Goniometria e trigonometria

Goniometria

Scienza che studia gli angoli

Angolo = parte di piano delimitato da 2 semirette con l'origine in comune

Angoli

• Gradi

  • Sistema sessagesimale
  • Esempio: 53°, 3', 15''

• Radianti

  • L arco
  • L arco = l / r
  • 1 radiante = circa 57°

Passaggio da sessagesimale a sessadecimale

Esempio: 53°, 25', 16'' = 53, 2516°

1. I primi si dividono per 60
2. I secondi si dividono per 3600

Passaggio da sessadecimale a sessagesimale

Esempio: 28, 41° = 28°, 41', 12''

0, 41 · 60 = 24, 6' → 24'

0, 6 · 60 = 12

Le cifre decimali si moltiplicano sempre per 60

Lunghezza arco di circonferenza

L arco = 2π R

L arco = (L arco / π R)

Area settore circolare

A s / A c = α / 2π

A s = π r² · α / 2π

= (α r²)

A s = ½ l · r

Passaggio da gradi a radianti

α dei gradi = α · π / 180

α dei gradi = 180°

Esempio: 30° → π / 6

30 : x = 180 : π

x = 30 · π / 180 · 6

→ 2π / 2 → 80°

x : x = π / 2 · 180 : π

x = π / 2 · 180° / x = 90°

Goniometria

Scienza che studia gli angoli

Angolo = parte di piano delimitata da 2 semirette con l' origine in comune

Angoli

• Gradi
  • Sistema sessagesimalees. 50°, 3', 15''
  • Sistema sessadecimalees. 10,20°
• Radianti
  • l_arcol_arco = l/r

  1 radiante = circa 57°

Passaggio da sessagesimale a sessadecimale

es. 53° 25' 16'' = 53 + (25/60) + (16/3600)

1. Primi si dividono per 60
2. Secondi si dividono per 3600

Passaggio da sessadecimale a sessagesimale

es. 28, 41° = 28° 41' 12''0, 41 x 60 = 24, 60 → 24'0, 24 x 60 = 12''

(le cifre decimali si moltiplicano sempre per 60)

Lunghezza arco di circonferenza

l_arco = l/r = (α * d_s)/360°

Area settore circolare

A_s : A_c = α : 2πA_s = (α/2π) * π * r²A_s = 1/2 *l* r

Passaggio da gradi a radianti

d_gradi = 180° : π radianti

es. 30° → π/6

30 : x = 180 : πX = 30 * π / 180x = π/6

d_gradi → 80°

x : π = 2X = (π/2 * 180°) / πx = 90°

ANGOLI

• 0°
• 30°
• 45°
• 60°
• 90°
• 120°
• 135°
• 150°
• 180°
• 210°
• 225°
• 240°
• 270°
• 300°
• 315°
• 330°
• 360°

rad (pi rad)

• 0
• 1/6
• 1/4
• 1/3
• 1/2
• 2/3
• 3/4
• 5/6
• 1
• 7/6
• 5/4
• 4/3
• 3/2
• 5/3
• 7/4
• 11/6
• 2

CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

Circonferenza di centro O(origine) e raggio 1.

x^2 + y^2 = 1

Positivo es. α=30°

Negativo es. β=-30°

FUNZIONI GONIOMETRICHE

Sono funzioni che alla misura dell'ampiezza di ogni angolo associano un numero reale.

• FUNZIONE SENO

  sin x: R ➝ [-1,1]

  • è una funzione DISPARI ➝ sin(-x) = -sin x
  • grafico simmetrico rispetto all'ORIGINE
  • è una FUNZIONE PERIODICA, di periodo ²π
• FUNZIONE COSENO

  cos x: R ➝ [-1,1]

  • è una funzione PARI ➝ cos(-x) = cos x
  • grafico simmetrico rispetto all'ASSE Y
  • è una FUNZIONE PERIODICA, di periodo ²π

sinα = y_B

cosα = x_B

RELAZIONI FONDAMENTALI

1^a RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA

_seno²α + _cos²α = 1

1. cos²α = 1 - sen²α
   • cosα = ±√(1 - sen²α)
   • ±√(1 - sen²α) se α ∈ 1^o e 4^o quadrante
   • ±(1 - sen²α) se α ∈ 2^o e 3^o quadrante
2. sen²α = 1 - cos²α
   • senα = ±√