Esercitazione Fondamenti algebra lineare e geometria

Anno accademico 2022/23 (V. Casarino, R. Sanchez e C.

Zanella)

(Ingegneria Gestionale, Meccatronica e dell’Innovazione del prodotto)

Esercizi proposti per la terza settimana di tutorato

Esercizio 1. Esprimere in forma algebrica la somma e il prodotto delle due soluzioni

dell’equazione √

√

1 3

2 −

2 i 2) = 0.

z + (

12z + −

1 i 2

Svolgimento. Per ogni equazione az + bz + c = 0 le due radici soddisfano

b c

−

z + z = , z z = ;

1 2 1 2

a a

quindi, innanzitutto, 1 1 1+ i 1 1 i

− − · − − −

z + z = = = (1 + i) = .

1 2 − −

12(1 i) 12(1 i) 1 + i 24 24 24

√

√ 3

−

2 i 2) . Si ha:

Calcoliamo ora ( √ √ 3 3

3

−iπ/4 −iπ/4 −

3 iπ

−

( 2 i 2) = 2e =8 e = 8e 4

√ √ √

√

2 2

− −

− −4

=8 2 4i 2,

i =

2 2

da cui √ √ √ √

−4 −

2 4i 2 1 i

− −

z z = = 2 2.

1 2 12 3 3

Esercizio 2. (a) Risolvere la seguente equazione nell’incognita complessa u, esprimen-

done le soluzioni in forma algebrica: √ √

3 3

u = (− 2 + i 2) .

(b) Risolvere la seguente equazione nell’incognita complessa z, esprimendone le soluzioni

in forma algebrica: √ √

1 3

= (− 2 + i 2) .

3

z

√ √

−

Svolgimento. (a) Sia α = 2 + i 2. È facile verificare che il modulo di α vale 2

3

e l’argomento vale π. Quindi

4 √ √ 3

3 9 π

3 π i π i

i

(− 2 + i 2) = 2e = 8e = 8e .

4 4 4

1

√ √ π

i

3 3

Le soluzioni dell’equazione u = (− 2+i 2) sono le radici cubiche di 8e . Applicando

4 π

la formula per le radici ennesime di un numero complesso con ρ = 8, θ = e n = 3

4

otteniamo le tre radici 17 π

iπ/12 i3π/4 i .

u = 2e , u = 2e , u = 2e 12

0 1 2

Poiché però le soluzioni sono richieste in forma algebrica, conviene procedere cosı̀:

π π π π

iπ/12

− −

u = 2e = 2 cos( ) + i sin( )

0 3 4 3 4

π π π π π π π π

−

= 2 cos( ) cos( ) + sin( ) sin( ) + 2i sin( ) cos( ) cos( ) sin( )

3 4 3 4 3 4 3 4

√ √ √ √ √ √

1 2 3 2 3 2 1 2

−

=2 + + 2i )

2 2 2 2 2 2 2 2

√ √ √ √

1 i

−

= 6+ 2 + 6 2).

2 2

Procedendo in modo analogo con z si ottiene

2 2 3

17 π i( π+ π)

i = 2e

u = 2e 12 3 4

2 √ √

√ √

1 i

− −

= 2 6 6 + 2).

2 2

Più semplicemente, si osserva poi che √ √

i3π/4 −

u = 2e = 2 + i 2.

1

(b) Come conseguenza di (a), le tre soluzioni dell’equazione assegnata in (b) sono

̸

date da z = 1/u , k = 0, 1, 2 (si osservi che vale sempre u = 0). Quindi

k k k

1 1

1 17

−iπ/12 −i3π/4 −i π

e , z = e , z = e

z = ;

12

1 2

0 2 2 2

tali radici, espresse in forma algebrica, sono

√ √

√ √

1 i

− −

z = 6+ 2 6 2),

0 8 8

√ √

1

−

z = ( 2 + i 2),

1 4

√ √ √ √

1 i

−

6 2 + 6 + 2).

z =

2 8 8 ∈

Esercizio 3. (a) Determinare i due numeri complessi a + ib, a, b tali che

R,

2 −48

(a + ib) = + 14i.

(b) Risolvere la seguente equazione nell’incognita complessa w, esprimendone le solu-

zioni, quando possibile, in forma algebrica

2

!

2 −48

i + = + 14i.

w̄ 2

Svolgimento.

(i) Risolvere l’equazione assegnata è equivalente a risolvere il sistema

2 2

− −48

a b =

2ab = 14. 2

Ricavando b dalla seconda equazione, sostituendo nella prima e moltiplicando per a si

ottiene l’equazione 4 2 −

a + 48a 49 = 0.

2 −49, ±1

Se ne deduce a = 1 e solo la seconda soluzione è accettabile. Quindi a = e

corrispondentemente i due numeri complessi cercati sono

±(1 + 7i).

(ii) E’ sufficiente risolvere le due equazioni di primo grado:

2 2 −1 − ̸

i + = 1 + 7i; i + = 7i, w̄ = 0.

w̄ w̄

La prima delle due ha soluzione 12

2 − i,

w̄ = 37 37

cioè 2 12

w = + i.

37 37

La seconda delle due ha soluzione 2 16

−

w̄ = + i,

65 65

cioè 2 16

− −

w = i.

65 65

2 2

Esercizio 4. Dato l’insieme , definiamo una somma in nel modo seguente:

⊞

R R

′ ′ ′

(x, y) (x , y ) = (x + x , 0),

⊞

e un prodotto esterno 2

∀(x, ∈ ∈

ω(h, (x, y)) = (hx, hy) y) , h

R R.

2

Stabilire se (R , ω) è uno spazio vettoriale.

⊞,

R, 2

Svolgimento. Se (R , ω) fosse uno spazio vettoriale, dovrebbe esistere, in

⊞,

R,

particolare, un elemento neutro per la somma cioè un elemento (x , y ) tale che

⊞, e e

(x, y) (x , y ) = (x, y)

⊞ e e

3