Valore assoluto e proprietà della sommatoria

Proprietà e formule matematiche

Coefficiente binomiale

1. _nC_k = _nC_(n-k)

2. Se 0<k<m, è uguale a n! / m! = (n-1)((n-2)(...)(n-k+1))

Sviluppo di potenze di un binomio

Attenzione nel cercare nello sviluppo di potenze massime di un binomio (a + b)ⁿ = Σ _k=0ⁿ _nC_k a^n-k b^k

Esplicitiamo: (a + b)⁵ = ₅C₀ a⁵ b⁰ + ₅C₁ a⁴ b¹ + ₅C₂ a³ b² + ₅C₃ a² b³ + ₅C₄ a¹ b⁴ + ₅C₅ a⁰ b⁵

= ₅C₀ (5 0) a⁵ + ₅C₁ (5 1) a⁴ b¹ + ₅C₂ (5 2) a³ b² + ₅C₃ (5 3) a² b³ + ₅C₄ (5 4) a¹ b⁴ + ₅C₅ (5 5) b⁵

= 5! / 5!1! * a⁵ + 5!/ (4!1!) * a⁴b + ... + 5 b⁵

1. 11
2. 11 2
3. 11 3 3
4. 11 4 6 4
5. 11 5 10 10 5 1

(a + b)² = 1a² + 2ab + 2b²

Tavola di Tartaglia

Per i coefficienti del mⁿ (k)(n-k)

Proprietà:

1. m! = m(m-1)!

2. Se 0 ≤ k ≤ m è uguale a m! (m-k)!(n-2)...(n-k+1)

^mC_k = m! / k!(m-k)!

Esempio:

(5 0) (5 1) / (5 1) (5 2) 5! / 2!(5-2)!

Vale che:

ⁿC_k = ⁿC_n-k (^mC_k) = ^m-1C_k-1 + ^n-2C_n-k

Usiamo il Triangolo di Tartaglia per i coefficienti di Newton:

1. 11
2. 11 2
3. 11 3 3
4. 11 4 6 4 1

Valore assoluto

Si dice valore assoluto di un numero reale a (si può dire anche modulo di x), il numero non negativo con definizione:

|a| = a se a ≥ 0

|a| = -a se a ≤ 0

|2| = 2

|-2| = 2

|3| = 3

Con la costante a:

∀a ≥ 0 |x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a

|x| ≤ 2

-2 ≤ x ≤ 2

Con definizione:

|x| = x se x ≥ 0

|x| = -x se x ≤ Se |x| ≤ a allora -a ≤ x ≤ a

Se x ≤ -a allora x ≥ -a

Importante disuguaglianza:

∀x,y ∈ ℝ vale la disuguaglianza triangolare:

|x + y| ≤ |x| + |y|

Ulteriori disuguaglianze:

-|x| ≤ x ≤ |x|

-|y| ≤ y ≤ |y|

Somma di moduli a moduli

|x| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|

|-y| ≤ |x| + |y|

Vari appunti sulle disuguaglianze

0 ≤ x ≤ a ⇔ |x| ≤ a