Tutte le dimostrazioni e definizioni di Analisi 1 per orale

SOMMATORIE NOTEVOLI :

SOMMA PRIMI

1 DEI NUMERI

n

È {

§ -101

100

)

nlnt '

K es

= 2

.

2

K -1

-

SOMMA

2 DELLA PROGRESSIONE GEOMETRICA

§ qn +1

9k 1- tq -1-1

= 1- q

K -0

- Ì "

)

(

1-

È % È

È È È

È

f-

" {

(E) + +

+

= +

9=12 qk =

es =

= §

. , 1

K -

:O

È " 10+1+17 (

? " )

OSS 1 1

9=1

se 1

nt nti

sono mo

= =

. . .

.

£ ( )

(

CER n +1

no

(

OSS = -

:

. K ho

=

Informale

DIM allora

9=11

poiché

. ,

[ "

qn

" " {

1- qk

9 ( 9) 1-

qk 1- =

= q

4- 1

O -

9)

( " 9)

{ (

( -9/-9/-79

1+9/+9/7 -9/-9^+1=1

)

9 90+9^+9 ?

1- 1- qn qn "

= + = -

- .

. . -

. .

t

moltiplico te -9

per

per

formate sommatoria

delle

DIM propr

con .

. È È "

qn

" "

1- qk

9 ( 9) 1-

qk 1-

allora

9=11

poiché =

= :O

K

q

4- 1

O - nel .gr/+qnt1=Eqk+qnt1

Èqk '

E +97

94=1

@

?

E "

9 2

9 + . .

+

1 = .

. KM

. 4=1

1

n = ADDITIVITA :

" ¥

"

£ "

" ""

"

" ""

"

" " "

" " "

" "

"

" "

"

" " =

" " ^

f µ K:O Ken

1 2

K :O

-0

K -0

R

- -

LINEARITÀ SOST INDICI :

. ntt

+1

n E

qh

È qk

moto

E indice

qk +1 →

= =

t h K-1

-1

-

no Èi

ho

{ tetti { 1

- -

- - y

Éih

K'

" ha

-1 ntl =

=

V2

Q

DIN CONTIENE

NON

. c' Q

Se CE

IR allora

2

ce e =

c' " "

" " Q

IR ce

2

p q

ce

= =

=

, E-

assurdo CEQ

supponiamo 2

per non ⇐

q

p

vero e e

abbiamo

dim qst dirmi

assurdo che

è

che

se p q

. ' c'

c)

xke f- 2

• c > o = = tra

7- ed loro

deve scegliere primi

• essere dove

razionale

c possiamo

C un n

m

= NÉ

c' 2¥

mi

2 =D

• M pari

#

=

= = t è

di

PARI di pari pari

prima in

m se =D

. 24k

2kt

quindi >

allora

2K '

mi n'

=

mi

= ( In =D

⇐ 2k n

=

= = t t

PARI PARI ASSURDO :

→

numeri

tra 2

loro entrambi

primi

erano tra essere

possono

m loro

n primi PARI a.

e e non .

CONSEGUENZE ha

' sol Q

Analiticamente 2 in

non

✗

1 : =

Geometricamente biunivoca punti Tetta

i

Q corrispondenza

2 di

: con

è una

non in

c' 12+12=2 teorema visto

Qx

☒ il

= ,

i : - - iii. corrispondenza razionale

P con

è un

in

non

§

j ; ; .

Per questo introdotti

stati reali

i

sono . 2

'

DIM TEOREMA MINIMO

DEL

UNICITA

DI

. esistono

)

(

supponiamo MINE

abbia

E mine allora

che per assurdo

sia #

unico

non mi Ma =

e

HEE

E ERMZEE

{ Ex

Mi

min Mi

=D

ma 1

= . EE

Mi

2 .

{ HEE Esmee

Ma

MINE =D

Ex

1 Ma

= ⇐

ma .

2 EE

Ma

. la PR

C- Emi

Ma Ma HA

Mr ANTI

mi SIMMETRICA Mi

Ma

se =

per

e .

VALORE ASSOLUTO

1×1 70

{ se

✗ ✗

= }

#

€

✗

se

✗ <o

✗

- )

(

1×1=7 7

± carie

✗ 0

>

→ = 00

1×1<-7 { e <

[ 0

✗

O =

= E

C-

E

2 → ✗

o

>

1×1>-7 WEIR

{ 2=0

E ruxzr

E

> o ✗ -

DISUGUAGLIANZA

DIM TRIANGOLARE

.

