Vibrazioni, sistema vibrante - Guida

Premesse

VibrodinamolleF_v(t) = (m_g ⋅ e ⋅ Ω²) ⋅ sin Ωt

Eq. di Lagrange

d/dt (∂T/∂q̇_i) + (∂V/∂q_i) = ∂W/∂q_i [i = 1 ..... n]

Equazioni di moto

T = 1/2 J₀ ̇₁² + 1/2 J₀ ̇₂² + 1/2 M (̇_M)² = 1/2 J₅₄ E₁ ̇₂² + 1/2 M (̇_M)²

Componenti dinamiche

ASTA = 1/2 J₀ ̇₂² + J₀ = J₀ ̇₂² + m₂ ⋅ d²

RULLO = 1/2 J₅₄ E₁ ̇₂² = J₅₄ = 3² ⋅ m ⋅ R²

D = 1/2 c (Ẋ_A - Ẋ_B)²

V = 1/2 (_A - Y/4)² + 1/2 _T (₂)²

∂W = c(t) ̇₁ + F_v(t) X_M + F(t) (X_B)

Parametri lagrangiani

• X_A = L ⋅ = q₁
• q₂ = q₁ - ₂
• ASIA 1, ASTA 2, RULLO
• X_G3 = r ⋅ ₃ = q₂
• ₃ = q₂/r

Sostituo le variabili lagrangiane

Sostituo tutte le voci delle variabili del sistema in T, D, V. Var affinito ot. Fove le derucli primi: del sistema

Derivazioni per i = 1

• q₁ d/dt (∂T/∂q̇₁) = m₂₂ q̇₂
• ∂D/∂q₂ = 1/2 c (q₂ - q₂)²
• ∂V/∂q₂ = k₂₂ q₂ + k₂₂ q₂ + Y_(t) (u)
• ∂W/∂q₂ = F_v(t) _Θ + c(1) (v)

Premesse

Eq. di Lagrange

d/dt(∂T/∂q_i) - (∂T/∂q_{i>) + (∂V/∂qi) = ∂W/∂qi   [i = 1....n]}

T = 1/2 J₀ θ₁² + 1/2 J₀ θ̇₁² + 1/2 M ̇ ² = 1/2 J_{521 θ1² + 1/2 M ̇ ²}

D = 1/2 c(χ_A - χ_B)²

V = 1/2 V_K χ_A² + 1/2 V_K θ₁²

∂W = c(t) Sθ₁ + F_M(t) Sχ_M + F(t) S(x_B)

Parametri lagrangiani

• χ_A = L·θ = q₁
• θ = q₂/r

Sostituendo le variabili lagrangiane

Sostituire tutti i valori delle variabili del sistema in T, D, V per ai fini del trovare le soluzioni finali del sistema

Deriviamo per i=1

• q₁ d/dt(∂T/∂q₁) = m₃₃ q̇_i
• (∂D/∂q₁) = 1/2 c (q₂ - q₁)²
• (∂V/∂q₁) = k₂₂ q₁ + k₂₂ q₂ + γ(ϕ)(u)
• (∂W/∂q₁) = F_V(t) Sθ + c(ϕ)/r

Deriviamo per i=2 (q₂)

• d/dt(∂T/∂q_i) = m₂₂ q̇_i
• (∂D/∂q₂) = 1/2 c (q₂ - q₁)²
• (∂V/∂q₂) = k₂₂ q₁ + k₂₂ q₂ + γ(ϕ)(u)
• (∂W/∂q₂) = F_V(t) Sθ + c(ϕ)/r

Sistema

ω⁴ (m₁₁ m₂₂) + ω² (-m₁₁ k₂₂ - m₂₂ k₁₁) - (k₁₂)² = 0

  α  βα ω⁴ + β ω² + c = 0 =>  => ω₁ = μ(ω₁)  => ω₂ = μ(ω₂)

M₂ (ω₁) = _{Q2 (ω1)}/^{Q₁ (ω₁)} = _-m12 / ^{k₁₁ - m₁₁ ω2}

M₂ (ω₂) = _{Q2 (ω2)}/^{Q₁ (ω₂)} = _-m12 /^{-m₂₂ ω2 + k₂₂}

{q₁ g₁ = Q₁ (ω₁) sin(ω₁ t) + Q₁ (ω₂) sin(ω₂ t)

{q₂ g₂ = Q₂ (ω₁) sin(ω₁ t) + Q₂ (ω₂) sin(ω₂ t)