Domande orale A Algebra e geometria

Che cos'è uno spazio vettoriale?

È un insieme V al comp. sul quale sono def. due operazioni: una int. (binaria, la somma) e una esterna (den. il prodotto) che soddisfano 4 proprietà:

1) ∀ k ∈ _x ∀ v,w ∈ V → n ( k v) = n ( k v) 2) ∀ h,k ∈ ∀ v ∈ V → (h+k) v = hv + kv 3) ∀ v ∈ V c,u ∈ V (x+w) = Vn e Wn 4) 0 v = v

(Gli elem. di V sono degli vettori, e k sono scalari.)

Dimo cosa dice la legge dell'annulimanno del prodotto.

D: Nello spazio int la legge met dice che ∀ a ∈ k e ∀ v ∈ V si ha che

α v = 0 ⇔ (α = 0 ∨ v = 0)

Dim.: un sidiomino α: 0 = 0 v = 0 v (0) = 0 v = 0 v sidiominomo (due dx = sx => 0 v 0 v - 0 v = 0 v - 0 v = 0 => 0 v = 0 v = 0 v = 0 v = 0

opp supponiamo che α ≠ 0 ⇒ ∃ x t.q. α v = 0 p: ν => mod: ⇒ perché α* α¹*αcxj = 0. -> ∗ =⇒ (α‘1.α,cj,) v = 0 ∙ α.1 1 ‘v = 0 v = 0 α.‘1 ' => v = 0 ∗1 = 0 v = 0 ' α‘ 1 0∙ α‘ 1 = 0‘.o' => 0 = α‘bo‘x+0 => 0'o‘'a‘ = => V = 0

Che cos'è un sotto spazio vettoriale?

È un sottoinsieme di V e compl le dove lromo def (le due operzioni: una int che in (binaria) e grammica viste rete al qua l’ma molot oll'1.)_, quella ensemble è prodotto (ma subson str stome di 1x (subston o k∈V (=an. ago t))

Teorema: Uno sottoinsiem S è un sottospazio vei: respiffe due umdiizomi:

1. ∀ x,y ∈ ∙ ₁ su ₁ x _⊂ y _⊂ y _⊂ y 2. ∀ x ∈ L j1--j1 x → y _⊂ v w VI _⊂ → ₁ y

Euro Qu'o: se V e 1 m ss y wo l'primo: lo cop crap l V (nuiro e scarpor) ne de S. l. lsuo P / e alotto. re succiro m e uxueve ∈. cos ID: Puoi vos quene our eco serve: che prdsnon alcolo saquia Chre studio Un gruppo chelino di modozov - vs sitercial’un ltra mevs l dei um grupo etolero enhu prix du+l v. pulgarun fu lurb ho en: esistAs: m v

Dimostrazione che una seq. di vettori è legata se e solo se almeno uno dei vettori si può esprimere come comb. lin. dei rimanenti.

Se l'equazione è una comb. lineare dei vettori a coeff. non tutti nulli che mi dà questo nullo:

• a₁ v₁ + a₂ v₂ + ... + a_m v_m = 0

a₁ ≠ 0 è invertibile

• v₁ = a₁^-1 (a₂ v₂ + ... + a_m v_m)

Viceversa

• v₃ = a . v.v.
• v₃ - Σ a_i v_i = 0

e questa è comb. lineare dei vettori a coeff. non nulli, nulla che mi dà l'elemento ∴

Se i simboli degli spunti superiori va dimost.

Dato uno spazio S un generatore di uno spazio vettoriale l'obiettivo è un vettore v_i che dipende linearmente dagli altri elevato è superfluo (toglierei da L gen. quel vettore e comunque forma uno dei generatori)

Quindi noi abbiamo che S è legata

=> ∃ v_i che si può esprimere come comb. lin. dei rimanenti vettori di S

Che consideriamo un vettore W ∈ L(S)

Dunque W posso scrivere come comb. lin. dei vettori di S, posso anche il vettore v_i che si può scrivere come comb. lin. dei vettori dei S e sostituiamo dentro v_i dei vettori da pari W

• ∴ W ∈ L(S - \{v₁\})
• L(S) ⊆ L(S - \{v₁\})
• l'ottimo cond. orche L(S + \{w₁\}) ⊆ L(S)
• => L(S) = L(S - \{v₁\})

Cosa è lo somma di 2 sottospazi?

La somma di 2 sottospazi \( U \) e \( W \) è l'insieme formato da i vettori \( \underline{u} + \underline{w} \) (con \( \underline{u} \in U \) e \( \underline{w} \in W \)) \( U + W = \lbrace \underline{u} + \underline{w}, \underline{u} \in U \wedge \underline{w} \in W \rbrace \)

Lo somma è l’"unione" di un set che cresce lineare \((\underline{u} + \underline{w}) \) (il minimo set che contiene UzZ. (Vettore comune \(\rightarrow U \left( v \right)\))

Cosa è lo somma diretta?

Lo somma è diretta se U \( \cap \) W = {0} e é diretta quando ogni vettore \( v \) \[ elem c \] Δ (esiste in modo unico come somma di un vettore di U e uno di W.)

Quando uno somma è diretta?

C'é un Teorema che mi dice che uno somma di due sottosp. é diretta quando la dimensione di U \(\cup\)W = t S: Dim = = da uno

Lo somma dir. modo UN de un varore S = _U ∪ _W Dimensione \( \equiv \) de lui nulla \( \rightarrow \) Un modo. che mi tornerà una somma che: \( \land \cell{U} \cap \text{``} \mathbb{X} = \{0\} \)

\( \equiv \) \(\displaystyle e \, \exists \; U \wedge \mathbb{X} \in \mathbb{W} \) =\( \equiv \) \( \equiv \) \( 0 \equiv Equiv \cap \text{ \& V} \rightarrow v=\[ x - y \) + | x>| passa toni dell'applicazione dim dell' monumenti. che posso menzion \( \equiv \) \equiv e tutti i duali per insiemi

Boo questo «somma poca» anche acto sotto S mondo puo espremere unico modin U limito \( \rightarrow \) AssinE0 \(\equiv \) λ dove = 0

Viceverx \( \equiv \rightarrow \) U \(\cup \) W. {0} \( \equiv \equiv \equiv \) Somma discria

Considi pur quando che da forma nomina diretta ao exprimere = due mondo dininte \( \equiv\) \( \land S_i; \underline{{}} \mathbb{W} \equiv V \wedge U_i, \mathbb{W}_j \equiv \mathbb{X}\) \\ \(\mathbb{U} \land U, \mathbb{W} \equiv\)