Meccanica delle vibrazioni - Lezioni

Lezione 1: 30/03

Altro polo il poliume invi desacallo di quello comuijtio

x = Rϕ .: eq cinematica Lenicea: 2GDL Attivuce: 2GDL (applicato alle masee) Fiume: 1GDL

Qwesto prescune ad un GDL lefuroco per una coordonota de derirve il GDL x e ϕ Bloccando, GDL ruffico qualcui sovri

Eq. du muoto: oone vouia nel tempu lo coordimoto Eq dei nulcto ottenuto doli analrisi duniamca

∑Ha = 0 . Ho - mgR + J_o + mxR = 0 I segni delle ineirnatione detto coedrdinato

Nelte eq di muoto non, compiarono force vincitione tavte eg di nuoto quattro solo GDL2

(J_o + mR²)*α = mgR - Ho .: eq de muoto

Per i nostroi non linearu va ne di vari doffoli affetti

Dinamica diretta

Dato le forze, qual è il movimento da fare. E.g. differenziale

Dinamica inversa

Noto il movimento, calcolare le forze. E.g. algebrica

J₀, H₀

f ↓

c = ae^iα + be^iβ - leg. di chiusura

• c = a cosαx + b cosβ
• 0 = a sinα + b sinβ

ċ = -a sinαẋ - bβ̇ẋ β

0 = a cosαẋ + b cosββ̇

c = α (ασ̇) + 1₀ a = Δc (α̇) α

Teorema dell'energia cinetica

∑W - d/dt (T_c)

I metodi energetici

Permettono di scrivere le equazioni più facilmente

H₀ẋ + F(t)ẋ = d/dt (1/2 mẋẋ) + 1/2 ẋ 0 ẋ

H₀ẋ - F(t) Δc (α) = d/dt [1/2 mẋ(ẋ)² - d/dt [1/2 0(ẋẋ)

α (x) = α (x) + 1₀ a α (x) + 1₂ α (x), dx/dt : velocità interna

Questa non è un'equazione lineare

Usando le N DOF i variabili leggi di lagrange tante quante sono anche, facile anche da implementare

d/dt (dL/dq̇) - dL/dq + dV/dq = F_qi

q̇ è la variabile indipendente.

Fatta evidente

F_Qi: accelerazione). Componente lagrangiaria delle forze esterne

V: forze potenziali conservative che assumettano un potenziale, energia potenziale

T_c = 1/2 (α (x) ẋ); ΔV = V - 0

dL = H₀ẋ + F(t) ẋ = d/dt [1/2 mẋ(ẋ)² + 1/2ẋ(m ẋ̇)ẋ dx/dt : ẋ

l'energia potenziale

dV_i = ∑_i=1^s K_Ri ∆ L_Ri (q) = ∆ L_Ri (q)

∂V/∂q_j = ∑_i=1^wR ρ K_Ri q_j q_j

dL = ∑_j=1^s q_j f_j - 1/2 ∑_i=1^s (a(q)q˙)

dT/dt ∂Vc/∂q_j ∂q/dq˙ ∂q/dV = q_j

dL = ∑_f=1 q_j f_j − 1/2 ∑_s=i^w (a(q)q˙)

dT = q(q)q˙ q + 1/q (a(q)˙² + a(q)q˙)

Q_i = ∑_f=s^w R ∑_F=f q_i(t,q˙,q)

d = q(q)q˙ q

per la funzione impattiva

V = V(θ₀) + 1/2 (k_t + mglcosθ₀) (θ - θ₀)²

E = 1/2 ml² θ̇²

eq di moto linearizzate

mlθ̈ + (k_t + mglcosθ₀) (θ - θ₀) = 0

cambio di variabile δ = θ - θ₀

mlδ̈ + (k_t + mglcosθ₀) δ = 0

V_s = V₀ + V_g

V_g = 1/2 kΔE²

l₀ la lunghezza quando molla scarica

Δl₀: allungamento molla in equilibrio

statico

Δl_i: allungamento relativo alle posizioni

di equilibrio statico

Δl

Δl: allungamento molla che deve essere vincolato

nello V_s

1/2 K(Δl₀ + Δl_i + Δl)² = 1/2 K(Δl₀ + Δl(q))²

∂V_κ/∂q = K(Δl₀ + Δl(q)) / q_q - KΔl(q) / q

∂²V_κ/∂q = K∂Δl(q)/∂q

q = KΔl_ε/q^q / q₀

∂²Δl(q)/∂q

(sotto e lungo q) = KΔl(q)

∂²V_κ/∂q₉ = KΔl_φ / q^q / q

+ K(∂Δl(q)/∂φ / q₉ = 0)

+ K(∂Δl(q)/q) / ∂q₉)

Δl

K(sotto e lungo q)

// giudizio equivalente

della molla

KΔl_θ = il percarico delle molle

te il aΔ lineare in q allora eq2R

ne puoi considerare q percarico

K(q∂l(q)/q) q=g₀ = la rigidezza delle molle

V_g = mglq(g₉)

ha: sincolamento del baricentro

∂V_g/∂p = mglq(g)/∂q)

serve per definire la posizione di

equilibrio statico

∂²V_g/∂q₉[...]

q⁹=0

+ mg (∂Δl(q)/q)

// se questo fenomeno se ha non è

funzione lineare di g

∂²V/∂q = KΔl

+ (∂Δl(l(q))

q:q + K∂Δl(9))

questa è la rigidezza del sistema

E ho qui qui non i comodo usare la sommatoria,

scrivo il leg. di moto attraverso una relazione matriciale:.

Vediamo prima per un GDL

_T

_T

_{T myo}

_T

_[Hsc]

| . | . . . | . |}

| K_sc 0 0 |

| . | . . . | . |}

| . | . . [K_t] | L

quindi

_Vs

49

_s

.

[ y ]

. | mise | . | π

F | []

32

_w {

uμX'' + fμX' + kX = F₀ KC = T₀ C = poiché 2ΩΞ quindi

Kc = T₀ cioè C = √k · X_statica

H(Ω)FO = T₀ KC = X_st

valore che ha stancamente(prima fa un andamento stanco). La forza/c/elastico governa l'equilibrio e quindi smorzala molla - deve agire sull'oscillazione dellamolla.

Regime quasi statico

(II) ≧ ≈\ | cose | Ω ≈ Ω₀;|H(Ω)| ≈ 1 ------ e φ ≈ 180°;

2Ξk

per non avere amplificazione devo diminuire fo però le code più alte

|Xp| = 1/|H(Ω)|fo = fo/k -= Xs_COUNO=2 =

le |o S non ho amplificazioni dinamiche, soloamente h e di qualche gli impom aumentano solo può portatio a soluzioni la pesante.

(III) Non [synsographyca;] | cose | ≈ Ω//Ω

|H(Ω)| ≈ 1/fo, 0°,_Lopposta delluvione;

e in controfosc.la volanto che fonna unольtare ho un numeri dell'occcionamento