Valore assoluto: definizione e proprietà; disuguaglianza triangolare

Valore assoluto

Per ogni x ∈ ℝ, il valore assoluto di x, indicato con il simbolo |x| è definito da:

|x| = {
x se x > 0
0 se x = 0
-x se x < 0
}

Proprietà del valore assoluto

Le seguenti proprietà sono diretta conseguenza della definizione di valore assoluto.

1. |x| > 0 ∀ x ∈ ℝ
2. |x| = 0 ⟺ x = 0
3. |x| = |-x| ∀ x ∈ ℝ
4. |x₁ · x₂| = |x₁| · |x₂| ∀ x₁, x₂ ∈ ℝ
5. |x₁ / x₂| = |x₁| / |x₂| ∀ x₁, x₂ ∈ ℝ, x₂ ≠ 0

Dimostriamo la (1). Se x > 0 allora |x| = x e quindi in questo caso |x| ≥ 0. Se x < 0 allora |x| = -x e quindi, essendo -x > 0 risulta |x| > 0. In definitiva, |x| ≥ 0 per ogni x ∈ ℝ.

Per la (3). Se x > 0 allora |x| = x e |-x| = -(-x) perciò |x| = |-x|. Se x < 0 risulta |x| = -x e |-x| = -x essendo -x > 0; anche in questo caso |x| = |-x|.

Le (4), (5) sono diretta conseguenza della "regola dei segni".

Proprietà del valore assoluto

Per ogni x ∈ ℝ, il valore assoluto di x, indicato con il simbolo |x| è definito da:

|x| = {
x se x > 0;
0 se x = 0;
-x se x
}

Proprietà del valore assoluto

Le seguenti proprietà sono diretta conseguenza della definizione di valore assoluto.

1. |x| ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ
2. |x| = 0 ⇔ x = 0
3. |-x| = |x| ∀ x ∈ ℝ
4. |x₁ · x₂| = |x₁| · |x₂| ∀ x₁, x₂ ∈ ℝ
5. |x₁ / x₂| = |x₁| / |x₂| ∀ x₁, x₂ ∈ ℝ, x₂ ≠ 0

Dimostriamo la (1). Se x ≥ 0 allora |x| = x e quindi in questo caso |x| ≥ 0. Se x < 0, risulta |x| > 0. In definitiva, |x| ≥ 0 per ogni x ∈ ℝ.

Per la (3), se x > 0 allora (|x| = x e |-x| = -(-x) perciò |x| = |-x|). Se x < 0; anche in questo caso |x| = |-x|.

Le (4), (5) sono diretta conseguenza della «regola dei segni».

Proposizione

Per ogni numero reale r ≥ 0 valgono le seguenti equivalenze:

1. |x| ≤ r ⇔ -r ≤ x ≤ r
2. |x| ≥ r ⇔ x ≤ -r ∨ x ≥ r

Dunque, proviamo prima (6). In base alla definizione di valore assoluto, la relazione |x| ≤ r equivale ai due casi:

| x ≥ 0 | x ≤ r |

Il primo sistema si riscrive nella forma 0 ≤ x ≤ r, mentre il secondo equivale a -r ≤ x. Unendo i due risultati si trova infine -r ≤ x ≤ r. (A 7) si dimostra in modo analogo.