Domande teoriche Geometria e algebra lineare

V e si verifichi che tale somma `e ancora un sottospazio di V .

101. Si dia la definizione di retta e piano paralleli e si determini una condizione

algebrica per stabilire se una retta e un piano sono paralleli.

102. Si scriva la definizione di sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale V

su un campo K e si fornisca un esempio di sottospazio vettoriale di R3 e un

esempio di sottoinsieme di R3 che non sia un sottospazio vettoriale.

103. Si scriva la definizione di determinante di una matrice quadrata di ordine

n e se ne enuncino alcune propriet`a. In particolare si dimostri che se A `e una

matrice quadrata invertibile allora det(A −1 ) = 1 det(A) .

104. Si scriva la definizione di angolo tra due piani e la definizione di piani

perpendicolari in uno spazio euclideo tridimensionale. Si determini una

condizione algebrica per stabilire se due piani sono perpendicolari.

105. Si dia la definizione di base ordinata e di n-pla delle componenti di un

vettore rispetto ad una base ordinata.

106. Si scriva la definizione di autospazio di una matrice quadrata A in M(n, K)

e si dimostri che un autospazio di A `e un sottospazio vettoriale di M(n, 1; K).

107. Si scrivano le definizioni di riferimento affine e di riferimento cartesiano in

uno spazio euclideo.

108. Siano u1, u2, . . ., un, n vettori di uno spazio vettoriale V. Si dimostri che

se m fra essi (1 ≤ m < n) sono linearmente dipendenti allora tutti i vettori dati

sono linearmente dipendenti.

109. Si dia la definizione di prodotto scalare di uno spazio vettoriale reale e se

ne enuncino alcune proprietà.

110. Si mostri come calcolare la distanza di due rette sghembe nello spazio

euclideo reale E 3 (R) mediante un esempio.

111. Si scriva la definizione di matrice invertibile e si dimostri che se una

matrice `e invertibile allora il suo determinante `e diverso da zero.

112. Si scrivano la definizione di angolo tra due piani e la definizione di piani

perpendicolari nello spazio euclideo E3 . Si ricavi una condizione analitica di

perpendicolarit`a tra due piani di E3 .

113. Si scriva la definizione di matrici simili e si dimostri che la relazione di

similitudine `e una relazione di equivalenza.

114. Si scriva la definizione di distanza tra un punto e una retta dello spazio

ordinario e, fissato un riferimento cartesiano, si mostri come calcolarla

mediante un esempio.

115. Si scriva la definizione di sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale V

e si dimostri che l’intersezione di due sottospazi vettoriali di V `e a sua volta un

sottospazio vettoriale di V .

116. Si scriva la definizione di distanza tra due rette parallele dello spazio

ordinario e, fissato un riferimento cartesiano, si mostri come calcolarla

mediante un esempio.

117. Si dia la definizione di base di uno spazio vettoriale e si dimostri che due

basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi.

118. Si dia la definizione di nucleo di un’applicazione lineare f : V 7→ W e si

dimostri che esso `e un sottospazio vettoriale di V .

119. Si scriva e si dimostri la condizione di perperpendicolarit´a tra due piani

in uno spazio euclideo tridimensionale

120. Si dia la definizione di insieme di generatori di uno spazio vettoriale e si

forniscano degli esempi di insiemi di generatori per R4 che non sono basi.

121. Si dia la definizione di matrici simili e si dimostri che matrici simili hanno

gli stessi autovalori.

122. Si diano le definizioni di fascio proprio e di fascio improprio di rette in un

piano affine e se ne forniscano degli esempi.

123. Si scriva la definizione di nucleo di un’applicazione lineare f : V 7→ V 0 e si

dimostri che esso `e un sottospazio vettoriale di V .

124. Si descrivano i diversi modi di rappresentare un piano dello spazio

euclideo fissato un riferimento affine e si scrivano le equazioni dei piani

coordinati.

125. Si scriva la definizione di applicazione lineare, se ne enuncino alcune

propriet´a dimostrandone almeno una.

126. Si stabiliscano le posizioni reciproche di due piani di uno spazio euclideo

e, fissato un riferimento cartesiano, si determinino le relative condizioni

analitiche.

127. Si scriva la definizione di immagine di un’applicazione lineare f : V 7→ V 0

e si dimostri che Immf `e un sottospazio vettoriale di V 0 .

128. Si scrivano le definizioni di rette sghembe, di retta di minima distanza e di

distanza minima tra due rette sghembe. Che relazione intercorre tra la distanza

e la minima distanza tra due rette sghembe?

129. Si dia la definizione di sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale e si

dimostri che l’intersezione di due sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale V

´e a sua volta un sottospazio vettoriale di V.

130. Si diano le definizioni di autovalore, di autovettore e di autospazio di una

matrice quadrata.

131. Si scriva la definizione di prodotto scalare e si dimostri la disuguaglianza

di Schwarz.

132. Si diano le definizioni di base ordinata di uno spazio vettoriale e di n-upla

delle componenti di un vettore rispetto ad una base ordinata di uno spazio

vettoriale n-dimensionale.

133. Si dia la definizione di sistema lineare di Cramer e se ne descriva un

metodo di risoluzione.

134. Si scriva la definizione di distanza di un punto da una retta nel piano

euclideo e si ricavi una formula che consenta di calcolarla.

135. Si scriva la definizione di matrice invertibile e si descriva un metodo per

calcolare la matrice inversa di una matrice invertibile mediante un esempio.

