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Algebra
Esercizi
K è un campo (K ∈ ℚ, ℝ, ℂ)
Def. Si dice matrice di tipo (m,n) a coeff. in K è una tabella con m righe e n colonne i cui elementi (detti coefficienti o entrate) appartengono a K:
A = (aij)
i = 1, 2, ..., m
j = 1, 2, ..., n
A = {(aij)m,n | aij ∈ K}
elemento generico della matrice che muta la le in riga i e colonne j
Esempio
B = ( 3 -1 0 )
B ∈ K2,3
Due matrici:
A = (aij) ∈ Km,n e B(bhk) ∈ Kp,q
se α si può
m = p, n = q, aij = bij, ∀ i, j
Matrici particolari
Siano A∈ℝm,n
- m = 1, -> A si dice matrice rigaA = (3 2 1/4) -> ∈ℚ1,3
- n = 1, -> A si dice matrice colonnaB = (0) (1) (2/5) -> B∈ℝ3,1
- m = n -> A si dice matrice quadrata di ordine nC = (3 -2) (a1 a2) -> ∈ℚ2,2
Somma tra matrici (dello stesso tipo)
Siano A = (aij), B = (bkl) ∈ Kn,m
A + B = (cij) è la matrice di Km,n tale checij = aij + bij
Esempi
A = (3 0 1) (2 1 0)
B = (4 0 1) (0 2 2) (1 3 1)
A + B = (7 -1) (2 4) (3 1) (0 1)
(Km,n, +) È un gruppo abeliano commutativo perché c'è la proprietà ss commutative della somma
- Esiste l'ele. neutro (Om,n = θ)
- Esiste l'opposto di ogni matrice di Km,n
Def:
Se dato matrice quadrata n x m (o matrico identica n x m) la matrice quadrata Im definita:
Im =
I2:
I3:
- Se A ∈ Km x m allora:
A ∙ Im = A , Im ∙ A = A
Esempio:
A =
A ∙ I3 =
otteniamo una matrice
Esercizio:
I2 ∙ A =
Notazione:
Im(K) = Km x m
(Im(K), +) prodotto matriciale è una S.A.
- * associativa
- * NON commut.
- eccetto l'elemento neutro
- se data una matrice A ∈ Im(K) esiste A-1 ∈ Im(K) t.c.
A-1 ∙ A = Im = A-1 ∙ A
allora A'-1 si dice inversa di A e si denota con A-1
Def: Sia A∈Πn(ℂ). A si dice SIMMETRICA se coincide con la sua trasposta.
Questo equivale a dire che aij=aji ∀ i,j
A=⎛304126⎞ → At=⎛304126⎞
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎭⎣⎦⎧⎧⎧⎧⎫⎫⎫⎣⎦
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⎩⎩⎩⎭=⎧⎧⎧⎫
Esercizio
Siano A,B∈Πn(ℂ)
- (A+B) è simmetrica ↔ (At+Bt)t=At+Bt=A+B
- a A è simmetrica allora AtA è simmetrica
(AtA)t=AtAt=AtA=AAtA
Sia A ∈ Mn(ℝ) Allora, se A = (ayj) si ha che il
det A = ai1Ai1 + ... + ainAin
= ayj + ainAin
elove [i j] = (-1)i+j det |Ai j|
matrice ottenuta elimimando riga i e colonna j
Se A contiene una riga o una colonna tutta nulla, det(A) : |A| = 0
OPERAZIONI ELEMENTARI (sulle righe di A)
E1 Scambia due righe
E2 moltiplica una riga x un coefficiente non nulla
E3 Somma ad una riga e un multiplio di un altra riga
h ∈ ℝ
EFFETTI DELLE OPERAZIONI ELEMENTARI su det(A)
- Se B è ottenuta da scambiando due righe (o due colonne) alla:
|B| = -|A|
- Se B è ottenuta da K moltiplicando una sua riga per il coeff. K ∈ ℝ, allora:
|B| = K|A|
Proprietà:
Siano A, B ∈ ℒn(IK)
- |A| · |B| = |A B|
- |A B| = |A| |B| → Teorema di Binet
A = [ 40 32 -11 ]
B = [ 40 01 0-1 01 1-4 ]
|A B| = |A| |B| = (3·(-4)·1)(4·(-1)·1) = (-3)·(-4) = -12
CALCOLO DELL'INVERZA
Sia A ∈ ℒn(IK). Si dice matrice aggiunta di A la matrice Aa = [ (-1)1+1 | ]
Teorema:
Se A ∈ ℒn(IK) Im tale caso, A è INVERTIBILE ⟺ |A| ≠ 0
- A-1 = 1 / |A| (tAa)
Moltiplicata per |A| deve dare la matrice identità.
Stabilisce se una matrice dipendente da parametri è
Invertibile
e Invertibile?
- L3 → R3 - 2R4 → -3I + 3 = 0
C3 + C4 = h + h(-1) = 0
= h[(h-2)(-1)
= -(3h2 - 1) = (3h + 2) . h
Quindi |Ah| = (3h2 + 2)h
|A(h)| → 0
h → 0
V(K)
A = ∑ aiui, con ∃ α ∈ V(K)
L(A) = ∑ hivi , h = α hk ∈ K
L su spazio vettoriale -> ...
Sia U ≤ V(K), U si dice
FINITAMENTE GENERATO se esistono l1, l2, ..., lm, lm ∈ K
U = L(u1, ..., um)
Km finitamente generato
Infatti: u1 = (1, 0, 0,..., 0)
u2 = (0, 1, 0,..., 0)
um = (0,..., 1)
generano Km = L(u1, ..., um) = Km
L(u1, ..., um) = A
(∃!h1, ..., ∃!hm ∈ K3)
F2
Km - {K} è F.G.
∃; Matrice m x m con s>posizione (i,j)
monte gli altri coeff. sono nulli
L( ∑ Eij Vij ) = Km
Stabilire se
A = {(2,0,2), (0,3,1)}
è un sistema di generatori di
U = {(x,1,0) | x,1 ∈ ℝ}
(a,b) = x (2,0) + γ (0,3)
(2x:1)
(0)=x2+a=
.34
x
non vale ∀a ∈ ℝ
Il sistema non ha soluzioni
Quindi A non è un sistema di generatori di U
Stabilire se
B= {(1,4,0),(0,-3),(0,0,3)} e
[ 0,0,0 ]
x(1,4,0) + y(0,-3) + z(0,3) = [ 0,0,0 ]
{ x = 0
y = 0
-3y + z = 0 }
0,1,-3} -> B
Poi, il sistema ha come unica soluzione la relazione (visto che [0,0,0])
Es. riportato da precedente
3 = ρ(A) ---> ρ(A) = 3
Es.
Determinare il rango di A ( 45750-1120)
1 ≤ ρ(A) ≤ 3
Poche ( T|5|2)e minore non completo del rango
Teorema degli orlati
A ∈ Km,n ρ(A) = k ⇔
- A parade un minore Mnon completo da calcolo k tale che calcolo M non singolare
- Completamento
Determinare il rango di3 T5 62 6
Consideriamo minore di ordine 3 con calcolo unico
⇒ 2 ≤ ρ(A) ≤ 3
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