Tight binding approximation

Tight binding approximation

Elettroni legati

Costruire lo stato elettronico del sistema considerando come base le funzioni atomiche, come LCAO nelle molecole.

H_a ψ_l(r_l) = ε_j ψ_l(r_l) → per elettrone centrato nella regione.

L'hamiltoniano atomico è definito come:

H_a = - (ћ²/2m) ∇² + V_a (r - R)

Questo rappresenta il potenziale con cui gli elettroni sono legati al nucleo.

Quando si sposta un elettrone su un atomo coordinato nel reticolo cristallo, abbiamo:

H_a ϕ_l (r - R) ≅ ε_l ϕ_l (r - R)

L'autovalore non cambia.

L'Hamiltoniano è rappresentato come:

H_a (r - R) = - (ћ²/2m) ∇² + V_a (r - R)

Per la normalizzazione degli autovettori:

1/<&varphi;_i | &varphi;_j> = <&varphi;_i | &varphi;_j> δ_ij = 1 → autovettoriali normalizzate

Sistema complessivo in un cristallo

Considerare il sistema complessivo in un cristallo, in cui su ogni R c'è un atomo replica al quale è ridotto il problema:

H ψ_KE = ε_KE ψ_KE

ε_KE = <ψ_KE|Ĥ|ψ_KE>/<ψ_KE|ψ_KE>

Quando si aggiunge ΔV(r - R), non ci sono autovalutazioni:

ψ_jA e posto di ψ_KE pensando &varphi;_l ≈ A ψ_KE → ε_KE = <&varphi;_l|Ĥ|&varphi;_l>/<&varphi;_l|&varphi;_l>

Il principio variazionale è importante, e Ψ_K e Φ_R devono obbedire al teorema di Bloch (siamo in un cristallo).

Localizzazione degli elettroni

Assumendo una certa localizzazione degli elettroni nel nucleo, si prende una combinazione lineare degli autovettori atomici (orbitali dello stesso tipo):

Φ_K(r) = ∑_Ri a(R_i) φ(r - R_i)

H_a &varphi;_l = ∑_i ε_l e^{-i k • R_i} &varphi;_l e^{i G • R_i} periodiche in k

φ_i(r - R_i) = φ_j(r)

Tight binding approximation (Bloch 1928)

Costruire autostati del sistema considerando come base le funzioni atomiche, come LCAO nelle molecole.

H_a ψ_i(r-R) = ε_jψ_i(r-R) - per elettrone centrato nella regione

Hamiltoniano atomico:

H_a = ^p2/_2m + V_a(r-R)

ε_j è il potenziale con cui gli elettroni sono legati al nucleo.

Spazio degli elettroni su un unico coordinato nel reticolo diretto:

H_a φ_i(r-R) = ε_i φ_i(r-R)

L'autovalore non cambia.

H_a(r-R) = ^p2/_2m + V_a(r-R)

∑_R'≠R V_a(r-R')+ ΔV(r-R)