136. Si dia la definizione di sottospazi affini paralleli e si si stabilisca la

condizione analitica di parallelismo tra due rette in un piano affine.

137. Si dia la definizione di base ortonormale di uno spazio vettoriale euclideo

reale e si illustri il procedimento di ortonormalizzazione di Gram–Schmidt.

138. Si dia la definizione di matrici simili e si dimostri che la relazione di

similitudine nell’insieme delle matrici R2,2 `e di equivalenza.

139. Si dia la definizione di spazio affine e se ne fornisca qualche esempio.

140. Si dia la definizione di sfera di uno spazio euclideo tridimensionale e si

determini l’equazione cartesiana di una sfera di cui sono noti il centro e il

raggio.

141. Si dia la definizione di vettori linearmente dipendenti e se ne enuncino

alcune propriet`a.

142. Si scriva la definizione di applicazione lineare e se ne enuncino alcune

propriet`a.

143. Si scrivano le formule di trasformazione delle coordinate in un

cambiamento di riferimento di un piano affine.

144. Si dia la definizione di prodotto righe per colonne tra matrici e se enunci

qualche propriet`.

145. Si dimostri che in uno spazio vettoriale euclideo reale n vettori non nulli e

a due a due ortogonali sono linearmente indipendenti.

146. Si scrivano le diverse rappresentazioni di un piano in uno spazio affine

tridimensionale.

147. Si scriva la definizione di matrici simili. Si dimostri che se due matrici

sono simili allora hanno lo stesso polinomio caratteristico. Vale anche il

viceversa?

148. Si scrivano le definizioni di fascio proprio ed improprio di rette di un piano

e di fascio proprio e improprio di piani dello spazio ordinario; se ne enuncino

alcune propriet`a.

149. Si scrivano le definizioni di autovalore, di autovettore e di autospazio di

una matrice quadrata e se ne enuncino alcune propriet`a dimostrandone

almeno una.

150. Si scrivano le possibili posizioni reciproche di una retta e di un piano dello

spazio euclideo e si ricavino le relative condizioni analitiche.

151. Si definisca l’insieme dei vettori liberi dello spazio ordinario. Si mostri

come tale insieme si possa munire della struttura di spazio vettoriale sul campo

dei reali.

152. Si scrivano le possibili posizioni reciproche di due rette del piano ordinario

e si ricavino le relative condizioni analitiche.

153. Si scriva la definizione di nucleo di un’applicazione lineare e si dimostri

che un’applicazione lineare `e iniettiva se e solo se il suo nucleo consiste del

solo vettore nullo.

154. Si scrivano le definizioni di riferimento affine e di coordinate affini di un

punto dello spazio ordinario E3. Si scrivano i diversi modi di rappresentare una

retta di E3.

155. Si enunci e si dimostri il teorema della base.

156. Si enuncino le principali propriet`a dei determinanti ed in particolare i due

Teoremi di Laplace. Se ne forniscano esempi.

157. Si descrivano i diversi modi di rappresentare un piano in uno spazio affine

tridimensionale.

158. Si dia la definizione di spazio vettoriale su un campo K e se ne enuncino

alcune propriet`a.

159. Si dia la definizione di determinante di una matrice quadrata e se ne

enuncino alcune propriet`a.

160. Si dia la definizione di campo e se ne forniscano alcuni esempi.

161. Si dia la definizione di rango di una matrice e se ne enuncino alcune

propriet`a.

162. Si dia la definizione di matrice invertibile e si descriva un modo di

calcolarla mediante un esempio.

163. Si dia la definizione di relazione d’ordine e se ne fornisca qualche

esempio.

164. Si scriva la definizione di distanza tra un punto e un piano dello spazio

Euclideo e si ricavi una formula per calcolare tale distanza. (2024)

165. Si scriva la definizione di relazione di similitudine e si dimostri che la

relazione di similitudine tra matrici `e una relazione di equivalenza. (2024)

166. Si scrivano le diverse posizioni reciproche di due piani nello spazio

Euclideo e si ricavi una condizione analitica di parallelismo tra due piani. (2024)

167. Si scriva la definizione di sottaspazio vettoriale di uno spazio vettoriale V

e si dimostri che l’intersezione di due sottospazi vettoriali di V `e a sua volta un

sottospazio vettoriale di V. Vale lo stesso per l’unione di due sottospazi vettoriali

di V? (2024)

168. Si scrivano le diverse posizioni reciproche tra una retta e un piano nello

spazio Euclideo e si ricavi una condizione analitica di parallelismo tra una retta e

un piano. (2024)

169. Si scriva la definizione di autospazio di una matrice quadrata e si dimostri

una propriet´a dell’intersezione di due autospazi relativi a due distinti

autovalori. (2024)

170. Si scrivano le definizioni di applicazione lineare e di nucleo di

un’applicazione lineare. Si dimostri che se f : V 7→ V 0 `e un’applicazione

lineare allora f `e iniettiva se e solo se il nucleo Kerf `e ridotto al vettore nullo.

(2023)

171. Si scrivano la definizione di angolo tra due piani e la definizione di piani

perpendicolari nello spazio euclideo E3. Si ricavi una condizione analitica di

perpendicolarit´a tra due piani di E3. (2023)

172. Si scrivano le definizioni di applicazione lineare e di nucleo di

un’applicazione lineare. Si dimostri che se f : V 7→ V 0 `e un’applicazione

lineare allora il nucleo Kerf ´e un sottospazio vettoriale di V . (2023)

173. Si scrivano la definizione di angolo tra una retta e un piano e la

definizione di retta e piano