo di determinante di matrici di ordini n-1. Applicando ripetutamente il teorema di Laplace, possiamo calcolare il determinante di una matrice di qualsiasi ordine.

Wikipedia: Lo sviluppo di

Laplace è una formula che permette di calcolare il determinante di una matrice con un procedimento ricorso. Lo sviluppo può essere eseguito per righe oppure per colonne.

LEZ 02009. Parlare brevemente del rango di una matrice

Definizione: Il massimo numero di colonne linearmente indipendenti di una matrice n × m matrice A è detto rango di A, ed è indicato con rank(A).

10. Descrivere brevemente la relazione tra il determinante di una matrice e la dipendenza/indipendenza lineare delle colonne e delle righe della matrice

Corollario: Sia A una matrice quadrata. Le righe di A sono linearmente indipendenti se e solo se le colonne sono linearmente indipendenti.

11. Enunciare un risultato (teorema, proposizione, corollario) sul rango di una matrice

Proposizione: Il rango di A è uguale alla dimensione del sottospazio vettoriale di n,1K generato dalle colonne di A.

Teorema(Kronecker): Se A non è la matrice nulla, il rango di A coincide con l’ordine r di un

minore det (B) di A tale che

• det (B) ≠ 0, erdet (C) = 0 per ogni orlato det (C) di det (B).
• r+1 r+1 rLEZ 021 matrice01. Descrivere la formula esplicita dell'inversa di unan,n

Teorema: Una matrice A K è invertibile se e solo se det (A) ∈ n-1 1 è diverso da 0. La matrice inversa ha determinante det A = /det (A)n n 1 /ed è la trasporta della matrice dei complementi algebrici moltiplicata per det (A)n

2. Descrivere brevemente come utilizzare il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan per il calcolo dell'inversa di una matrice n,2n

Data la matrice quadrata di ordine n A, si considera la matrice A I K , che è nha A come sottomatrice corrispondente alle prime n colonne e I comensottomatrice corrispondente alle ultime n colonne. Si applica il metodo di eliminazione di Gauss- Jordan. Il risultato dell'algoritmo è una matrice a scalini-1(B C) . Se si ha B = I , allora A è invertibile e si ha A = C. Altrimenti, A

Il testo fornito riguarda le applicazioni lineari e le loro definizioni.

Le applicazioni lineari sono le mappe tra spazi vettoriali che preservano la struttura di spazio vettoriale.

Definizione: Dati due spazi vettoriali V e W sullo stesso campo K, un'applicazione f : V → W è detta lineare, o K-lineare, se valgono le seguenti proprietà:

1. (AL1) per ogni v1,v2 ∈ V si ha f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2);
2. (AL2) per ogni v ∈ V e λ ∈ K si ha f(λ · v) = λ · f(v).

L'insieme delle applicazioni lineari da V a W è indicato con Lin(V, W).

Le applicazioni lineari associate alle matrici di dimensione m × n sono definite come segue:

Definizione: Sia A una matrice di dimensione m × n su un campo K. L'applicazione f : K^n → K^m definita da f(X) = A · X è detta applicazione lineare associata alla matrice A.

L'applicazione lineare associata ad una matrice A è effettivamente lineare. Le proprietà delle applicazioni lineari si applicano anche alle applicazioni lineari associate alle matrici.

Le proprietà distributive a destra del prodotto righe per colonne sono una conseguenza della definizione di applicazione lineare.

Enunciare un risultato (teorema, proposizione, corollario) sulle applicazioni lineari:

Proposizione: La funzione da K a Lin (K , K ), che associa ad una matrice A l'applicazione lineare f , è bigettiva.

Enunciare il Teorema fondamentale dell'algebra lineare:

Teorema fondamentale dell'algebra lineare: Sia f : V → W un'applicazione lineare, e sia V finitamente generato. Allora, si ha l'uguaglianza dim (Ker(f )) + dim (Im(f )) = dim(V ).

Parlare brevemente dell'immagine e del rango delle applicazioni lineari:

L'immagine di un'applicazione è definita a prescindere dal fatto che l'applicazione sia lineare o meno. Ricordiamo che l'immagine di una generica applicazione lineare f : V → W

è→Im(f)={w∈W|∃v∈V conf(v)=w}.Osservazione: Il vettore nullo di W appartiene sempre all’immagine di◮un’applicazione lineare f : V W . Infatti, abbiamo f (0) = 0.

