Trigonometria + Geometria cartesiana + Analisi matematica 1 (teoria+ esercizi per superare le lacune di liceo per analisi matematica)

Scomposizione Ruffini

x² + 5x + 6

Occorre trovare due polinomi che moltiplicati ci diano questo risultato

Quelli possibili sono:

• (x - 1)
• (x + 1)
• (x - 2)
• (x + 2)
• (x - 3)
• (x + 3)

Il polinomio che ci darà: R = 0 sarà quello giusto

Utilizzeremo il teorema del resto di Ruffini

1. (x² + 5x + 6) → (1)² + 5(1) + 6 = 12 ≠ 0
2. (x² + 5x + 6) → (-1)² + 5(-1) + 6 = 2 ≠ 0
3. (x² + 5x + 6) → (2)² + 5(2) + 6 = 20 ≠ 0
4. (x² + 5x + 6) → (-2)² + 5(-2) + 6 = 0

Quindi, i numeri sono (x + 2), (x - incognito)

Per trovare l’incognita, facciamo la divisione di Ruffini:

-2 | 1 5 6

| -2 -6

------------ 1 3 0

L'altro fattore non è: x + 3, quindi

(x² + 5x + 6) = (x + 2)(x + 3)

Quadrato dei binomi

(x + a)² = x² + 2x + a² → se affermo (x + a)² il quadrato si mantiene

se dichiaro (x - a)² il quadrato è negativo

Scomposizione

• Differenza di quadrati (potenze pari)

x² - b² = (x+b)(x-b)

2^u teorema

• Somma di cubi (potenze dispari)

x³ + 2³ = (x+2)(x² - 2x + 2²) ← scorciatoia (x+2)(x-2)²

• Differenza di cubi

x³ - 2³ = (x-2)(x² + 2x + 2²) ← scorciatoia (x-2)(x+2)²

• Quadrato del binomio

2² + 2z b + b² = (z+b)²

3^u teorema

• Trinomio notevole (elevabile al quadrato)

x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3)

• Ruffini

4^u teorema

• Cubo del binomio

2³ + 3 2² b + 3 2z b² + b³ = (z+b)³

• Raccoglimento a fattor comune parziale

2x + 2y + b x + b y = 2(x+y) + b(x+y)

• Raggruppamenti

2x + 2y + 2z + 2c = 2(x+y+b+c)

• Ruffini

Punto medio di un segmento

Il punto medio del segmento tale che AM = MB

Per ricordare:

_XM = ^{X₁ + X₂} / _{2 YM} = ^{Y₁ + Y₂} / ₂

Retta (Y = mx) passante per l'origine

Per due punti passa uno ed una sola retta.

Y = mx ↔ l'equazione della retta passante per l'origine

• Se passa per l'asse X → Y = 0
• Se passa per l'asse Y → X = 0

Riescrivi di: P: (x₁, y₁) ^Y / _X = m → Y = mx

Per disegnare:

• y - X

X Y

0 0

3 6

m è il coefficiente angolare, più è grande più la retta tende verso l'alto.

• X Y/0
• 1 / m

m positivo = m negativo =

Retta per due punti

A: (x₁, y₁), B (x₂, y₂)

Per determinare una retta:

Retta parallela ad una retta data e passante per un punto dato

Perpendicolare tra due rette

Esempio

Equazioni tangenti condotte da P esterno alla circonferenza

Circonferenza:

• x² + y² - 10y + 16 = 0
• con C (0; 5) e R = 3

Tangenti condotte in Q

• x² + y² - 10y + 16 = 0
• y = mx

Determiniamo le due rette tangenti

• y = 1/3x
• y = -3x

Equazioni tangenti condotta da un punto esterno alla circonferenza

• x² + y² = 25
• dal punto P (3; 1)
• con C O, R = 5

Determiniamo il fascio di rette passante per P

• y - 1 = m(x - 3)

Fascio di rette

• x² + y² = 25 = 0
• y - 1 = m(x - 3)

