Esercitazione 6 Algebra lineare e geometria

V 2

Spesso, per comodità, lo riguarderemo come l’insieme dei rappresentanti di tali

vettori con il primo estremo un punto del piano. Il massimo numero di vettori

linearmente indipendenti di è

V 2.

2

base

Si dice una coppia di vettori di linearmente indipendenti.

V 2

�

B = {� }

Se è una base di , allora

V

e , e

1 2 2 � � �

∀� ∈ ∃! (v ) ∈ = +

2 tale che

V R

v , v v v e v e .

2 1 2 1 1 2 2

La corrispondenza �

�→ �→ (v )

2

V R , v , v

2 1 2

�

(v ) B,

dove sono le componenti di rispetto alla base permette di identificare

, v v

1 2

con .

V R 2

2

Indichiamo con l’insieme dei vettori di paralleli ad una fissata retta. Il

V V

1 3

massimo numero di vettori linearmente indipendenti di è

V 1.

1

base

Si dice di l’insieme costituito da un vettore non nullo di .

V V

1 1

B = {� }

Se è una base di , allora

V

e 1 1 � �

∀� ∈ ∃! ∈ =

tale che

V R

v v v v e .

1 1 1 1

La corrispondenza �

→

�→ �→

V R, v v

1 1

� B,

dove è la componente di rispetto alla base permette di identificare V

v v

1 1

con R. �

∈ = + +

Esercizio 2.15. Determinare per quali valori di i vettori

R

a, b u a�

e b�

e

1 2

� � � �

= − +

e sono paralleli.

2

a e v e e 2�

e

3 1 2 3

� �

∥

Allora se, e solo se

Svolgimento. u v � � =

2

a b a

−1

rg 1.

1 2

62 A. Montinaro

Quindi tutti i minori di ordine due nella precedente matrice devono avere de-

terminante nullo, cioé

� � = � � = � � =

2 2

a b a a b a

−1 −1

det det det 0.

1 1 2 2

Quindi, �

−a − =

�

�

�

� b 0

� − =

� 2

2a a 0

�

�

� + =

� 2

2b a 0

= (a, =

Dalla seconda equazione segue che o Quindi le soluzioni sono

a 0 2. b)

(0, (2, −2).

0),

Esercizio 2.16. Dire quali delle seguenti terne di vettori è costituita da vettori

complanari:

� � �

= (−2, −3, = (−1, = (1,

1. u 1), v 0, 2), w 2, 0).

� � �

= (1, = (0, = (0, −1).

2. u 1, 0), v 1, 1), w 1,

� � �

= (1, −1, = (2, = (2, −2,

3. u 2), v 0, 1), w 4).

� � � sono complanari se, e solo se, la matrice delle componenti

Svolgimento. u , v , w

ha determinante Siccome

0.

−2 −3 −1

� � � � � �

1 1 1 0 1 2

−1

� � � � � �

= = −2 =

0 2 0 1 1 2 0 1

det 0 det det 0

� � � � � �

−1 −2

1 2 0 0 1 2 4

solo la prima e la terza terna sono costituite da vettori complanari.

∈

Esercizio 2.17. Determinare per quali valori di sono linearmente dipen-

R

h

denti i tre vettori

� � �

= (1, = (2, −1, = (h, −1).

u 0, h) v 1) w 1,

� � � sono linearmente dipendenti se, e solo se, la matrice delle

Svolgimento. u , v , w

componenti ha determinante ovvero

0,

� � � �

1 0 h 1 0 h

−1 +

� � � �

= = = +

2 1 2 h 0 0

0 det det h(h 2).

� � � �

−1 −1

h 1 h 1

= −2.

Quindi, h 0, 63

Basi e Componenti

Esercizio 2.18. Verificare che le seguenti terne sono costituite da vettori com-

planari:

� � �

= (4, = (6, = (14,

1. u 0, 3), v 1, 5), w 1, 11).

� � �

= (1, −3), = (2, −6), = (1, −1).

2. u 1, v 2, w 0,

Inoltre, esprimere uno di essi come combinazione degli altri due.

� � � � � �

sono complanari se, e solo se sono linearmente di-

Svolgimento. u , v , w u , v , w

pendenti, ovvero se la matrice delle componenti ha determinante Siccome

0.

−3

� � � �

4 0 3 1 1 −6

� � � �

= =

6 1 5 2 2

det det 0

� � � �

−1

14 1 11 1 0

i vettori sono complanari e quindi linearmente dipendenti. In realtà, è imme-

� �

=

diato notare in (2) che .

12

u v � �

� � = � � =

4 0 4 0 3

Siccome allora e quindi sono linearmente

det 4, rg 2 u , v

6 1 6 1 5

indipendenti. Allora � = +

w x�

u y�

v,

cioè (1, −3) = +

1, x(2, 2, 6) y(6, 1, 5)

da cui si ricava � + =

�

�

�

�

4x 6y 14

� =

�

y 1

�

�

� + =

�

3x 5y 11

� �

(x, = (2, = +

allora Pertanto, .

y) 1). w 2�

u v

� � � �

= (1, = (1, −2, = (1, −1, = (1,

′ ′

Esercizio 2.19. Siano e e

u 0, 1) u 3), v 0) v 2, 1).

