Meccanica delle vibrazioni - Appunti

MECCANICA DELLE VIBRAZIONI

08/03/2010

prerequisito del corso svolto nel corso di meccanica app. 1

• dynamics of vibrating linear systems

dissipazione può essere smorzamento coulombiano (per attriti interni del materiale oppure dovuto a contatto con un carico). (determina una perdita di energia)

• smorzatore viscoso è un modello da separazione lineare per esempio con un smorzatore lineare tradizionale il flusso è viscoso (tale modello prevede la proporzionalità lineare della forza di attrito che non dipende dal segno spostamenti quindi utile per descrivere i fenomeni lineari) definzione della velocità il quadrato della velocità

come detto esistono altri tipi di smorzatore quello coulombiano e quello isteretico

• smorzatore coulombiano tipico della modellazione delle strutture in sistemi vibratori rigide c’è la modellazione della discontinuità legato alla dinamica verticale per ottenere piccoli disponete (in cui è permesso l’attraversamento del corpo)
• smorzatore isteretico dovuto ai punti di contatto nello slip interno dei materiali
• lo smorzatore coulombiano è quello isteretico dato che sono difficile da trattare nei modelli stati dinamici sostituiti con uno smorzatore lineare equivalente

• spostamenti di vincolo è proporzionale ad una forza esterna la parte di uno smorzatore tanto che interessa puramente imposizione vincolamento di separazione numeriche

• sistemi non lineari si tratta in questo corso la parte zero di esistenza non lineare non si può più classichannel

(1) Tra l’elica e la montella del massellissimo c'è del biullo. Costruite un corpo rigido. Tale corpo è composto di molte parti dell’interno (d’otturino e d’elimentici) condendola solo a quelle accolte delle vibrazioni, non della cinematico dell’ intonmo.

corpo rigido ➔ è una semplificatura; alcune volte può andare bene, altre no;

coordinate fisiche:

coordinate lagrangeane

• quelle proprie dei cin- fali elimenti dell’ intonno
• quelle riportate a tutto il sistema meccanico

N gradi ➔ un progressò da 1 a 2 a N gradi dell’intonno binario

nota ➔ se il/intonno è presente nelle sue proiezioni degli effetti

coordinate principali ➔ promontorio di direzione per l’inton- no a due o più gradi; (es. immobile)

forzanti esterne ➔ dinamiche dislance leopole e provectori --> proma andalismo esempio/portoni: nel resnome in un campo di forze)

corpo deformabile ➔ La modellazione a corpi deformabili tende vibrazioni intamno in rilamni vibrolato

Scopo e obiettivi del corso:

scopo ➔ espletare l’ordinio dinamico del intestemi mec- tonici

• due settori ➔ elementi in portano di grelci (instintive) sistemi in movimento
• analisi di tipo dinamico

struttura ➔ puo oscillare rispetto alla propria posizio- nod di equilibrio statico: riguarda cont- tenrina contintua di engola; fontarbole blindoca a sletto a portatutebule ottlatro analisi ad unun- alvulto delle mololisripori storaro alle pen- ditioni di equilibrio

macchina ➔ movimento e statuito dinamico del movi- notto

➔ condizioni di equilibrio storaro alle quale trasformo l’equilibrio: le cordi tutto di sconni --> il statuto come uno nodo

per un sistema libero non smorzato l'equazione del moto è

l'equazione differenziale omogenea del 2^o ordine a coefficienti costanti

la soluzione di tale equazione è:

sostituendo nell'equazione del moto:

altrimenti si hanno solo soluzioni banali

la soluzione quindi è una combinazione lineare del seguente tipo:

X(t) = X₁ e^iωt + X₂ e^-iωt

e formata dalla somma di due rotori contrastanti la cui somma deve essere parallela alla direzione dell'asse t. Per fare ciò questo accade cioè che deve per forza |X₁| = |X₂|.

X₁ e X₂ sono a loro volta dei numeri complessi

per ricavarli si devono imporre delle condizioni al contorno

(condizioni iniziali del moto):

(0) = X₀ (0) = X₀

condizioni iniziali

X(0) = X₀ (0) = X₀

sostituendo le condizioni al contorno per la soluzione e la sua derivata

La soluzione quindi è:

X(t) = C₁ e^{(-δ + √δ2-1)ω_c} + C₂ e^{(-δ - √δ2-1)ω_c} =

= e^-δω_ct [ C₁ e^{√δ2-1 ω_ct} + C₂ e^{-√δ2-1 ω_ct} ]

C₁ e C₂ sono dati poiché l'equazione del moto è in funzione non delle costanti, completa la soluzione con le condizioni al contorno:

reali Δ > 0 (δ > 1, V > V_c)

coincidenti Δ = 0 (δ = 1, V = V_c)

così complesso coniugato Δ < 0 (δ < 1, V < V_c)

Ci si focalizza sul terzo caso che è quello in cui si formano delle oscillazioni.

• sistema sotto-smorzato (terzo caso)

λ_1,2 = (1 - δ ± i√1-δ²) ω

X(t) = e^-δω_ct [ C₁ e^{i√1-δ2 ω_ct} + C₂ e^{-i√1-δ2 ω_ct} ]

√1-δ² ω = ω_d = pulsazione del sistema smorzato

ω_d < ω sempre!

se δ << 1 ω_d ≅ ω

sistema non smorzato sistema smorzato

T = 2π / ω T_d = 2π / ω_d

ω > ω_d ⇒ T_d > T

(T_d > T)

1 Cw1 = Jo Θ̇

X = Θ 2R + per le conversioni di segno

Θ = X/zR

Θ̇ = Ẋ/zR

Cw = Ẋ/zR Jo

1Fu1 = k₂ DL₂ = k₂ (DL_2dn + DL_oz)

DL₂ = -X/zR + DL₂₀ = -X/2 + DL_oz

(parlare se X > 0 k₂ si accorcia)

per non introdurre le reazioni vincolari nelle equazioni di equilibr.

libero scrivere il momento rispetto il centro del disco

∑M_o = 0 = k₂ (-X/2 + DL_oz) R - T zR - Jo Θ̇ = 0

sostiituendo la T si ottiene l’equazione del moto:

k₂ (-X/2 + DL_oz) R - 2R (-F(t) + mj d_n (X + DL_oz) +

+ m_z Ẍ + V Ẋ ) - Jo Ẋ/zR = 0

- (2Rm_z + Jo/zR) Ẍ - zRV Ẋ - (k₂ R/2 + zU_n R) X +

+ k₂ RDL_oz - zRk DL_oz1 - zRmj d_n = - F(t) zR

Ricerca della posizione di equilibrio statico:

L= Ẍ = Ẋ = 0

T - m_zg - k_n DL_os1 = 0

Dati Numerici

m_z = 10 μp

f_o = 1 μp/m²

R = 0,05 m

U₁ = 1000 N/m

U₂ = 500 N/m

V = 50 N/m/m

m* = 110 μp

K* = 1,125 N/m/m

W_o = 3,4720 d/s

f_o = W_o/2π = 0,51 Hz

x(t) = X₆(t) = x₁ e^λ₁t + x₂ e^λ₂t

x(t) = A cos (W_ot) + B sen (W_ot)

x(t) = |X| cos (W_ot + φ)

L_o x(t) = X e^λc

λ² + V^*/m* λ + K^*/m* = 0

λ_1,2 = - V^*/2m* ± √((V^*/2m*)² - W_o²)

r_c = V/2m* W_o

l = V/V_c