YI

/ Kitty YER

E /

✗ + × , I the

-1×1 141

-141<-4

/

E R anche c-

E

che

osservo ✗ ✗ e

Il -1×1-141 +4<-1×1+141

E

sommo ✗

"

(1×1+141)

- )

( prendendo 7--1×1+141>-0

sol

sapendo che 1×1 -2 Er

Er 2 E

ha

> e

con ✗

o come 1×1+141

1×+41 E

allora E C- Er *

r

✗ y =

+

-

MONOTONIA fan Axa)

crescente funzioni

) le

✗ costanti

ltxn

se C- E

< NB le

✗

in

✗ : sono

a

a

, ,

decrescente far

)

fan f

✗ )

ltxn a uniche

se C- < ✗ che decresce

in cresc

✗ sia

a

a

, .

,

flxz

)

fan

) > / ÉÈ.%È Axa

Rai )

>

| )

.

× > ✗ a × ×

.

. .

. ✗

* < a

;ÈÉÉ •

:< \

' ×

• • ×

; decr

Strett

crescente

Strett cresc .

.

. &

'

DIM delle

INVERTIBILITA MONOTONE

. f X-D f monotona

Strett

iniettiva

)

(

& ha

monotona che

Streit

è cihdcr

se si .

. flx

)

invertibile

f iniettiva

è quindi su

s . "

f &

tipo

Strett maratona stesso

è dello di

2 .

. f Strett crescente

supponiamo . txn )

fcxz

fan

EX )

ha

è

) che

dm =\

INIEITIUA

( cioè

i ^ ✗ si

✗ #

✗ 2

e

a

,

. ,

,

fan far

)

flxa fan

)

che ) )

>

osservo =\

=D

> ✗

✗

• i a d'

ho M ^

→ .

fan fan

) )

fan fcxz )

< ) =D

<

✗

• ✗ ^ 2 f-

f ^

) crescente

è che

Iii ^ dirmi

devo

è Strett

Dato f-

7 fa è

)

che INVERTIBILE ✗

INIEITIUA →

: : .

,

Per suppongo

assurdo : "

fa tali f-

) f-

'

E

)

(

741,42 )

2 che

E (ya

< yz

yn

con yn

fa fan (

f )

) )

che

✗

3- Yz

tale

E C- x2

⇐

yz

41 un =

✗ e

✗ =

^ a

,

,

sostituendo 2 deve

in essere : "

f f- '

)

fcxz

) )

) (

'

fan ( (

=

f- "

( ya) fan

f

) I )

< fcxz ASSURDO

Zxz

)

< ⇐

y con

ya ✗

ya

, f crescente

Strett

perché . Lan fcxz )

) fcxz

NON fan

)

deve > <

)

essere

>

se ✗

xn e

2 ↳

f- Strett crescente

^

dunque è •

.

¢

POTENZA ESIMA IN

n - ]

sincro)

[ ( )

qn

zn i

no +

cos

= { }

tw

complesso Zn

Zo Zi

le di

radici n insieme

sono

esime ^

un -

=

:

un

- .

.

.

,

,

calcolo delle radici esime

n :

- IURE

DE MO Diu .

)

( % +2%-1

f- /

)

TÈ

Tre ( i

+ K

+

ZK 0

sin da -1

con

cos n

a

=

" trig

forma

-2 -2

W scrivo w

e in

= .

, ( ]

isinq)

( ]

0

)

accasati Tilt

7 cosa essere

2- possono

y

sino

w mai

e in -

+

= =

,

formula

la la potenza

uso n esima :

per -

" Sing)

(

( )

(

" sincro)

) i

i r cosq

no

cos

2- w

a + +

= =

= " argomenti

gli

2 uguali

questa moduli e

uguaglianza i

valesse uguali e siano

=

Soso

no

di 2kt lft quindi

2kt

meno

a =

rr

{ e- f- 2k

O + da 0

le

= con 1

n

a - V7

Le trovano circonferenza vertici di

radici di i

su a

si e

raggio = occupano

una un

f- •

poligono angolo

di . 5

DELL'

FONDAMENTALE

TEOREMA ALGEBRA Pn

l'

grado

Dato allora 0 ha

di

polinomio complesso n equazione =

un ( )

molteplicità

contate

esattamente ¢ loro quante

soluzioni la sol

volte è

n con

in un num

"

(

)

Pn )

(2-0)=0 (

Pn

Pn Qfz)

sol

¢ O

di

è

Zoe se Z zo

= → z = - .

