Come svolgere gli esercizi della prova di esame di Matematica II

Equazioni differenziali

• Del primo ordine:

y'(x) = a(x)y(x) + b(x) (se non è in questa forma, portarla)

1. Trovare A(x) = ∫ a(x)
2. y(x) sarà: y(x) = e^A(x) ∫ e^-A(x) b(x)dx
3. Risolverlo
• Del secondo ordine:

ay'' + by' + cy = f(x)

Se f(x)=0 l'equazione differenziale è detta omogenea altrimenti non omogenea

• Caso omogenea
1. Scrivere P(λ) equazione caratteristica e trovare le radici/soluzioni (P(λ) = 0).

Si possono verificare i seguenti casi:

• a) Radici reali e distinte: L'integrale generale sarà del tipo

y₀(x) = c₁e^λ₁(x) + c₂ e^λ₂(x) +…+ c_ne^λ_n(x)

• b) Radici reali e multiple: L'integrale generale sarà del tipo

y₀(x) = c₁ e^λ₁(x) + c₂ x e^λ₂(x) +…+ c_n x^n-1 e^λ_n(x)

• c) Radici complesse: L'integrale generale sarà del tipo

y₀(x) = e^αx [c₁ cos βx + c₂ sin βx]

2. Scrivere la y₀(x)

NOTA: nelle omogenee la y₀(x) è proprio la y(x)

• Caso non omogenea: Metodo Coeff. Costanti
1. Come la omogenea fino al passo 2. (Nelle omogenee chiameremo y₀(x): integrale generale dell’equazione omogenea associata)
2. Poiché y(x) = y₀(x) + y_p(x) dobbiamo calcolarci l’integrale particolare. Esaminiamo la f_x:

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