Domande tipo orale Analisi matematica I

I

- = (l - ε, l + ε)

1 1 1

I

- = (l - ε, l + ε)

2 2 2

∩

I l = Ø

1 2 lim = ∃ ∀n I

poiché , allora n , tale che ≥ n , {a } ϵ ,

1 1 1 n 1

→+∞

lim = ∃ ∀n l

poiché , allora n , tale che ≥ n , {a } ϵ ,

2 2 2 n 2

→+∞

∀n I I l ∩ l

> max{n , n }, {a } ϵ e , cioè {a } ϵ , ma essa è l'Ø, quindi è assurdo.

1 2 n 1 2 n 1 2

12. Scrivere la definizione di successioni monotone. Enunciare e dimostrare il Teorema sul limite delle

successioni monotone. ∀(n+1)

Data {a } una successione, {a } si dice crescente (decrescente) se > n, allora a (n+1)≥ a (a (n+1)≤ a ).

n n n n n n

∀(n+1)

Data {a } una successione, {an} si dice strettamente crescente (decrescente) se > n, allora a (n+1)> a

n n n

(a (n+1)< a ).

n n

Sia {a } una successione monotona, allora la successione è regolare. In particolare:

n lim =

se {a } è crescente sup{a tale che n ϵ N}

n n

→+∞

lim =

se {a } è decrescente inf{a tale che n ϵ N}

n n

→+∞

Dimostrazione:

Se la successione è monotona crescente l'estremo superiore può essere

1) + ∞

∀M ∃

> 0 a tale che a > M, se n > n allora a ≥ a > M

n n M n n

M M M

∀M ∃ ∀n lim = +∞

> 0 n tale che a > M ≥ n =>

M n M →+∞

2) numero finito l

∃ un maggiorante l tale che a ≤ l

n

∀ε ∃

quindi > 0 a tale che l - ε ≤ a

nε nε

se n ≥ n allora a ≥ a > l - ε

ε n nε ∀n

quindi l - ε < a ≤ a ≤ l < l + ε ≥ n

nε n ε

lim =

→+∞

13. Enunciare il teorema sull’algebra dei limiti per successioni e dimostrarlo nel caso del limite della somma

o del prodotto.

Algebra dei limiti 1 lim = lim =

Siano {a } e {b } due successioni convergenti e allora:

n n ϵ N n n ϵ N →+∞ →+∞

lim ± = ±

1)

→+∞

lim ∙ = ∙

2)

→+∞

lim =

3) se b ≠ 0 e b ≠ 0

n

→+∞

Dimostrazione del prodotto:

lim = lim =

Ipotesi: e

→+∞ →+∞

lim ∙ = ∙

Tesi:

→+∞ ∀ε ∃ ∙ − ∀n

quindi si deve dimostrare che > 0 n tale che | | < ε ≥ n

ε ε

lim = ∃ − ∀n

a a

<=> data ε > 0 n tale che | | ≤ ε ≥ n

ε ε

→+∞

lim = ∃ − ∀n

b b

<=> data ε > 0 n tale che | | ≤ ε ≥ n

ε ε

→+∞

∙ − ∙ − ∙ + ∙ − |

| | = |

( − ) + ( − )| ( − )| + |( − )|

| ≤ |

| ||

( − )| + |( − )| | − | + | − ||

| = |

∃

siccome { } è convergente allora { } è limitata quindi n > 0 tale che | | ≤ M

||

∙ − | − | + | − |

| ≤ M|

Si fissa ε > 0 ε ε

lim = ∃ ∀n −

si considera ε = poiché n tale che ≥ n | | <

1 ε1 ε1

2 2

→+∞

ε ε

lim = ∃ ∀n −

si considera ε = poiché n tale che ≥ n | | <

2 ε2 ε2

2|| 2||

→+∞

sia n = max{ n , n }

ε ε1 ε2 ε ε

||

∙ − | − | + | − | ε

se n ≥ n | ≤ M| < M + |b| =

ε 2 2||

14. Enunciare e dimostrare il Teorema della permanenza del segno per successioni, nelle due forme.

Teorema della permanenza del segno:

I forma: lim = > 0 ∃ ∀n ∀n

data { a } se allora n’ tale che a > 0 ≥ n' se a < 0 => a < 0 ≥ n'

n n ϵ N n n

→+∞

Dimostrazione:

lim = > 0

→+∞

∃ ∀n

dato ε = n tale che ≥ n => | a - a | <

ε ε n

2 2

3

= a - < a < a + =

n

2 2 2 2

∀n

in particolare a ≥ > 0 ≥ n

n ε

2

II forma: ∀n lim = ≥ 0

se a ≥ 0 allora

n →+∞

∀n lim = ≤ 0

se a ≥ 0 allora

n →+∞

Dimostrazione: lim = ≥ 0

se a ≥ 0 =>

n →+∞ ∀n

se pur essendo a < 0, allora per il teorema della permanenza del segno (I forma) si avrebbe a < 0 ≥ n'

n

contraddicendo l'ipotesi che a > 0.

n

15. Enunciare e dimostrare il Teorema del confronto (detto anche dei due Carabinieri) per successioni.

Teorema del confronto:

siano {a }, {b }, {c } tre successioni tali che:

n n n

∀n

1) a ≤ c ≤ b

n n n

lim = = lim

2)

→+∞ →+∞ lim =

allora {c } è convergente e

n →+∞

Dimostrazione: lim =

L ϵ R, da dimostrare che

→+∞

∀ε ∃ ∀n

cioè > 0 n tale che l - ε ≤ c ≤ l + ε ≥ n .

ε n ε

lim = , ∀ε ∃ ∀n

1) > 0 n tale che l - ε ≤ a ≤ l + ε ≥ n

1 n 1

→+∞

lim = , ∀ε ∃ ∀n

2) > 0 n tale che l - ε ≤ b ≤ l + ε ≥ n

2 n 2

→+∞ ∀n

sia n = max{n , n } abbiamo ≥ n

ε 1 2 ε

l-ε ≤ a ≤ c ≤ b ≤ l+ε

n n n ∀n

l-ε ≤ c ≤ l + ε ≥ n

n ε ∪

16. Enunciare il teorema sull’algebra dei limiti per successioni in R {±∞} (”algebra degli infiniti”).

Fare esempi di forme indeterminate.

Data {a } e {b } si ha:

n n

lim = + ∞ lim + = + ∞

1) se e {b } è inferiormente limitato, allora

n

→+∞ →+∞

lim = − ∞ lim + = − ∞

2) se e {b } è superiormente limitato, allora

n

→+∞ →+∞

(−

lim = + ∞ ∞) lim = b ≠ 0, lim ∙ = ()∞ ∙ (−sgn(a) ∞)

3) se e allora

→+∞ →+∞ →+∞

in particolare a --> + ∞ b --> + ∞ a + b --> + ∞

n n n n

b --> b a + b --> + ∞

n n n

1

4) se | a | --> + ∞ allora --> 0

n

5) sia {a } infinitesima,

n 1

+

lim = 0 lim = + ∞

se , allora

→+∞ →+∞

1

−

lim = 0 lim = − ∞

se , allora

→+∞ →+∞

(fare esempi di forma indeterminate)

17. Enunciare e dimostrare il Criterio del rapporto per successioni positive.

Criterio del rapporto per successioni positive: +1

∃ lim = l

Sia {a } una successione con a > 0, se ϵ R U {+∞}

n n +

→+∞

allora si ha:

1) se L < 1 la successione è infinitesima

2) se L > 1 la successione è infinita

3) se L = 1 non si può concludere nulla

Dimostrazione:

+1

lim = l

l ϵ R

→+∞ +1

∀ε ∃ n’ tale che l – ∀n

> 0 ε < < l + ε ≥ n’

caso l < 1

Si fissa ε > 0 in modo che l + ε = q < 1

+1

∃ n’ tale che l – ∀n

quindi ε < < q ≥ n’

′+1

n’ + 1 => < q => < a q

′+1 n’

′

′+2 2

n’ + 2 => < q => < a q < a q q = a q

′+2 n’+1 n’ n’

′

′+3 3

n’ + 3 => < q => < a q < a q

′+3 n’+2 n’

′

… ∀k

quindi > 0

k

0 < < q con q < 1

′+ ′

lim = 0 lim = 0 lim = 0

=>

′

′

+

→+∞ →+∞ →+∞

caso l >1 +1

∃ n’ tale che q = l – ∀n

ε < < l + ε ≥ n’

+1 ∀n

> q ≥ n’

> a q

′+1 n’

2

> a q = a q

′+2 n’+1 n’

…

k

> a q

′+ n’

lim = +∞

poiché q > 1 => ′

→+∞

lim = +∞ lim = +∞

quindi per il confronto =>

′

+

→+∞ →+∞

18. Scrivere la definizione di successioni asintotiche ed enunciarne le principali proprietà; dimostrare

poi almeno una di queste proprietà (a scelta).

~ lim =1

Date due successioni {a }, {b } son