Tutte le dimostrazioni di Analisi 1

Dimostrazioni di Analisi I

(e spiegano bene)

1. Teorema sui numeri complessi

Dato W ≠ 0 complesso ed n ∈ ℕ le soluzioni di zⁿ = W sono esattamente (distinte) e sono individuate dalla formula:

z = |w|^1/n · e^iθ

ω = arg di W + ^2πk/_n con k = 0, 1, 2, ... n - 1

Metodo Assolutivo

z_n = W con W soggetto ≠ 0 (altrimenti banale)

Siano v ∈ ℝ e z ∈ ℝ, r > 0 Tali che W = r e^iλ [r = |w| ed θ = arg(w)]

z₁ = r^1/n e^iθ

... z_n = r^1/n e^iθ_n

1^a Verifica

z₁, ... z_n sono soluzioni:

Prendo z_k = r^1/n e^iθ_k e verifico z_kⁿ = W

z_kⁿ = (r^1/n e^iθ_k)ⁿ = (r^1/n)ⁿ · (e^iθ_k)ⁿ = r e^iθ · n

= re^iλ = W

n · θ_k = λ + 2π · k · l

= λ + 2kπ

2^a Verifica

Sono n soluzioni distinte, vale a dire

se k ≠ t allora z_k ≠ z_h

(Per Assurdo)

Supponiamo di avere k, h diverse ⊂ {1, ..., n}

e supponiamo per assurdo che:

z_h = z_k

r^1/n e^iθ_h = r^1/n e^iθ_k

2 numeri complessi sono uguali se e solo se

e^iθ_h = e^iθ_k

θ_n = θ_k

hanno lo stesso modulo

hanno argomenti uguali a meno di 2kπ né Z

sono lo stesso angolo a meno di 2πné Z

∃ m ∈ ℤ tale che Θ = k + 2πm

_h⁄_k = _{h - kn}⁄ _{- k}

_h⁄_k = _h⁄_k - m⁄k = h - m ∈ ℤ

h,k ∈ {1,...,n}

_h-k⁄_n ( ∈ _(n-3)⁄_n , _n+1⁄_n ) ⊂ ( -1 , 1 )

m ∈ ℤ (n ≥ 5 )

=> m = 0

3-VERIFICA

Non ci sono altre Z fattori di Zⁿ∙W che non coincidono con una delle RADICI Z₁, ..., Zₙ

Si può dimostrare in 2 MODI

① Sia ζ = ρe^iΘ ed impongo ζⁿ = W∙e^iΔ

{ ρZ e^iΘₙ = r e^iΔ }

pⁿ = r e Θₙ = 2l + 2πm m ∈ ℤ

Θ = ₂⁄_n

(_2π⁄_n)m _2π⁄_n,_π⁄_n,2

Θ = ₂⁄_n + 2π (_n-3⁄_n)

= ₂⁄_n + 2π + _π⁄_n

② Introduco i polinomi di variabile complessa e coefficienti complessi.

P(z): ℂ → ℂ è una funzione della forma:

(✣) P(z) = aₙzⁿ + aₙ₋₁ zⁿ⁻¹ + ... a₁z + a₀

∃ n ∈ ℕ ed esistono (n+1) numeri complessi a₀,...,aₙ ∈ ℂ tali che vale (✣)

Teorema limite di _a ∞

Sia f: A → ℝ p.t. ∃ A_ε di A tale che lim_x→x₀ f(x) = +∞ o -∞

Allora anche f ha limite per x → x₀

Teorema

Sia f: (a,b) → ℝ (anche en b: +∞ o a: -∞)

Allora preso x₀ ∈ (a,b) si ha che

∃ lim_x→x₀⁺ f(x) ⇔ ∃ lim_x→x₀⁻ f(x) = sup f(x) (a,x₀) = inf f(x) (x₀,b)