M

PER DI

POLINOMI

TEOREMA REALI . tutte

ha

)

Quando sol

Pn ( COMPLESSE

ER le

allora REALI CONIUGATE

ao an sono

z -

o

.

. . .

.

sol

cioè lo anche

è

è

Zo Zo

se .

1M

☐ . proprieta

significa la coniugato

Pnczo

sd '

) del

allora

0

zo per

=

(2-0)--5=0

Pn " "

" Qn

An -20 do

Zo Z

= as t

+

1

+ - . .

. (E)

""

ZJ

ANZI anzi Pn

" an ao

= =

t + +

n

- . . .

( il

coniugato stesso

di

il

an è

sono reali

an reale

reale

un

e

^

- .

. .

, .

Corollario sd

dispari

reali Pncz)

coefficienti

Pn ha almeno

se allora REALE

0 ha MI

e una

n = .

6

UNICITÀ

TEOREMA LIMITE

DEL

DI

se limite finito

l limite

ha è

allora questo

±

an 00

a unico .

DIM assurdo

✗

. ( )

li la

abbia limiti

supponiamo 2 ER

che #

an

limite arbitrariamente

dalla scegliere piccolo

di

def E

posso > o

( )

0

prendendo a la la es

< E < >

+

4

ha

si : §

Annan ]

li =D [

J la ltn

la

IN {

Nn E

an E

1 = c- Nn

: >

+

- ,

. la la

limon ] tn

NEIN [

la Nz

E

3- {

e

2 >

an

:

= +

-

. , !

entrambe vuota

dovrebbero l' intersezione 2

dei è

insieme

ma

valere lzei

Infatti lei la li

la 2E anni

E

E < <

E

<

+ + - 2

ESISTENZA

NON

DI

CRITERIO DEL LIMITE esiste il

Quando limite

limiti

hanno

SOHO della successione

2 allora

diversi

successioni non .

è

Quindi IRREGOLARE

an .

TEOREMA CONVERGENTI

DELLE SUCCESSIONI limitata

convergente

se VICEVERSA

allora è

è NO

an .

.

DIM . )

le ( def

-3km convergente

R

ipotesi an

per di succ

= .

limite

la fissato

colf di NEIN

per 0,7

E > :

,

Ian N

ll e

e-

tn N On < >

E

E <

< E > n

^ +

- ha

finito

l' è quindi

EN cioè

che

osservo insieme Max

min

an

degli con e

n :

2 E M

E

an

pm { } { }

↳ (

ci l E

quindi E.

min m M

+

Max

=

= e

-

,

da che

2 segue

^ e

La t è

C- ( V-n-c.IN an

cioè LIMITATA

an 2 .

È

IL VICEVERSA FALSO :

limite finito quindi

> CONVERGENZA

LIMITATA

an =

controesempio : 8

" (

" )

convergente Ifi

limitata /

è )

1)

C- è Es

1

ma non =

è

LIMITATA M

che MONOTONA

CORNERGENTE

male an

se .

SUCCESSIONI MONOTONE

Earth

an

CRESCENTE se andai

DECRESCENTE se +1

TEOREMA SUCCESSIONI MONOTONE

SUL DELLE

LIMITE limitata convergente

monotona è

se è

una allora

successione e .

{ }

limon

crescente nein

sup

è

se

• an :

=

, { }

decrescente liman 1nF nein

è

se an :

• =

,

limiti

7 esistono

maratone

delle sempre

successioni .

limitata

crescente

DIM ✗ con e

. )

}

{ ( limitata liman

allora

5- 5-

Th new xke

SER

sup

: se :

an

di

colf

dalla Sip :

IN

line

SZ On

1 . 3- S

an >

NEIN E

:

2 E > o -

. crescente ha

N

è

poiché an si

n> q

3 ZQN

an

. def limite

la

abbiamo

unendo di

2,3

1 :

, N

tn

SE

E

fan

CON STE

5- E >

1

3

2 .

