Vibrazioni torsionali

B

posizione del baricentro della biella. Pertanto

m m m

 

P B

m l m l .



P P B B m m

Le due equazioni scritte sono sufficienti a calcolare e :

P B

l l

B B

m m m

 

p l l l



P B

l l

P P

m m m .

 

B l l l



P B

Poichè la condizione di conservazione della massa e del baricentro della massa

m m

determina e in modo univoco, per garantire un comportamento dinamico del

P B

sistema equivalente è necessario conservare anche il momento d'inerzia baricentrico

I della biella. Ciò può essere ottenuto soltanto introducendo un momento d'inerzia

G I

correttivo nel sistema equivalente:

0 2 2

I m l m l I .

  

G P B 0

P B I

Tale inerzia pura correttiva avrà segno negativo poiché il momento d'inerzia della

G

biella sarà minore di quello che si ottiene concentrando le masse sul pistone e sul

bottone di manovella.

Determinazione del momento d’Inerzia equivalente

Al termine del processo di riduzione si localizzeranno sul pistone tutte le masse alterne:

m m m m m

   

a pistone spinotto segmenti P

mentre sul bottone di manovella tutte quelle rotanti:

I manovella

m m

 

r B

2

r

dove il momento d'inerzia della manovella, riferito all'asse di rotazione del motore,

comprende i contributi di maschette, perni di banco e bottone di manovella. Alla biella si

I d

attribuirà unicamente il momento d'inerzia correttivo . Per piccole oscillazioni

0

dell'angolo di manovella, indicando con il momento d'inerzia equivalente del

I

manovellismo, per la conservazione dell'energia cinetica, potremo scrivere:

2

d

2 2 2

d d dx

1 1 1 1

I m r I m

  

r 0 a

2 2 2 2

dt dt dt dt

2

d 2

dx

2

I m r I m

  

r 0 a

d d

Ricordando le relazioni geometriche per il manovellismo di spinta:

r sin l sin

  

 

x r l r cos l cos

   

cos :



Dalla prima relazione è possibile ottenere

2

r sin  2



1 cos

 

l 2

r sin 



cos 1

  l

Differenziando la prima relazione si ottiene:

d

r cos l cos d

d   d

d r cos cos

r

 

 

d l cos l

 2

r



1 sin 

l

Differenziando la seconda si ottiene: d

dx r sin l sin

    

d d

d

r sin 1

   

d cos

r 

r sin 1

   l 2

r



1 sin 

l

Sostituendo nell'espressione dell'inerzia equivalente si ottiene una funzione della sola

. 2

2  

   

 

r cos r cos

 

   

 

 

   

2

I m r I m r sin 1

 

   

   

r 0 a

l l

 

2 2

 

1 sin 1 sin

r r

   

 

l l

L’inerzia equivalente è quindi una funzione dell’angolo di manovella. Pertanto non si

avranno frequenze proprie discrete, ma campi di frequenze proprie. Se si intende

calcolare il valore medio della pulsazione propria sarà necessario introdurre un valore

medio dell’inerzia equivalente corrispondente alla media armonica:



1 1 d



2



  

I 2 I ( )

0

Determinazione delle rigidezze torsionali equivalenti dell'albero a gomiti

Per determinare la rigidezza torsionale equivalente del tronco che collega due volani si

considera un tronco con diametri esterno ed interno pari a quelli del perno di banco e di

lunghezza equivalente tale da fornire la stessa rigidezza torsionale.

M

Applicando un momento torcente ad una estremità del tronco, la rotazione relativa

complessiva si otterrà sommando i contributi dei perni di banco, del bottone di

manovella e delle maschette.

Contributo perni di banco: M M M

2c

   

1 k 

GJ 4 4

D 



G d

1

1 32

2c

Contributo del bottone di manovella 4 4

D 

 d

M M M M

a a

    

2 k  

GJ 4 4

D  D  D 

4 4 4 4

  

G d d G d

2

2 32 32

a

Contributo delle maschette

r 2 2



d M dr d

1 M r 24Mr

2

    

3 EJ

2

dM dM 1 3

3 bs

Ebs

0 m 12

4 4 4 4

 

3r G 3r

M D d M D d

  

E 81

 

4 4 3 3 4 4 3

D  D 

   

G d 4bs bs G d bs

32 32

4 4



D d M

0. 906r

 

3 4 4

D 



bs G d

32

Sommando i contributi deformativi, si ottiene:

