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B
---
Conik + 0
B B'geneza
Bi B
B'
BC genera =
[B 03 sostituendo posto dv
Siano BER al
Bwt---Brut---Bw +
· ------
+ w
=
.
---
.. ,
Poiché devono
coefficienti
anche
Im ind lazy
B Bkwt
Bk But)w
+ +
(B
+
- + + 0 sono
w
, i
=
--- .
. --- .
null BitBati
Butk ik
O
o
essere = =
↓ Bu ik
Bi -
0
= 0
1 =
=
k ,
-
indipendenti
t vettazi di Incarmente
nulli pi sono
sono
Bi i
completamento
del
corema linearmente
Ev
Sia indipendenti
vettori
43 di spazio
insieme
va in uno
.. --- , finitamente generato
vettoriale .
Sebas allora
di
base
3 men
e possono aggiungere
si
e
, w una
---
., di
ottenere
di modo
vettori base
da
B
V 1-m una
Un in
.
---
. ,
Dimostrazione Paché tutti
dove coefficienti
B genera null
+ + anwn
V non
2w sono
= ---
, dove dei
almeno nullo
+ Ba
B
+
V e
B . Y + 22
B2z uno non
con
= ---
Pez sostituzione 3
di
lemma abbiamo base di
il EV
che e
w una
Va Wai--- .
, . .
All'inesimo Vini---w3
Sv
che d
base W
possiamo supporte sia
passo . --- del
dove de nullo
almeno
Vietwit--ett
di
1.4
Vi jai è
+ -met uno con non
= , .
Pez sostituzione S
di abbiamo
lemma Ev
che
il base di
e
Vivit una
--- .
, ---
. fine
[V
atteniamo
Se dopo d
che base
3
man e 3k
..
passi w una
mar---
m --- i
,
, , l'ipotesi
Se che EV contraddice
atteniamo
dopo di
base
--- v3 e vae
passi Un
n ma
v
una
man .
---
i
, ,
Esposizione Tutte stesso stesso
finitamente generato
vettoriale
le hanno
di
basi di
lo numero
spazio
uno
elemente
Simostrazione Siano due
Ev
Ev d
V3 ab basi
Ba
Bi =
= -- .
..
.
.. ---
lin abbiamo
Poiché Scambiando abbiamo
vettori base th compl
ind men n
non m
=
.
Appicazioni neari
Dimensione
della Zango
enzema dim
lineare +dim
dim
un'applicazione in
Sia -W
: iez
: =
Simostrazione vettoriale
Ev base
Sia sottospazio
il
va3 per ve r
una
.
.. --- 3
Sia &Vi
B Vertati --- 7
= n
i
--- .
, .
sistema
.
B generator perché enucleo di
di la
è Ve
per vi
un ---
. . di
vettori In
Sia ind
Bi
Ciel
tati trentan dan dati
dati =0 ---
1 r
Abbiamo nucleo
Izati datizita-etdatn
andizn &Zedeat--etdizne
Dedati +--- e
Poiché def:
Kez/l datikit-retdandiVit-etdave
Zeaut-e-tdaka
Vi---Va dire
= ,
. Gattt--etdazn-divit--etdalz 0
=
base
B
Essendo 2 0
per
una en
= = =
---
lineari
Sistemi 2 0
.
Kouché Capelli
di
cozema Allora hai
sistema sistema
Un Ax=o kakad
soluzioni il
nincognite
di
lineare ammette .
ss
equazioni s
in
m .
.
Una rkA rkAb
sola soluzione 1
= = /
Infinite le soluzioni dipendono
(kA -kAbL1
soluzioni da a
2 n-rk
= .
sistema
Dimostrazione ha soluzioni delma
dim
Abelm
generata matrice
della A dim
di di KArkAb
vettori colonna Ab
da
Im colonne
colonne
a a l'insieme delle soluzioni
Struttura Seutz as
soluzioni di
ammette il
Ax
Se b
.
2 per ze lez
cozema :
:
= ,
dim Keradonas Sedub ammette sol
Keza soluzione
cioé una
o
: = ,
, contiene elementi vettoriale
sottospazio
Keza infiniti reale
dimkeza essendo
in .
o un
i
Pez parametzi
il soluzioni
Dimensione da
dim 1-dimm
della dipendono
A
Keza a
1-rk nerk
corema = =
a
,
Determinante nversa
e esiste
Sefinizione matrice mateice
Una dice
quadrato A
A 3 AB
La
3 BA
R ==
si una :
se =
estema A"
invertibile detra
matrice A è
è unica
o
a Per
Dimostrazione Binet
definizione det
AA" il det det
Al det
tozema
I di AA"
A I
per
= = = =
,
det A 0
= determinante della ottenuta
matrice la
da
det
det Al Air la
Se il a rimuovendo
· Sia i-esima
0 ziga e
= -it
A"is Air
det
colonna detra
resima - Acicalcab
Supponiamo Centrambe
B Ab
di A Ba CBA B
I Cab
· C
CBa
:
nverse = =
=
= =
Avvalori Autovettori
e autovalori autospazi
e
escema su autovalore
autovettore ad associato
Se el
è
veo esso
un ,
. · sottospazio Ineare
l'autospazio
autovettore nucleo
li della
vettoriale ed funzione
Se y e e
2 un è
.