.

. )

( limon

SI

Ian deh di

< tiri S

N ma

E

E >

>o

⇐ -

- -

TEOREMA ALGEBRA

SULL' LIMITI

DEI

( ) )

(

11mn bn b

Prodotto = a-

an .

M

DI .

dimostro prendere 1

E

che <

posso

o

>

E

ha

Si : Ian b)

bn

JNEIN < E

a

TESI -

: : - -

fissato 1 valgono

0 E

< < : al

Ian

limon Un

EIN

3-

a E

< Nn

:

Nn >

=

- -

11M Ibn

b

bn bl tu

JNZEIN Ne

< E

:

- >

= -

as9uugoetdgoabnlan.bn-a.bIEl@en.bnTabnFabn

considero adesso b) b) /

albn bnllan-altlallbn-b.IE

=/

a)

brian

/

E

a- +

- - -

(1+161)

E 1+161+101

tale

E c. E C.

+ = con = i

« 10

( t

bltlbl

Ibn/ ttlbl

Ibn Etlbl

btbl E

Ibn <

<

= -

- ) b

(

Inn

due bn

è che a.

an •

si =

-

PERMANENZA

TEOREMA DELLA SEGNO

DEL ££

FORMA

I

Data regolare si

an ha :

/ allora

a DEF

O

+00

0 >

an >

ao an

im = o .

11pm

• < DEF

allora

<0 O

an an

-00

a

= o .

DIM O

a >

✗

. km

km def

se dalla OCE

di a

a <

>

=

con o con

ltn

0 N

3- < < an

NEIN a

an

a- O

>

< E la

E

: + >

,

II FORMA limon

regolare

sia allora

an a

e =

70

Se DEF

an a

^ 70

.

DEF EO

EO a

Se con

2 . acab

b anfb.in

Data b

bn allora

lunbn

> DEF

a

e :

=

con ,

DIM o

a >

×

. limite

assurdo abbia

regolare che

anto

Se DEF aco

suppongo per

e

^ .

avrebbe

Assurdo la forma

xke anco DEF

allora

per I .

Uguale

2 Def bn bn

3 70 hp

cn an cane

DEF DEF

= per

- . Asb

b- Ocioè

Implica >

limiti

sull' b- a

poichè

algebra la

cnzo

cn DEF

dei 7hm

teorema a ^

Dal =

TEOREMA CARABINIERI

DEI

data G bn

7 2

cui

successione an

una :

successioni

per ,

timbri

limon a

a -

= bn DEF

E E

an

2 Cn .

71inch @

allora = .

DIM . hp

delle

E o :

> ltn

Nien

3-

limon a- anca

AER E Nn

< E

+

:

= >

1 . bn

lrmbn Un

AER Naeem Na

a-

3- E

>

2 <

< E

at

:

-

= >

. bn

IN tn

IN E N

an che

3 >

} }

C- :

. Allora }

{ bn

ttn E

a- E

<

E

Noi E

nz •

ns < an

vale

> Max : cn +

, , I 12

lcn al E

<

-

Ba

colf

quindi dalla di km Iim

3- a

cn -

,

TEOREMA LIMITATA

INFINITESIMA ✗ Canion)

tim O

bn allora

limon è

0

è INFINITESIMA LIMITATA

se cioè

an =

e

=

DIM . /

Ibn M

7M

LIMITATA <

> 0

: :

i

.br/=Ianl.lbnIEM-lanl

Ian

OE

t +

PROPRIETA timpani

liman

ASSOLUTO

VALORE

' 0

=

= 13

)

limnlan bn

.br/=0

7hm Ian OH

carabinieri implica che ⇐

dei =

il teorema -

)

( È )

olbn

bn

ASINTOTICITA

DEFINIZIONE PICCOLO

0 ' -1-0 an

DI piccolo

an =

DEF o

e : →

o

- ,

limon

[ bn

bn I-n

1=00 asintotico

' di

O SUPERIORE

se ORDINE 1

sara

con 00

: :

=

→ →

,

limon bn

O bn INFERIORE

sarà

0

Se di cioè

:

con ORDINE

→ = 00

, trascurabile

( ) significa

bn è

an che an

= 0

È le 0 allora

→ stesso ordine

bri dello

se 15

an sono

e

anrubn sintetiche