Oss.: se x₀ ∈ (a,b) ed f: (a,b) → ℝ crescente

Allora lim_x→x₀⁺ f(x) = l₊ lim_x→x₀⁻ f(x) = l_-

è finito o vale l_- ≤ f(x_₀) ≤ l₊

Perché l_± è finito?

l₊ = inf f(x) (x₀,b) ⇒ f(x) > f(x_₀)

l_- = sup f(x) (a,x₀) ≤ f(x_₀)

a = 0 b = +∞ se f: [n₀,+∞) ∩ ℕ → ℝ crescente

Allora ∃ lim_n→∞ f(n) = sup f(n), n ∈ ℕ

In questo caso il limite potrebbe essere +∞

11. Teorema di Cesàro

a_n ≥ 0 ed ∃ lim_n→∞ a_n = l ∈ [0, ∞]

Allora:

∃ lim_n→∞ √n a_n = √l

12. Teorema di permanenza del segno

Vale per limiti di funzioni (le successioni sono particolare funzioni)

Sia f: A → ℝ e x₀ p.t. di Acc (A), supponiamo ∃ lim_x→x₀ f(x) = l ∈ ℝ

1. Se f(x) > 0 ∀ x ∈ A allora l ≥ 0
2. Se l > 0 (anche ≥ 0+) allora ∃ U (intorno di x₀) ⊆ A o ∃ 0 < l' < l tale che f(x) > l' ∀ x ∈ U (x₀) \{x₀}

La dimostrazione è una congettura della nozione di limite.

Se ho limite (non basso) allora devo scegliere l ₀ < l

⇒ ∀ V intorno di l ∃ V intorno di x₀ tale che f(x) ∈ V ∀ x ∈ U \ {x₀}

Se l > 0 allora posso prendere

_{|-0 0 l' |-0 L > 0}

f(x) ∈ V f(x) > l' punto qualsiasi.

L’insieme V = (l', l^∞) è un intorno di l

Enunciato forte

∀ L' < l < L'' posso trovare U (x∈) tale che

∀ f(x) > l' ∀ x ∈ U(x∈) \ {x₀} e (L'', L'') ∀ x ∈ U(x∈) \ {x₀}

16 Teorema di Heine Borel

Caratterizzazione di compatti di R

Sia C ⊂ R assegnato. Si ha

C è compatto ↔ C è chiuso limitato

17 Teorema di Weierstrass

Sia f: K → R

• f continua in K ⊂ R
• K compatto

Allora

∃ x_M, x_m ∈ K tali che

• f(x_M) = max_K f
• f(x_m) = min_K f

DimoSTraZioNe

Dato B &neq; ∅ ⊂ R ⇒ ∃ sempre x_m ∈ B tale che lim_{n → ∞} x_n = sup B

Come si vede?

Se sup B = +∞

Fisso M = 1, 2, ... per definizione ∀ M ∃ x ∈ B: x > M

• per M = 1 diciamo x ∈ B > 1 ⇒ x₁
• per M = 2 diciamo x ∈ B > 2 ⇒ x₂

Costruisco X_n ∈ B

con X_n > n ⇒ lim_n x_n = ∈ = sup B

Se sup B = l ∈ R

per definizione preso l’ < l ⇒ x = x_I ∈ B tale che

l > x_I > l’

Scelgo V_n ⋀

l’ = l – &frac1;n

Chiamo X_n = X_I; l’ = l – &frac1;n

x_m ∈ B e lim l – &frac1;n < X_n <= l

Teorema

Se f: A → IR è crescente (x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)) ed f derivabile in x₀ allora si ha

f'(x₀) ≥ 0

Dimostrazione

f(x) - f(x₀) è ≤ 0 se x ≤ x₀ ≥ 0 se x > x₀

x - x₀ è ≤ 0 se x ≤ x₀ ≥ 0 se x > x₀

In particolare

(f(x) - f(x₀))/(x - x₀) ≤ 0 se x < x₀ ≥ 0 se x > 0

Il segno è mantenuto nel lim per x → x₀

f'(x₀) ≥ 0