Domande orale Analisi Matematica 2

Name: Domande orale Analisi Matematica 2
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Author: sofia.carrino

Revisionato il 29/06/2026

di sofia.carrino

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Dimostrazioni, enunciati e definizioni in risposta alla lista di domande fornita dal prof. Ruzzi per la preparazione della parte orale dell'esame di Analisi Matematica 2. Appunti basati su …

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Ruzzi Giuseppe

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2021-2022

49 pagine

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Esempi di domande per l'orale scritto - Ingegneria Gestionale - A.A. 2021-22

Differenziabilità: definizioni ed enunciati

Definizioni di funzione continua, derivabile e differenziabile in un punto.
Enunciare il Lemma di Schwartz.
Enunciare il Teorema del differenziale totale.
Enunciare il Teorema delle funzioni implicite 2-d (Teorema di Dini).
Enunciare il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange nel caso 2-d.
Dare la definizione di funzione di classe Cⁿ(A) in un aperto A ⊆ Rⁿ.
Definizione, specificando le ipotesi in cui è ben definito, di piano tangente al grafico di una funzione.
Definizione di insieme convesso e di funzione convessa.
Definizione di diffeomorfismo. Fornire un esempio in R².

Dimostrazioni

Dimostrare che una funzione differenziabile è derivabile e continua. Mostrare, con controesempi, che il viceversa non è vero.
Dimostrare che il gradiente di una funzione differenziabile in un punto individua la direzione ed il verso di massima crescenza della funzione nel punto.
Mostrare la relazione tra derivata direzionale e gradiente per una funzione differenziabile.
Provare che se il gradiente di una funzione differenziabile si annulla in un aperto connesso allora la funzione è costante nell'aperto connesso.
Dare un esempio di funzione differenziabile in punto con derivate parziali non continue nel punto.
Dare la definizione di diffeomorfismo e provare che la matrice Jacobiana di un diffeomorfismo è invertibile.
Dare la definizione di matrice Hessiana per una funzione di classe C² e provare che si tratta di una matrice simmetrica.
Provare, per una funzione di classe C², che se la matrice Hessiana è definita positiva/negativa in un punto critico della funzione allora si tratta di un minimo/massimo relativo.
Provare che una funzione di classe C² è convessa se e solo se la matrice Hessiana è semi-definita positiva.

Teoremi

Enunciare e dimostrare il Teorema del differenziale totale (in 2-d).
Enunciare e dimostrare il Teorema del Polinomio di Taylor in 2 dimensioni (limitarsi al polinomio di Taylor di grado 2).
Enunciare e dimostrare il Teorema delle funzioni implicite 2-d (Teorema di Dini).

Curve e superfici: definizioni ed enunciati

Definizione di curva parametrica regolare e di curva cartesiana.
Definizioni di curva semplice, chiusa e di sostegno di una curva.
Definizione di curve equivalenti e di curve aventi lo stesso o opposto orientamento.
Definizione di curva rettificabile e condizioni sufficienti affinché una curva parametrica sia rettificabile.
Definizione di superficie parametrica regolare e di superficie cartesiana.

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