Appunti completi di tutte le lezioni di Analisi matematica 1

ANALISI MATEMATICA I

Elementi di logica — proposizioni logiche (V / F)

p “Z è un numero pari”

“¬p”: “non p”

Congiunzione logica — “p ∧ q” — “e” —

Disgiunzione logica — “p ∨ q” — “o” —

Implica — “p => q” (NON “→”) —

Se e solo se — “p q”

È unione fra (p => q) ∧ (q => p)

leggi di De Morgan

(¬(p ∨ q) <=> ¬p ∧ ¬q)

(¬(p ∧ q) <=> ¬p ∨ ¬q)

Cosa vuol dire dimostrare?

Teorema di Pitagora:

△ ABC triangolo rettangolo —> BC² = AC² + AB²

Ipotesi Tesi

Impongo che l'ipotesi sia vera dimostrando così la tesi

(p => q) <=> (¬q => ¬p) — dimostrazione

contronominale

prop. n ∈ N dispari => n non è un multiplo di 10

{1, 2} = {x | x ∈ X, x ∈ X}

{x ∈ N : x è dispari}

{x ∈ N | x ≤ 4} = {0, 1, 2, 3, 4}

x ⊆ y → "x è contenuto / è sottoinsieme di y"

{x ∈ X ⇒ x ∈ y}

x = y ↔ x ∈ X ⇔ x ∈ y → se contengono gli stessi elementi

x ⊄ y

∃x ∈ y e x ∉ x − x è sottoinsieme proprio di y

Insieme vuoto → ∅ ⊆ x

Insieme di se stesso → x ⊆ x

Insieme delle parti: → P(x) = { sottoinsiemi di x }

2^{"2 x"}

esercizio: {1, 2, 3} = x ↔ contiene 2³ elementi

P(x) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}

Insieme complementare → C_X(A) o X \ A → elementi che sono in X ma non in A

Z -> numeri relativi :

{ 0, +1, -1, +2, -2, ... }

N ⊂ Z

Vn ∈ 0, ∃!n n : n = n

∃!n', ∃!n'' n' + n'' = 0 -> l'insieme dei numeri relativi ammette l'opposto dei naturali.

Q -> numeri razionali

∞ modi di rappresentarli

∈ Z × (N - {0}) = (p, q) sono equivalenti se si possono portare agli stessi minimi termini

(p, 1) = p/1 = p : p ∈ Z

Proposizione :

√2 quel numero positivo che (√2)² = 2

=> √2 ∉ Q

n ∈ N n² è pari => n è pari

n è dispari => n² è dispari

n = 2k + 1, K ∈ N, n² = (2k + 1)² = 2k² + 4k + 1 =

Insieme A ⊆ ℝ e' limitato se e' limitato superiormente e inferiormente.

⇔ ∃m, M ∈ ℝ, ∀x ∈ A m ≤ x ≤ M

Esercizio: dimostrare questa proposizione

A ⊆ ℝ e' limitato ⇔ ∃L ∈ ℝ, L > 0, ∀x ∈ A, |x| < L

⇒ |x| < L ⇔ {x < L, x ≥ 0

• x > -L, x < 0}

Dimostrato che c'è un insieme limitato

(1, 2) = {x ∈ ℝ : 1 < x < 2}

1 _____________|_____________ 2

1- 2-

non e' un maggiorante

regola generale

A e' limitato superiormente, si dice estremo superiore di A, S ∈ ℝ tale che:

1. S e' un maggiorante di A, ∀x ∈ A, x ≤ S
2. S e' il più piccolo dei maggioranti:

∀ > 0, ∃a ∈ A

es. 1 A = (0,1) ∪ (1,2) ∂A = {0,1,2}

es. 2 A = (0,1] ∪ (1,2) ∂A = {0,2}

es. 3 ∂Q = ?

∀x ∈ ℝ ∀B_ε (x_o),

B_ε (x) ∩ ℚ ≠ ∅ ∩

B_ε (x) ∩ (ℝ \ ℚ) ≠ ∅

Q ⊂ ℝ A aperto!

es. 2 A = [0,1] ∂A = {0,1} => A chiuso!

es. 3 ℝ, ∀x ∈ ℝ, ∃B_o (x) ∈ ℝ => ℝ aperto!

Int(ℝ) = ∅ ∂ℝ = ∅

∅ è aperto! => ∂ℝ ⊆ ℝ => ∅ ⊆ ℝ

=> ℝ chiuso perché contiene la sua frontiera

Gli unici insiemi sia aperti che chiusi sono ℝ e ∅

f(x) = |x| :

{x, y}:

• y = x, x ≥ 0
• y = -x, x < 0

=>

• {(x, y): y = x, x ≥ 0}
• {(x, y): y = -x, x < 0}

Im f = [0, +∞)

∀ y ∈ (0, +∞), f^-1 (y) := {y, -y}

RESTRIZIONE DI UNA FUNZIONE:

f |_{[0, +∞)}: [0, +∞) → ℝ è iniettiva

f |_{(-∞, 0]}: (-∞, 0] → ℝ è iniettiva

x ↦ |x|

PROLUNGAMENTO DI UNA FUNZIONE:

Ci sono infiniti modi per prolungare una funzione.

f: ℝ → ℝ

FUNZIONI MONOTÒNE:

funzione monotona crescente (sul dominio f)

x₁, x₂ ∈ dom f, x₁ ≤ x₂ => f(x₁) ≤ f(x₂)

f(x) = x² non è iniettiva

Questa restrizione è iniettiva e suriettiva

f^-1 agisce su tutto il codominio

BIUNIVOCA

A₁ o_+∞ = [0, +∞) → [0, +∞)

x → x²

si può calcolare l'inverso

∃ g^-1 : [0, +∞) → [0, +∞)

x → g^-1(x) = y _{x > 0}

g(y) = y² = x

g^-1(x) = √x ≥ 0

arctan x è l'inverso di :

tg x =

sin x / cos x

nell'intero dominio non si può invertire

dom f_j : ℝ \ {π/2 + kπ , k ∈ ℤ}

quindi si restringe

tan (−π/2, π/2) → ℝ

= Im (tan)

è BIETTIVA

arctan = g^-1 : ℝ → (−π/2, π/2)