Goniometria e trigonometria

Goniometria

Scienza che studia gli angoli

Angolo = parte di piano delimitata da di semirette con l'origine in comune

Angoli

• Gradi
  • Sistema sesagesimale
    • es. 10, 20°
    • es. 53° 3' 15''
• Radianti
  • L_rad = l/r

π radiante = cc.a 57°

Passaggio da sexagesimale a sesagesimale

• es. 53° 25' 16'' = 53° 25, (16 / 60) (6 / 600)
• i primi si dividono per 60
• i secondi si dividono per 3600

Passaggio da sexagesimale a besexagesimale

• es. 89,3° -> 89° 18'

Le cifre decimali si moltiplicano sempre per 60

Lunghezza arco di circonferenza

• l_arco = 2π / c * l = (L_c - d_c) / r

Area settore circolare

• A_c = Q * π * 2A/2
• A_c = Q * π * r² / 2π
• A_c = 1/2 l_c * r

ANGOLI

^Å/sub> = 180°: π

• GRADI
• 0°
• 30°
• 45°
• 60°
• 90°
• 120°
• 135°
• 150°
• 180°
• 210°
• 225°
• 240°
• 270°
• 300°
• 315°
• 330°
• 360°
• RADIANI
• 0
• ^π/sub>
• ^π/sub>
• ^π/sub>
• ^π/sub>/2
• 2^π/sub>
• 3^π/sub>
• 5^π/sub>
• π
• 7^π/sub>
• 5^π/sub>
• 4^π/sub>
• 3^π/sub>/2
• 5^π/sub>
• 7^π/sub>
• 11^π/sub>
• 2^π/sub>

FUNZIONE TANGENTE DI X

Si indica con tanx oppure tgx

• Tanx: R - {π/2 + Kπ, K ∈ Z} → R
• È una funzione DISPARI
• È periodica di PERIODO π
• È SIMMETRICA rispetto all’ORIGINE

Tan(-x) = -tanx

FUNZIONE COSECANTE

È il RECIPROCO del SENO

COSECα = ¹/_senα

α ≠ Kπ, K ∈ Z

Periodo delle funzioni goniometriche

Se f(x) è una funzione periodica di periodo T, allora f(mx) è una funzione periodica di periodo

T = _T/^m

es.

• sen 5x

T₁ = 2π → T₂ = 2π/5

y = sen 5x - cos 3x

m.c.m (^6π/₁₅; ^10π/₁₅) = ^30π/₁₅ = 2π

• y = sen 4x - sen 2x - cos 3x

→ Per trovare il periodo devo trasformare

y = sen 4x - sen 2x - 2 cos 3x - sen x

= 3 sen x → periodo è 2π

GEOMETRIA ANALITICA SPAZIO

Lo spazio può essere rappresentato utilizzando 3 rette incidenti x, y, z, a due a due perpendicolari che si intersecano in un punto O (origine assi).

• PUNTO NELLO SPAZIO

P (x_p; y_p; z_p)

• 3 coordinate → 3 numeri reali

es. (punto O nell'R³)

A (0; 1; 3)

B (-3; 5; 0)

C (5; 0; -1)

O (2; 2; 3)

• Distanza tra 2 punti

A (x_a; y_a; z_a) B (x_b; y_b; z_b)

AB = √((x_b - x_a)² + (y_b - y_a)² + (z_b - z_a)²)

• Punto medio di un segmento

M (x_m; y_m; z_m)

x_m = (x_a + x_b)/2

y_m = (y_a + y_b)/2

z_m = (z_a + z_b)/2

Equazioni Goniometriche di Grado 2 nella forma a sen²x + b senx cosx + c cos²x = 0

Un'equazione goniometrica omogenea di 2° grado.

Soluzioni: senx = 0 e/o cosx = 0

1. a = 0 ∨ c = 0

Se a = 0:

b sinx (cosx) + c cos²x = 0

cosx (b sinx + c cosx) = 0

cosx = 0 [eq. elementare]

b sinx + c cosx = 0 [eq. lineare]

Se c = 0:

a sin²x + b sinx (cosx) = 0

sinx (a sinx + b cosx) = 0

sinx = 0 [eq. elementare]

a sinx (b cosx + b) = 0 [eq. lineare]

2. Se a ≠ 0 ∧ c ≠ 0

Divido i membri per cos²x

(a sin²x + b sinx cosx + c cos²x) / cos²x = 0 / cos²x

a tan²x + b tanx + c = 0

Oppure posso usare: Formule di duplicazione

sin²θ = (1-cos2x) / 2

cos²θ = (1+cos2x) / 2

sinx cosx = sin2x / 2