Algebra - esercitazione

Esercizio

Sia H = {x = a + bi + cj + dk la,b,c,d ∈ ℝ} l'insieme dei quaternioni di Hamilton. Il coniugato di x ∈ H è definito da x = a - bi - cj - dk ∈ H

Vedo che $$x\overline{y}=a+\overline{x}\overline{y}=\overline{y\overline{x}}$$ $x^{-1} = \overline{x}\dot\frac{1}{N(x)}⇒\overline{xy} = \overline{y}\overline{x}$ per ogni x,y ∈ H.

Definiamo norma di x ∈ H come N(x) := xx e dimostrano che N(x) ∈ ℝ e che N(xy) = N(x)N(y)

Test

H di H.

(x,y) -> xy

Se:

1. Prima di tutto facciamo vedere che se x,y ∈ S allora xy ∈ S. Infatti se N(x) = 1 e N(y) =

   N(xy) = N(x) . N(y) = 1 . 1 = 1 => xy ∈ S

Questo ci fornisce l'esitstenza di un'operazione

S x S -> S

(x,y) -> xy

Dobbiamo verificare:

1. associtavità
2. elemento neutro e
3. inverso

(i). Proprietà (i) segue dall'associtività della moltiplicaz. in H

(ii)Supponiamo che 1 ∈ H e ilc. 1.x = x.1 = x per ogni x ∈ H. Poiché N(1) = 1.1 =1.1=1 non ha che ne definitamo e := 1 allora

(iii)Sia x ∈ S cioè N(x) = x x_- = 1 =e.

D òltra parte sia x = a+bi + cj + dk allora x_- =a -bi - cj- dk e N(x) = a² +b² +c² +d² = (a² +(b² + (c² - N)x/\ N\*x = x.x 1.1 => N(x) = x. x_- = x. x^-1 =1 =e.

ESERCIZIO

Sia H un sottogruppo di G . R un insieme di rappresentanti per le classi laterali sinistre. Dimostrare che {1,2^-111²} é un insieme di rappresentanti per le classi laterali destre.

Sia a ~_sb

Poichè le classi laterali sinistre sono le classi di equivalenza per la seguente relazione di equivalenza su G:

• a~_sb ↔ a^-1b ∈ H

le classi laterali destre sono definite da:

• a~_db↔ ab^-1 ∈ H

Supponiamo quindi che R un insieme di rapp. Per le classi laterali sinistre cioè