Analisi matematica - trigonometria

Teoria: Trigonometria

Un angelo è una regione di piano individuata da due semirette uscenti da uno stesso punto.

Radianti

Circonferenza di raggio 1 e centro l’origine

Dato una circonferenza un radiante è l’ampiezza di un angolo che sottende un’arco uguale al raggio.

Angolo giro misurato in radianti: 2πR = l

θ è positivamente orientato quando per superare la rotazione ci si muove in senso antiorario (negativamente → orario).

θ = π/2

θ = 3π/2

Elementi di Trigonometria

Un angolo è una regione di piano individuata da due semirette uscenti da uno stesso punto.

Radiante:

Circonferenza di raggio 1 e centro l'origine

Sia in circonferenza un radiante è l'ampiezza di un angolo che sottende un' arco uguale al raggio.

Angolo giro misurato in radianti: 2πr = l

θ è positivamente orientato quando "per sapere" si va "dare" in senso antiorario.

(negativamente → orario)

θ = π/2

θ = 3π/2

Senò, Coseno e Tangente

Senò (inizia dell'angolo)

1. sen ø
2. cos ø
3. tg ø

0 ≤ cos ø ≤ 1

• 0 ≤ sen ø ≤ 1

-1 ≤ cos ø ≤ 0

3π/2 ≤ ø ≤ 2π

cos ø = x/1

sen ø = y/1

da gradi in radianti:

øgradi/180 = øradianti/πrad

øgradi = øradianti * 180/πrad

Dato il' angolo misura in gradi e detto Θ il suo valore per ottenere il valore dell' angolo in radianti:

α = 180

α = 30°

→ di misura in radianti dell' angolo ∗ρ

∗ρ

_Θ¹ ∂∗∗∗∗

α = 60°

α = λ∗

∗∗ρ∂

∗

Tangentetg Θ > tg Θ

tg Θ non e definita in multipli interi

∗∗∗∗∗∗∗

sen Θ e cos Θ sono funzioni periodiche di periodo 2 π → ossia

assume gli stessi valori se l' angolo cambia da una

quantita' multiplo di an

sen Θ = sen(Θ +2kπ)

cos Θ = cos(Θ + 2kπ)

K = 0, ± 1, ± 2

tgθ = senθ / cosθ

cosθ = 0

θ = π/2

θ = 3π/2

π/2

La funzione tangente non è definita per θ = π/2, 3π/2, kπ

k = 0; ±1; ±2

Cosθ ² + Senθ ² = 1

Senθ ² = 1 - Cosθ ²

tgθ = senθ / cosθ

Cosπ/4 = Senπ/4 = 1/√2 = √2/2

Cosπ/6 = √3/2

Senπ/3 = √3/2

Cosπ/3 = 1/2

Senπ/6 = 1/2

sen(-θ) = -sen(θ)

tg(-θ) = -tg(θ)

cos(π - ϑ) = - cos ϑ

sen(π - ϑ) = sen ϑ

tg(π - ϑ) = - tg ϑ

cos(^π/₂ - ϑ) = sen ϑ

sen(^π/₂ - ϑ) = cos ϑ

tg(^π/₂ - ϑ) = ¹/_tg

Formule di addizione e sottrazione

cos(α + β) = cosα cosβ + senα senβ

cos(α - β) = cosα cosβ - senα senβ

sen(α + β) = senα cosβ + cosα senβ

cos² α - sen² α = 2 cos² α - 1 = 1 - 2 sen² α

sen(2ϑ) = 2 senϑ cosϑ

2 = ^π/₂

sen(2 ^π/₂) = 2 sen(^π/₂) cos(^π/₂) = 0

y = sen x intersezioni

senϑ =

cresc. in [0, ^π/₂]

decr. in [^π/₂, ^3π/₂]

y = tg_n

x = arctg_n

y = tg_n

tg(θ) = 0

funzione parity

monotona crescente

Funzioni Trigonometriche Inverse

Per invertire la funzione Sen devo restringere l'assegliamtounon intervallo in cui la funzione è iniettiva,

ossia m ∊ [-π/2, π/2].

Definiamo la funzione y = arcsen.

m ∊ [-1, 1] y = arcsen ⇔ Sen y = m

Per avere una funzione iniettiva (ossia invertibile) devo restringere il dominio all'intervallo [0, π].

