Valore assoluto: teoria ed esercizi

Argomenti I^o parziale

Successioni

• Valore assoluto: definizione, proprietà, significato geometrico
• Maggiore e minorante di un insieme
• Estremo inferiore ed estremo superiore di un insieme
• Massimo e minimo di un insieme
• Successioni di N_R reali:
  • successioni divergenti e convergenti
  • Teorema unicità del limite + dimostrazione
  • successioni limitate + teorema + successioni non limitate
  • Teorema del confronto + dimostrazione
  • Teorema dei due carabinieri + dimostrazione
  • Teorema della permanenza del segno + dimostrazione
• Esempi fondamentali successioni
• Proprietà dei limiti di successioni: somma + dimostrazione prodotto; quoziente e reciproco + teoremi
• Limiti fondamentali:
  • o piccolo: definizione e proprietà
  • successioni equivalenti: N e proprietà dell’N
  • successioni monotone + Teorema esistenza limiti
  • numero di nepero e

Argomenti I^o parziale

Success ioni

• Valore assoluto: definizione, propriet , significato geometrico
• Maggiore e minore di un insieme
• Estremo inferiore ed estremo superiore di un insieme
• Massimo e minimo di un insieme
• Successioni di nr reali:

• successioni divergenti e convergenti
• Teorema unit del limite + dimostrazione
• successioni limitate + teorema + successioni non limitate
• Teorema del confronto + dimostrazione
• Teorema dei due carabinieri + dimostrazione
• Teorema della permanenza del segno + dimostrazione

• Esempi fondamentali successioni
• Propriet dei limiti di successioni: somma + dimostrazione prodotto, quoziente e reciproco + teoremi

• Limiti fondamentali:
• o piccolo: definizione e propriet
• successioni equivalenti: N e propriet dell'n
• successioni monotone + Teorema esistenza limiti
• numero di nepero e

FUNZIONI REALI

• Definizione intervallo in IR
• Funzione iniettiva
• Composizione di funzioni
• Funzione inversa: proprietà
• Immagine di una funzione
• Funzione limitata
• Funzioni monotone
• Simmetrie di una funzione: funzioni dispari, pari e periodiche
• Teorema composizione di funzione monotone

FUNZIONI ELEMENTARI:

• Esponenziale: proprietà e grafico
• Logaritmo: proprietà
• Potenze: definizione e grafici
• Funzioni circolari: seno, coseno, tangenza, arcoseno, arcotangente, arcocoseno: grafici
• Formule di addizione e duplicazione

FUNZIONI: LIMITI E CONTINUITÀ

• Funzione continua: proprietà algebriche, esempi fondamentali
• Teorema: continuità della composta
• Teorema: continuità dell'inversa
• Teorema degli zeri + dimostrazione
• Teorema di Bolzano dei valori intermedi + dimostrazione
• Teorema di Weierstrass + dimostrazione
• Conseguenze del T. di Weierstrass e del T. di Bolzano
• Limite di una funzione: definizioni tramite le successioni e tramite gli intorni
• Teorema unicità del limite
• Teorema dei confronti per le funzioni

• Teorema - limiti della somma, del prodotto e del quoziente
• Teorema - permanenza del segno
• O piccolo per funzioni
• Limiti fondamentali
• Limite destro e limite sinistro
• Teorema sul limite delle funzioni monotone
• Formule di Taylor

Argomenti II^o parziale

DERIVATE

• Derivate e funzioni derivabili: definizione con rapporto incrementale
• Rapporto incrementale: significato geometrico
• Definizione derivata con lo 'o piccolo' + teorema + dimostrazione
• Legame tra continuità e derivabilità + dimostrazione
• Derivate delle funzioni elementari
• Teorema algebra delle derivate
• Teorema derivata di una composizione
• Teorema sull'esistenza della derivata
• Teorema derivata di una funzione inversa
• Legame tra le funzioni monotone e la loro derivata
• Test di monotonia e stretta monotonia + dimostrazione
• Estremanti locali e relativi + condizioni sufficienti + dimostrazione
• Teorema di Fermat + dimostrazione
• Teorema di Rolle + dimostrazione
• Teorema di Lagrange + dimostrazione
• Derivata di ordine superiore
• Funzioni convesse: definizione + teorema

• Test di convessità + dimostrazione
• Formula di Taylor di ordine n con il resto di Peano
• Asintoti

Integrali

• Definizione di integrale di Riemann
• Proprietà dell'integrale:
  • teorema linearità + dimostrazione
  • teorema monotonia
  • teorema della media integrale + dimostrazione
  • teorema additività
• Classi di funzioni integrabili + teoremi
• 1° Teorema fondamentale del calcolo integrale versione 1/2
• Definizione di primitiva di una funzione
• Integrali immediati
• 2° Teorema fondamentale del calcolo integrale
• Funzione integrale: definizione
• Teorema integrazione per sostituzione (cambio variabile) + dimostrazione
• Integrali razionali - Trotti semplici

Algebra Lineare

• Lo spazio vettoriale ℝⁿ
• Operazioni tra vettori:
  • somma e prodotto per uno scalare: proprietà, significato geometrico
• Vettori linearmente indipendenti
• Sottospazio vettoriale di ℝⁿ
• Sottospazio generato da vettori: definizione
• Base per uno spazio vettoriale: definizione
• Lo spazio euclideo ℝⁿ

• Prodotto scalare tra vettori: definizione
• Modulo di IR^m: definizione, proprietà, significato geometrico
• Distanza tra due punti di IR^m: definizione, proprietà

