Valore assoluto: definizione e proprietà; disuguaglianza triangolare

Valore Assoluto

Per ogni \( x \in \mathbb{R} \), il valore assoluto di x, indicato con il simbolo |x|, è definito da

\(|x| = \begin{cases} x & \text{se } x > 0 \\ 0 & \text{se } x = 0 \\ -x & \text{se } x < 0 \end{cases}\)

Proprietà del Valore Assoluto

Le seguenti proprietà sono diretta conseguenza della definizione di valore assoluto.

1. \(|x| \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}\)
2. \(|x| = 0 \iff x = 0\)
3. \(|-x| = |x| \quad \forall x \in \mathbb{R}\)
4. \(|x_1 \cdot x_2| = |x_1| \cdot |x_2| \quad \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}\)
5. \(\left|\frac{x_1}{x_2}\right| = \frac{|x_1|}{|x_2|} \quad \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}, x_2 \neq 0\)

Dimostriamo la (1)

• Se \( x \ge 0 \) allora |x| = x e quindi in questo caso |x| ≥ 0
• Se \( x < 0 \) allora |x| = -x e quindi, essendo \(-x>0\), risulta |x| > 0;

In definitiva |x| ≥ 0 per ogni \( x \in \mathbb{R} \)

Per la (3).

• Se \( x > 0 \) allora |x| = x e |-x| = -(-x) perciò |x| = |-x|
• Se \( x < 0 \) risulta |x| = -x e |-x| = -x essendo \(-x > 0\);

Anche in questo caso |x| = |-x|

Le (4), (5) sono diretta conseguenza della «regola dei segni»