M M

L

      

1 2 3 eq 

GJ 4 4

D 



G d

1 32

L eq

da cui 4 4

D 

 d 4 4



D d

L 2c a 0. 906r

  

eq 3

D 



4 4

d bs

Questa formula ottenuta teoricamente è stata integrata in modo da essere più aderente

ai risultati sperimentali. d'

D'

D d b 2c a

L c'

a/2 D'

d'

D r

d

b c b a b c s

a/2 b 2c

La formula di Carter, che risulta essere una delle più semplici, introduce alcuni contributi

correttivi: 4 4 4 4

 

D d D d

3 3

L 2c 0. 8b a r

   

eq 4 2 3



4 4

D d bs

Il contributo alla lunghezza equivalente tiene conto del non perfetto incastro

0.8b

rappresentato dalle maschette per i perni di banco e il bottone di manovella, mentre gli

altri coefficienti sono introdotti in modo empirico e consentono di avere una migliore

rispondenza ai risultati della sperimentazione.

Riduzione a sistema torsionale equivalente

La riduzione di una qualsiasi trasmissione rigida a volano equivalente viene effettuata

utilizzando due tipi di riduzione di base di volani in parallelo ed in serie.

Volani in parallelo 2

2   

 



k k

  

1 1 2 2 1

2

  2  2  2

I I I

    

1 1 1 1 2 2 2

 

2  



k k

  

2 1

1 1 2

2

   

2 2

I I

  

1 1 2 2

Ponendo  

 

1 2

  

 

1 2 2

2 2

  



k k

   

1 2 1

1 2

2

  2 2 2

2 2

 

I I I

      

1 1 1 1 2 2

Si ha  

k k



1 1

 2



k k

 

2 2

 2



I I I

  

1

1 1

 2



I I

 

2 2

Volani in serie

Si ha: 2

k 

1 1

2

  2



I  1 2

2  



k k

  

1 2 2 1

1

2

  2 2

I I

  

1 2

1 2

La seconda uguaglianza può essere riorganizzata come segue:

2

2 2 2

2 I   

 

I k k

      

1 2 2 2 1 1

1 2 1

2

 



k 

2 2 1

2 2 2

2 

I I k

     

1 2 1

1 2 1

2



Dall'uguaglianza 2 2

k k

 

1 1

1 1

2

  

2 2



2 2 I

2

  

 

I I k /

   

1 2 2 2 1 1

1 2

si ottiene: 2 2

 

k  

2 2 2 1

 

I I I

 

1 2 

2 2



 1

1 

k  

  I 0

  

L'equilibrio dinamico del secondo volano porta a scrivere

2 2 1 2 2

2

 



k I

   

2 2 1 2 2

da cui k 

2 2

I

 2 

 

2

 2 1

 1

2 

 I 2



1 

2

1 k 2

2 2

 

  

2 2 2 1

 

I I I I

 

1 2 2 

  

2

 2 1 1

1 2  



 

 2 2 1

2 

I I

  

1 2 2 2

 

1 1 I

 2 2

I I I

   

1 2 1

 I 2



1 

2

1 k 2

Analisi del momento motore  

2

F x

  

M dt m x dt I dt m r dt

   

     

r m g a 0 r

 

2

F x

  

M m x I m r

   

      

r m g a 0 r 



x x

  

2

  

M F m x I m r

 

  

r g a 0 r

  

m m m

M M

 

g i

Nel caso di velocità costante 



x x

 

 

M F m x I

 

 

m g a 0

  

m m m

Il momento motore potrà essere scomposto in armoniche. La pulsazione fondamentale



 potrà essere calcolata imponendo che periodo del momento motore si esplichi in

T

due rotazioni per il 4 tempi o in una rotazione per il due tempi:

T 4 per il 4 tempi

 

m T 2 per il 2 tempi

 

m

da cui 

2 m

 per il 4 tempi

  

T 2

 per il 2 tempi

   m

La scomposizione in armoniche sarà:  

M A A cos t A cos 2 t . .

    .

m 0 1 2

 

B sin t B sin 2 t . .

   .

1 2

dove 2



1 

A M d t



0 m

2 0

2



1  

A M cosk td t



k m

 0

2



1  

B M sink td t



k m

 0

o, in modo equivalente:    

   

 

     

M A C sin t C sin 2 t ...

m 0 1 1 2 2

B



  

2 2 k

C A B ; tan

k k k k A

k

Diagramma di Campbell

Il