Definiamo la funzione inversa di Cos, ossia dichiariamo

y = arccos ⇔ cos y = m y ∊ [0, π]

Dato la funzione y = tg_x essa è biiettiva se si costringe il dominio all'intervallo ( -π/2, π/2 )

∀ n ∈ ( -∞, ∞ )

y = arctg n n = tg_y

y ∈ ( -π/2, π/2 )

Esercizio:

• sen π/12 = 1/2 → d = π/6
• β₂ = (1, √3/2, 1/2)

Per risolvere sen_x = a deve essere -1 ≤ a ≤ 1

a = 3

y = 3 y

sen = 3/2. Non Attrente Soluzioni

Se -1 ≤ a ≤ 1 allora η₁ = arcosen_uη₂ = η₁ - arcosen_u ± 2kπ (u, xlù)

Per risolvere sen α

ovvero seno α

seno α se α<-1∨α>1

cosen:

tg n = 2

SE E SOLO SE:

^√_m - 2^√|>1

^√_n - 2

• se ^√_n - 2>0 & oslash; ^√_n>2
• se ^√_n - 2<0 ⁄ ^√_m<2

se ^√_n>2∴^√m∈3

0≤m≤4⇒^√m≤1∈

Quindi, m∈1 ln≤1 ✗

Esercizio

2 ∙ 3ⁿ - 3^t > 1

2 ∙ 4^n/3 - 3^n-t > 1

2 ∙ (1/t) - t > 1

t ₁ = 1/t

3ⁿ = t

3ⁿ = t

2 ∙ t² - t < 0

2 ∙ t² + t < 0

2 ∙ t + t < 0

t ≤ -1/2

t ≤ 0

C: t ≥ 0

3ⁿ ≤ 1/2

NO

3 ≤ n n ≤ 0

(3^2-n - 27)^t (1 - 4^n/2) > 0

(3² ∙ 3^-n - 3) ∙ (1/2)^2n/2 > 0

(3² (1/3)ⁿ 3³) ∙ (1/3)^2h) > 0

log₃ + log³ - log₃ =

=

= log₃ 2 · 7 = log₃ (7/2)

1. [log₉ (a + 5)] - 2 log₉ (a - 5) =

2. [log₉ a (a + 5) - 2 log₉ (a - 5) = 1 log₉ a² + 5a log₉ (a - 5)²

u. - log e₂ (a² + 5a)

e_{(a - 5)²} = log e₂ (a² + 5a)

     (a - 5)²)

3 [log₂ b - 2 (log e₂ log e₂ a)] = 3 [log₂ b]

     log e₂ (c log a²) = log e₂ b³

   a^{5 · 65}

log₂ 3 √b^1/2 = log₃ + log √a - log b = log₃ ±

                  log a - log b

log e₂

            √2_1/2 = log e₂ + log₂ (3 √² - log e₂)

log e₂ = 1 + 1 log₂ -1 log e₂ =

                           3/2

= 1 + 1/3 - 1 log e₂

    = 6 - 2 - 3 = 5

      6

    = 5

             6

√log = 1 + 1 √n log_n |

√16 - 8 √ⁿ

√^[3/2]

(2 log₃ n) < 2 back = 27 = 8 a ₃

      log a - log e 2 e log

2

23^[1/2]

Grafici di funzioni

Re_tta

• m > 0; q > 0

y = mx + q

m = tg α

• q < 0
• q > 0

Casi particolari

q = 0

y = mx

m > 0

y = m x

m = 0

y = q

q > 0

y = q

q < 0

Le rette parallele agli assi delle coordinate hanno equazioni

x = c

y = m₁x + q

y₂ = m₂x + q

y₂ - y₁ = m₂ - m₁

y₂ - y₁ = m(n₂ - n₁) = > n >> c'è t.s.

Esempio di moto circolare uniforme

y = ax² + bx + e

a > 0

a < 0

y₁ = an₁² + bn₁ + e

y₂ = an₂² + bn₂ + e

y₂ - y₁ = a(n₂² - n₁²) + b(n₂ - n₁)

dy: -a > 2ah₂i

Concavità verso il basso

Funzioni Potenza

y = axⁿ

n pari

• a > 0
• a < 0

Funzioni n fissa n pari

a > 0

Traslazione delle funzioni

Traslazione di K verso la direzione y.

Traslazione del grafico della funzione parallelamente all'asse delle ordinate.

y = f(x) + K con K > 0

y = f(x)

y = f(x) - K con K > 0

ESERCIZIO

Fare il grafico di y = 3x² - 3

y = -3x² + 2

y = 3x² + 2

y = 3x²

Traslazione del grafico parallelamente all'asse delle ascisse

y_s = f (x_s)

x_s = x - k

y_s = f(x - k)

Esempio:

y_s = (n - 3)²

n_s = n - 3

y_s = (n)²

Esempio:

y_e = (n + 2)