Simostrazione fivltvedu
autovalori da
Se dey essendo
l'
↓ cioé del vo vao
sono cui
e f(v
flu v
Se Five d'v + ↓
Nu V
V+
u
u
+ +
2 e = = -
. flav
Secek dav
afv a dv
= =
=
Una matrice detto ?
Comanda diagonalizzabile
può essere
a lin
diagonalizzabile autovettori
che di
abbia ind.
è
può insieme
essere necessario un
non
o ,
Prodotto scalare
Definizione funzione
vettoriale. XR PRODO
dice
sia Art
OSca se :
:
uno si
spazio a un
,
vir
Utviv +
VV
= , uvvvE
+ VV
VVV VV -
=
dur ↓
2
. V
=
V ↓v v
V - VE
V
=
, ·
. .
3 -
VV VE
Vv V
= ,
. funzioni
le IR lineari
naltre applicazioni
pazole Riv sono
- :
ve :
vi .
degenere quando
è viv 0
se 0 VE
non V
-
= = .
. , vettore
positivo
definito del lu
la
. e norma
viv
D
se =
viu o V
u
ve v =
.
Proprieta artogonale det det
Il det matrice A2 I
solo
di det det
ata det at A
può e
essere
una =
=
=
=
. ortogonale
Se ortogonale
A-At
matrice
A è e e
una
2 .
. ABT
ortogonali ortogonale
Ab
A matrici BT
Se +
BT
B AT
AB =
B
AB IB B
è
sono
.
3 e = =
=
=
tra
definizione di
sottospazi vetori
due
artogonalità Ravviene di tutti
vettori
quando +
uno spazio
i sono i
dell'altro -UEV VIVID
spazio -ve
: :
i
Geome ria
Definizione ortogonale punto punto della
intersezione retta
o
di i di
retta il
e
su
a proiezione un a 2
una
passante
zetto-
la per e+
con 2
a
Generiche
Spettrale
Corema positivo
vettoriale scalare definito
Sia prodotto
reale di dimensione
uno un
n
spazio con .
simmetrica
Sia lineare
un'applicazione
Ti .
Ae simmetrica artonormale
Sia matrice associata B
rispetto base
la
/R a una
a :
, costituita autovettori
artonormale di
da
diagonalizzabile base T
· è e una
- .
P"Ap
matrice ortogonale
A diagonale
mediante Portogonale
diagonalizzabile D
· .
sia
è -
una =
Dimostrazione di
autovalore
Sia reale
di un all'autovalore
relativo
autovettore
Sia di i y
vie norma
un dm(w
+
Sia 1
v 1
= -
= .
i
l'applicazione
Consideriamo ineare V
.
Tw :
= .
Sche +
In
Un v T
e eu
-we :
= I
, .
petam
↳ Fate chep
posso e
ore i
di
dim c perché
Definiamo vettore
+ Ogni WaEW
Wa +v
E
v 1-2 è
=
=
z .
.. . loza
troviamo
Dopo nautovettori tra
perpendicolazi
dit di
passi
n Un e
norma
vi ---
.
formano octonormale
la da se diagonalizzabile
richiesta
di autovettori te standard
Una
Definizione matrice scalare
a prodotto
dicedridgo il
e
nir
Ae se conserva :
si Av Ar uvera
e
viv
=
e
.
estema autovettori autovalori
trasformazione relativi
di
lineare
Sia %
agli %---
vi ---
e Ve
una siano i
distinti
tutti indipendenti
tra
Se linearmente
loro
vi--- in vi---
sono sono
Dimostrazione In
vettore ind perché
è
! Fo
un
Vi vi
asso . .
Passo conto che
Sino enendo /
BrBze B 12k
Bar
+ V
vi
: :
2
. o .
v =
=
= .
. / %-
Bak B
B v 0
0
+ =
= .
·i ché essendo
. /i
i
vifo-B B
Bir
B Vo 0
0
o 0 = =
= = -
.
Passo Sano Bue
Br Bu
K Buk
B +
+--- Br
: 0
=
---
. , .
enendo conto Blv--- Br 11-1k
che lui 1kVk
Buk Bak-
div. B
0
: 0
+ +
k + V
= =
---
k .
Poiché Kasonokind e dikto Bizovizd--ke Bato Bazo
: Vo
vit-ay ke
Vi--- . .
. lin Ind
In
V sono .
.. - - - . distinti
nautovalori diagonalizzabile
matrice Ae
Una IR
Corollazio è
con
n "
Simostrazione autovalor formano
Gli distinti di
autovettori relativi base
ind
In
A
agli n
n sono una
quadrata
Definizione matrice
A
Sia una ful to
molteplicità algebrica
di X-1fk
Uno scalare di
dice autovable
y a pali
se .
si n =
Se geometrica
dice
dimensione
autovalore molteplicità
di di
la .
da
y A-1I
è Kez si
un 1
,
molteplicità di
geometrica autovalore
la è
sservazione sempre
un
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