Matrici

• Operazioni tra matrici:
  • somma di due matrici: proprietà
  • prodotto per uno scalare
  • prodotto di due matrici: proprietà
• Matrice identità
• Matrice trasposta
• Matrici simmetriche n×m
• Matrice inversa
• Determinante di una matrice: proprietà
• Sistemi lineari
• Teorema di Cramer
• Rango di una matrice: definizione
• Teorema di Rouche-Capelli

Introduzione

IR - numeri reali

IN - numeri naturali = {0, 1, 2, ...}

Z - numeri interi = {0, ±1, ±2, ...}

Q = { ^p⁄_q, p ∈ Z, q ≠ 0 } - razionali

IR\Q - irrazionali

sono densi in IR

Teorema

Q e IR\Q sono densi in IR

• ∀a, b ∈ IR, a < b

allora ∃ r ∈ Q e ∃ i ∈ IR\Q tali che a < r < b e a < i < b

Definizione di maggiorante e minorante di un insieme

• Sia A ⊆ IR ed M ∈ IR

diciamo che M è un maggiorante per A se a ≤ M ∀ a ∈ A

• Sia m ∈ IR

diciamo che m è un minorante per A se a ≥ m ∀ a ∈ A

Esempio 1:

A = ]1, 2[ = { x ∈ IR | 1 < x < 2 }

- A ha un maggiorante e un minorante?

• 2 → maggiorante M = 2
• 1 → minorante m = 1

Osservazioni: un ∀ numero ≥ 2 è un maggiorante

un ∀ numero ≤ 1 è un minorante

Esempio 2

A = ]1, +∞[ = { x ∈ ℝ | x > 1 }

- A ha un maggiorante?

Rispondiamo per assurdo: suppongo per ragionamenti supponiamo per assurdo che ∃ M ∈ ℝ maggiorante per A

cioè ∀ x < M, x ∈ A

Consideriamo x. M + 1 ∈ A tuttavia M + 1 < M è assurdo!

Definizione

Sia A ⊆ ℝ. Diciamo che A è limitato superiormente se esiste un maggiorante per A e diciamo che A è limitato inferiormente se ∃ M ∈ ℝ minorante per A.

Quindi A = [1, 1] è limitato inferiormente (M = 1 è un minorante) però non è limitato superiormente.

Esempio: A = ]1, 2[

M = 2 è un maggiorante per A ed è il più piccolo dei maggioranti diciamo che M = 2 estremo superiore di A.

Non esiste maggiorante < 2 M è più piccolo dei maggioranti il più piccolo maggiorante si chiama estremo superiore.

Definizione di estremo superiore di un insieme

Sia A ⊆ ℝ limitato superiormente. Consideriamo il più piccolo dei maggioranti (che è) e lo denotiamo sup A (estremo superiore di A).

Definizione di estremo inferiore di un insieme

Sia A ⊆ ℝ limitato inferiormente. Consideriamo il più grande dei più grandi che diciamo estremo inferiore e denotiamo con inf A.

Esempio 1

A = [1, 2[

inf A = 1 ∈ A → 1 e minimo di A

sup A = 2 ∉ A → 2 estremo superiore

Esempio 2:

A=[1,2]

sup.A=2 ∈A → 2 è massimo di A

Definizione di massimo e minimo di insieme

Sia A⊆IR M ∈A diremo che M è il minimo di A se: a≥M ∀a∈A

Sia M∈A diremo che M è il max di A se: a≤M ∀a∈A

→ Da vedere che massimo e minimo sono unici!

Esempio:

A-= {₁^M| M∈IN {0}} = {1, ₁², ₁³, ₁⁴, ..}

M=1 è un maggiorante ⊢ A e limitato superiormente

M=1 ∈A → massimo è 1 (max A)

M=0 è un minorante ⊢ A e limitato inferiormente

non è però minimo di A!

Dimostriamo che A non ha minimo cioè supponiamo per assurdoche A abbia minimo cioè: ∃ m ∈A e m≤a ∀a ∈A

m= ₁^M

0 < ₁^2M < ₁^M è assurdo che ₁^M sia un minimo

inf.A=0

Teorema

Sia A⊆IR limitato sup e sia sup A estremo superiore di A allora

1) 0 ≤ sup A ∀a ∈A

2) ∀ε>0 ∃a ∈A : ⊢ ε/2 ^supA-ε

Valore assoluto

Definizione di valore assoluto

|x| = { x se x > 00 se x = 0-x se x < 0x ∈ ℝ

z = max { x , -x }

Proprietà valore assoluto

1. |x| ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ1 |x| = 0 ⇔ x = 0
2. (|x|)² = x² ∀ x ∈ ℝ
3. |x y| = |x| |y| ∀ x, y ∈ ℝdiseguaglianza triangolare
4. |x ± y| ≤ |x| + |y| ∀ x, y ∈ ℝ
5. |x - y| = |y| - |x| ∀ x, y ∈ ℝ
6. Sia a ∈ ℝ , a ≥ 0|x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a

Dimostriamo la proprietà 6)

|x| ≤ a ⇔ (|x|)² ≤ a² ⇔ x² ≤ a² ⇔ x² - a² ≤ 0 ⇔ (x-a) (x+0) ≤ 0⇔ -a ≤ x ≤ a

-a asono radici del polinomio

Esempio

x₀ ∈ ℝ x > 0intervalloI(x₀) = {x ∈ ℝ | |x - x₀| < r} = ?

Dalla prop. 6) |x - x₀| < r ⇔ -r < x - x₀ < r ⇔ x₀ - r < x < x₀ + r⇒ I(x₀) = [x₀ - r , x₀ + r ] (intorno di x)