Valore assoluto: teoria ed esercizi

Argomenti I^o parziale

SUCCESSIONI

• VALORE ASSOLUTO: definizione, proprietà, significato geometrico
• Maggiore e minore di un insieme
• Estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme
• Massimo e minima di un insieme
• SUCCESSIONI DI N_R REALI:
• Successioni divergenti e convergenti
• Teorema unicità del limite + dimostrazione
• Successioni limitate + teorema + successioni non limitate
• Teorema del confronto + dimostrazione
• Teorema dei due carabinieri + dimostrazione
• Teorema della permanenza del segno + dimostrazione
• Esempi fondamentali successioni
• Proprietà dei limiti di successioni: somma + dimostrazione prodotto, quoziente e reciproco + teoremi

• Limiti fondamentali
• 0 per 0: definizione e proprietà
• Successioni equivalenti: N e proprietà dell'∈
• Successioni monotone + teorema confronto limiti
• Numero di nepero e

FUNZIONI REALI

• Definizione intervallo in R
• Funzione iniettiva
• Composizione di funzioni
• Funzione inversa: proprietà
• Immagine di una funzione
• Funzione limitata
• Funzione monotona
• Simmetrie di una funzione: funzioni dispari, pari e periodiche
• Composizione di funzione monotona

FUNZIONI ELEMENTARI:

• Esponenziale: proprietà e grafico
• Logaritmo: proprietà
• Potenze: definizione e grafici
• Funzioni circolari: sen, cos, tg e arcos, arcsen, arctg: grafici
• Formule di addizione e duplicazione

FUNZIONI: LIMITI E CONTINUITÀ

• Funzione continua: proprietà algebriche, esempi fondamentali
• Continuità della composta
• Continuità dell'inversa
• Teorema degli zeri e dimostrazione
• Teorema di Bolzano, dei valori intermedi e dimostrazione
• Teorema di Weierstrass e dimostrazione
• Conseguenze del T. di Weierstrass e del T. di Bolzano
• Limite di una funzione: definizione tramite le successioni e tramite gli intorni
• Limiti
• Teorema dei carabinieri per le funzioni

Introduzione

IR = numeri reali

IN = numeri naturali _0,1,2,...,y

Z = numeri interi _{...,-1,0,+1,...}

Q ⁹⁺⁰ ₉ = razionali

IR _Q irrazionali

non densi in IR

Teorema

Q e IR_Q sono densi in IR

• c.a. ∀a,b∈ IR, a