Determiniamo l'equazione della retta tangente

• y = -3/5 x + 25/4

La circonferenza passante per 3 punti

• O(0,0) A(6,0) B(0,3)
• x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0

Tangente per O (sostituire 0,0) nell'equazione c = 0

Tangente per A = 6g + c = -36

Tangente per B: 3f + c = -9

Sistema =

• c = 0
• 8g + 6a + f = -36
• 3f + c = -9

Sistemi:

• (1,0) 2f - 6
• f = 3

L'incognita x² + y² = 6x - 3y = 0

Disegno un'ellisse

a = 2   b = 1

a: distanza 2 unità a destra e sinistra di 2

b: distanza 1 unità in alto e in basso

ecc.

per rappresent.

• A₁(2,0) A₂(-2,0)
• B₁(0,1) B₂(0,-1)

Fiumi

Luoghi sommi - l'intero coordinato del cerchio

• ≥ ≥ 2: F₁=(-c,0) F₂=(+c,0)   c = √a² - b²
• ≥ ≤ 2: F₁=(0,-c) F₂=(0,+c)   c = √b² - a²
• a = b = 2 una circumferenza

Esercizio

Determinare coordinate resarie fuochi dell'ellisse

x² + y² = a

trasformare nell'equazione canonica

x²/a² + y²/b² = 1

a² > b²:

• A₁(2,0) A₂(-3,0) B₁(0,1) B₂(0,-1)
• somma che a = √a² - b²
• Luoghi sommi F₁=(-√a² - 1,0) F₂=(√a² - 1,0) F = (±√3,0)

Riscrivere l'equazione

x² + y² = a - 2 = 0

x²/a² + y²/b² = 1

Disegnare una parabola

Quozioni condotta: Verifica intersezioni con asse y e scriviamo anche con l'asse x

y = x² - 6x + 8

• Vertice: V(3, -1)
• Intersezione con y: C(0, 8)
• Quando x=0, y=8
• Intersezione con x (y=0)

y = x² - 6x + 8 => f=0, attraversa A(2, 0), B(4, 0)

Rette

Passano per A(0, -1), B(3, -1) e unione con la retta x=2

• Per A risolvente di gamma: c=-1
• Per B soluzione delta: 9a+3b+c=-1
• Con ruolo x=2 => X=-1/2a+1/2, risolviamo 6=> b, c, d=0

Se f!=0 ritorno a tre punti tutte le condizioni darmi solo confronto: molto tempo equivale alge...

{9a+3b+c=-1, 4+7b=0} Otteniamo l'equazione della retta

Intersezione con curva

• Due punti reali
• Un punto doppio

Definizione tra funzione e inversa di una funzione

• Funzione: funzione che moltiplicata con quella di potenza dà risultato 1
• Esponenziale:
  • y = x^m Se esponenziale, y = ¹⁄_x^m
• Inversa: si ottiene scambiando dominatore e denominatore (usata dx come y)
  • a^x = a^y ⇒ x = y ⇒ a^z = a^z ⇒ con esponente e esponenziale si usano i logaritmi
  • log_ay = log_ax ⇒ log_az = log_ay

Regola delle funzioni trigonometriche

• Si ottengono scambiando come base l’aria della x inversa da l’aria della x

• Tangente: tgα = ¹⁄_cotgα
• Seno: senα = ¹⁄_cosecα
• Coseno: cosα = ¹⁄_secα

• Trigonometria: si inverte con
  • sen, cos e tg

Relazioni tra funzioni trigonometriche

• Usiamo per trasformare somma in lavoro, somma in tangente e sec...
  • (senα)² + (cosα)² = 1
• Condizione:
  • Min sen = t + cos = 2 = 1

NON CONFONDERE

• Min²: quadrato min dell’angolo
• Min²: somma quadrati angoli più alti al min

Quindi si sommano molti esempi controdimostrati. tan min = sec + cos x (metodo inverse tangente)

IMPORTANTE