� � � �

′ ′

Determinare i vettori complanari sia con che con .

u , u v , v

� = (x,

Sia un generico vettore di , allora

Svolgimento. V

w y, z) 3

� �

x y z

� �

� � � ⇐⇒ =

′ complanari 1 0 1

w, u , u det 0

� �

−2

1 3

� �

x y z

−1

� �

� � � ⇐⇒ =

′ complanari 1 0

w, v , v det 0,

� �

1 2 1

64 A. Montinaro

allora −

� � � �

x y z x z y z

� � � �

= = = − −

1 0 1 0 0 1

0 det det 2(x z y)

� � � �

−2 −2 −2

1 3 3

+

� � � �

x y z x y y z

−1 −1

� � � �

= = = −(x + −

1 0 0 0

0 det det y 3z)

� � � �

1 2 1 3 2 1

e quindi �

� − − =

�

�

x y z 0

� + − =

�

�

x y 3z 0

�

= = = (2z, =

ovvero e quindi

x 2z y z, w z, z) z(2, 1, 1).

Esercizio 2.20. Verificare che i tre vettori

� � �

= (−1, = (2, −1) = (1, −2,

u 1, 2) v 1, w 3) � = (−6, −5)

sono linearmente indipendenti e determinare le componenti di t 9,

� �

{�

rispetto alla base u, v , w}.

Siccome,

Svolgimento. −1

� �

1 2

−1

� � = −18 ≠

2 1

det 0,

� �

−2

1 3

� � � � �

{�

allora sono linearmente indipendenti e quindi è una base di .

V

u , v , w u, v , w} 3

∈

Pertanto, esistono (unici) tali che

R

x, y, z

� �

= + +

t x�

u y�

v z w,

ovvero �

−x + + = −6

�

�

�

� 2y z

� + − =

�

x y 2z 9

�

�

� − + = −5

�

2x y 3z

Siccome −6

� �

2 1

−2

� �

= = −44

(1) 9 1

det A det � �

−5 −1 3

−1 −6

� �

1

−2

� �

= =

(2) 1 9

det A det 2

� �

−5

2 3

−1 −6

� �

2

� �

= =

(3) 1 1 9

det A det 60

� �

−1 −5

2

65

Orientazione di retta, piano e spazio

� � �

{�

allora le componenti di rispetto a sono

t u, v , w}

(1) (2) (3)

(x, = � � = � − − � = � − − �

det A det A det A 44 2 60 22 1 10

y, z) , , , , , , ,

det A det A det A 18 18 18 9 9 3

cioè � � � �

= + − −

22 1 10

t u v w.

9 9 3

2.7 Orientazione di retta, piano e spazio

Vogliamo ora introdurre una orientazione su una retta, in un piano e nello spazio.

�

� ≠

retta orientata

• Una si dice quando è assegnato un vettore paral-

r e 0

�

lelo ad ossia una base per i vettori paralleli ad Il vettore determina

r, r. e

un verso di percorrenza sulla retta.

piano orientato

• Un si dice quando è assegnata una coppia ordinata

↵

� �

(� ) (� )

di vettori non paralleli del piano. Si noti una base ordinata

e , e e , e

1 2 1 2

determina un verso di rotazione nel piano nel seguente modo: se poniamo

�→

�

� �

= =

e

e OP e OP

1 1 2 2

il verso di rotazione è quello che permette di sovrapporre ad

OP OP

1 2

�

(� ) positiva

descrivendo un angolo convesso. si dice se determina

e , e

1 2

una rotazione antioraria. 66 A. Montinaro

Definizione 2.22. (Base ortonormale).

ortonormale

Una base di si dice se è costituita da versori a due a due

V 3

ortogonali. {

Nel seguito con denoteremo sempre una base ortonormale.

î, ĵ, k̂}

� �

Siano e due vettori di le cui componenti rispetto la base ortonormale

V

v u 3

� �

{ = (v ) = (u ).

sono e Allora,

î, ĵ, k̂} v , v , v u , u , u

1 2 3 1 2 3

� �

⋅ = (v + + ⋅ (u + +

v u î v ĵ v k̂) î u ĵ u k̂).

1 2 3 1 2 3

(ii) (iii)

Applicando le proprietà e del prodotto scalare e considerando che

�

� ⋅ = ⋅ = ⋅ =

�

{ ⇐⇒ �

î î ĵ ĵ k̂ k̂ 1

base ortonormale � ⋅ = ⋅ = ⋅ =

î, ĵ, k̂} �

�

î ĵ ĵ k̂ k̂ î 0

si ha: � �

⋅ = (v + + ⋅ (u + + = + +

v u î v ĵ v k̂) î u ĵ u k̂) v u v u v u .

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

Quindi, �

�� � = + +

21 22 23

u u u u ,

+ +

�

�

→

�

→ � �

) = v u v u v u

1 1 2 2 3 3

cos( u v .

+ + + +

21 22 23 2 2 2

u u u v v v

1 2 3

Si noti che rispetto ad una base non ortonormale il prodotto scalare non ha

un’espressione semplice come quella appena vista.

� �

= − + = −3

Esercizio 2.23. Siano e allora calcolare:

u î 2

ĵ k̂ v ĵ,

1. il loro prodotto scalare;

2. i loro moduli;

3. il coseno dell’angolo fra essi compreso.

{

Siccome è una base ortonormale di , allora

Svolgimento. V

î, ĵ, k̂} 3

� �

⋅ = (1, −2, ⋅ (0, −3, = ∗ + (−2) ∗ (−3) + ∗ =

�

√ √

u v 1) 0) 1 0 1 0 6

� �

�� � = ⋅ = + (−2) + =

2 2 2

�

u u u 1 1 6

√ � �

��

