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2. Provare che un insieme convesso è semplicemente connesso. Discutere la relazione
opposta con degli esempi.
3. Dare un esempio di forma differenziale chiusa ma non esatta. Dare un esempio di
forma differenziale esatta definita in un insieme non semplicemente connesso.
1
4. Provare che una forma esatta di classe C è chiusa.
5. Provare che la primitiva funzione di una forma differenziale in un aperto connesso è
unica a meno di una costante.
Teoremi
1. Provare che una forma differenziale chiusa in un insieme semplicemente connesso è
esatta.
2. Enunciare e provare il teorema sulle tre nozioni equivalenti di forma differenziale
esatta su un aperto conesso.
Integrali multipli e di superficie
Definizioni ed Enunciati
1. Definizione di insieme limitato misurabile. Dare condizioni necessarie e sufficienti
affinché un insieme limitato sia misurabile.
2
2. Definizione di insieme semplice in (rispetto all x o alla y) e corrispondenti formule
R
di riduzione degli integrali per funzioni continue
2
3. Definizione, in , di funzione integrabile secondo Riemann su un rettangolo e su un
R
generico insieme limitato. 2
4. Condizione sufficiente affinchè una funzione definta su un rettangolo su sia inte-
R
grabile secondo Riemann.
5. Definizione di divergenza, rotore e di flusso di un campo vettoriale attraverso una
superficie.
6. Enunciare il teorema della divergenza.
7. Enunciare il teorema di Stokes.
Dimostrazioni 2
1. Definizione di funzione integrabile in senso improprio (in ).
R
2. Dare nozioni equivalenti di insieme misurabile di misura nulla. Provare l’equivalenza.
2
3. Provare che se la frontiera di un insieme limitato di ha misura nulla allora è
R
misurabile. 2
4. Discutere in un esempio di insieme limitato non misurabile.
R
5. Discutere un esempio di funzione limitata su un rettangolo non integrabile secondo
2 .
Riemann in R →
6. Provare che il grafico di una funzione g : [a, b] integrabile secondo Riemann in
R,
2
[a, b], ha misura nulla in .
R
7. Provare che il flusso di una campo vettoriale attraverso due superfici equivalenti è
costante a meno di un segno.
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