→Proposizione: L’immagine di un’applicazione K-lineare f : V W è un→sottospazio vettoriale del codominio W .

03. Parlare brevemente del nucleo delle applicazioni lineari, dandone inparticolare la definizione

Definizione: Sia f : V W un’applicazione K-lineare. La controimmagine→Preim (0 ) del vettore nullo di W rispetto a f è detta nucleo di f, ed è indicataf WconKer(f):={v∈V|f(v)=0 }.

WLEZ 02401. Parlare brevemente degli isomorfismi

Definizione: Un’applicazione lineare invertibile è detta isomorfismo.Un’applicazione lineare invertibile da uno spazio vettoriale in sé stesso è dettaautomorfismo

02. Enunciare il Teorema di isomorfismo

Teorema di isomorfismoDue spazi vettoriali sullo stesso campo so- no

λ di v rispetto alla base B dalle coordinate λ , λ , . . . , λ di v1 2 n1 2 nrispetto alla base B.LEZ 02707. Parlare brevemente della relazione tra le soluzioni di un sistema di equazionilineari e le soluzioni del sistema di equazioni lineari omogeneo associato

Definizione: Un sistema di m equazioni lineari e n incognite in un campo K, osemplicemente un sistema lineare, è un sistema in cui i membri delle equazionisono polinomi in K di grado al più 1.

Definizione: Dato il sistema di equazioni lineari A · X = B, il sistema diequazioni lineari A · X = 0 è detto il sistema di equazioni lineari omogeneoassociato to the system A · X = B.Le soluzioni di un sistema di equazioni lineari e le soluzioni di quello omogeneoassociato sono legate tra loro.

LEZ 02817. Enunciare il Teorema di Rouché -Capelli

Teorema Rouché-Capelli: Un sistema di equazioni lineari A · X = B ècompatibile, se e solo se la

matrice incompleta e la matrice completa hanno lo stesso rango, ossia rank(A) = rank(A B). LEZ 02906.

Descrivere la regola di Cramer:

Wikipedia: Un sistema di equazioni lineari può essere rappresentato usando la moltiplicazione fra matrici come:

Ax = c

dove A è una matrice e x, c sono due vettori. Se A è una matrice quadrata (cioè il numero di incognite del sistema è pari al numero di equazioni) ed è anche invertibile (determinante diverso da zero, cioè rango della matrice uguale al numero di incognite), il teorema di Rouché-Capelli asserisce che il sistema ha esattamente una soluzione.

In questo caso, la regola di Cramer fornisce un algoritmo per calcolare la soluzione (x1, ..., xn) usando il determinante nel modo seguente:

xi = det(Ai) / det(A)

dove Ai è la matrice formata sostituendo la i-esima colonna di A con il vettore c. Si nota che la condizione di invertibilità di A garantisce che il denominatore det(A) sia diverso da zero.

LEZ 03005

Descrivere l'applicazione di uno dei metodi di eliminazione di Gauss, di Gauss con normalizzazione o di Gauss-Jordan, per la soluzione dei sistemi di equazioni lineari

Il metodo di Gauss per la soluzione un sistemi di equazioni lineari è una procedura, per decidere se il sistema è risolubile, contemporaneamente, trasformarlo in uno equivalente più facile da risolvere.

Il metodo di Gauss è un algoritmo che trasforma il sistema dato in uno equivalente edelle forme indicata. le operazioni consentite per ottenere un sistema equivalente a quello dato sono:

1. scambiare tra loro due equazioni
2. moltiplicare una equazione per una costante diversa da zero
3. sommare a una equazione un'altra equazione

Metodo di Gauss-Jordan

Il metodo di Gauss-Jordan è una variazione del metodo di eliminazione di Gauss. La principale differenza consiste nel fatto che una variabile si elimina da tutte

Le equazioni invece di farlo solo dalle successive. In più tutte le righe si normalizzano. In questo modo, il procedimento di eliminazione genera una matrice identità e non è necessario quindi sostituire all'indietro per ottenere la soluzione.

LEZ 03121. Dare la definizione di autosalone e autovetture, e parlare brevemente della molteplicità geometrica

Definizione: Sia f Lin (V , V ) un endomorfismo di uno spazio vettoriale V sul campo K. S