Tesina Modelli e metodi numerici trasporto refrigerato

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria meccanica

Corso di Modelli e metodi numerici

A.A 2019/2020

Indice

1 Introduzione __________________________________________________________________ 3

2 Descrizione del problema ________________________________________________________ 3

3 Descrizione del modello: dominio e condizioni al contorno ______________________________ 6

4 Formulazione discreta del problema ________________________________________________ 7

4.1 Instabilità numerica ________________________________________________________________ 9

5 Soluzione stazionaria ___________________________________________________________ 9

6 Problema transitorio ___________________________________________________________ 11

7 Considerazioni supplementari e modifica dei parametri _______________________________ 13

INDICE DELLE FIGURE

Figura 1- Geometria del modello _____________________________________________________________________ 4

Figura 2-Condizioni al contorno ______________________________________________________________________ 7

Figura 3- Flusso logico seguito per il codice MATLAB______________________________________________________ 9

Figura 4-Mesh ___________________________________________________________________________________ 10

Figura 5-soluzione non stabilizzata ___________________________________________________________________ 10

Figura 6- soluzione stazionaria stabile in 2D (sopra) e in 3D (sotto) _________________________________________ 11

Figura 7- Legge di variazione della temperatura ________________________________________________________ 12

Figura 8- Soluzione problema transitorio ______________________________________________________________ 13

Figura 9- Soluzione con variazione dei materiali ________________________________________________________ 14

Figura 10- soluzione con variazione di geometria 1 ______________________________________________________ 14

Figura 11- soluzione con variazione di geometria 2 ______________________________________________________ 15

Figura 12- soluzione con variazione di velocità _________________________________________________________ 15

1 Introduzione

L’argomento analizzato in questa tesina è la risoluzione di un problema di diffusione-convezione termica

L’equazione

applicato al caso particolare di un furgone per il trasporto refrigerato dei cibi. generale per la

risoluzione del problema è la seguente:

( + ∇ ) − ∇(∇) = 0

Il problema verrà risolto tramite l’implementazione di un codice MATLAB procedendo con la

condizione stazionaria e l’applicazione di un metodo

discretizzazione tramite elementi finiti per risolvere la

di avanzamento in tempo per studiare un problema transitorio.

2 Descrizione del problema = 38°.

Si analizza un furgone per il trasporto refrigerato dei cibi esposto ad una temperatura esterna

La temperatura all’interno del furgone è mantenuta costante a = -18°C da un sistema di distribuzione

dell’aria

che fluisce con una velocità assiale = 1,855 m/s e ad una temperatura di = -28°C. Il

pari all’intera lunghezza

sistema di distribuzione è puramente a soffitto ed ha una lunghezza L del

semirimorchio.

Siccome il comparto ha un’unica temperatura di esercizio ed il pianale del rimorchio è piano, il carico deve

è scelto un pallet EURO1 di dimensioni 0,8x1,2 m ed un’altezza massima

essere impilato su pallet. Per cui si

di carico di 1,5 m, al di sopra del quale sono posizionate delle scatole.

Le dimensioni utilizzate sono:

L = 7.38 m Lunghezza del rimorchio

h = 0.2 m Altezza linea di adduzione

h_pallet = 0.12 m Altezza pallet

a_pallet = 1.2 m Larghezza pallet

h_scatola = 0.3 m Altezza scatola cartone

s_scatola = 0.3 m Larghezza scatole cartone

La forma complessa del furgone è stata schematizzata come un canale di dimensioni Lxh con due strutture

con diversi carichi; la prima risulta dalla sovrapposizione del pallet sopra citato, di 3 file di scatole ed una

scatola posizionata in alto, come carico si è scelto il salmone. Il secondo carico ha una struttura formata da

due pallet uniti con due file di scatole al di sopra, come carico si è scelto i broccoli. In seguito, si faranno

ulteriori supposizioni su materiali e geometria.

Figura 1- Geometria del modello

Dal punto di vista fisico si osservano due fenomeni:

si manifesta come scambio di energia termica all’interno di corpi o tra corpi

1. La conduzione termica

solidi, liquidi o gassosi, in contatto tra di loro, senza movimento macroscopico di materia.

In particolare, la differenza di temperatura causa un flusso di potenza termica attraverso la sezione;

si riscontra quindi una proporzionalità tra i termini.

Il fattore di proporzionalità è detto coefficiente di conduzione termica o conduttività termica del

λ. Tale coefficiente è una proprietà fisica del materiale e ne

materiale caratterizza il

comportamento, si misura in W/(mK).

2. Per si intende la modalità di scambio termico che avviene tra un fluido e un solido con

convezione

movimento macroscopico di materia. Il termine di proporzionalità tra il flusso termico, sezione e

differenziale di temperatura è viene detto coefficiente di scambio termico per convezione la cui

2

unità di misura è W/ K.

Esso dipende da numerosi parametri fisici che descrivono il comportamento del fluido a contatto

Pertanto, nel caso più generale α è una funzione dipendente dalle

con la superficie solida.

del fluido (λ, ρ, cp, μ), dalla configurazione geometrica rappresentata dalla così

proprietà fisiche

detta dimensione caratteristica (L) e dalla velocità con cui il fluido si muove (w ).

∞

Per calcolare il flusso termico scambiato tra la base del furgone e l’esterno bisogna considerare la

convezione forzata dell’aria a e la convezione naturale dell’aria esterna a 38°C;

-28°C nel canale il

coefficiente di scambio termico si calcola tramite alcuni parametri adimensionali. Il numero di

Reynolds, il primo, può essere interpretato come il rapporto tra le forze di inerzia e le forze viscose:

∗ ∗

∞

=

Il numero di Prandtl è espresso come rapporto fra la diffusività della quantità di e la diffusività

termica, corrispondente anche al rapporto tra lo spessore dello strato limite di velocità e quello

dello strato limite di temperatura. ∗

Pr =

Infine, il numero di Nusselt il rapporto tra la quantità di calore scambiato per conduzione e la

quantità di calore scambiato per convezione. ∗

=

Tra i parametri adimensionali introdotti, esiste una relazione determinata empiricamente data da:

= ∗ ∗

dove le costanti C, n, m dipendono dalla configurazione geometrica e del flusso (laminare o

turbolento), in questa applicazione sono 0,037, 4/5 e 1/3.

Si parla di convezione naturale quando essa dipende unicamente da differenze di densità dovute a

gradienti di temperatura. La determinazione del coefficiente di scambio termico convettivo avviene

tramite la definizione di alcuni parametri adimensionali, il primo è il Numero di Grashoff Gr:

3

∗ ∗ ∗ ∆

= 2

Dove: β è

• il coefficiente di dilatazione termica [1/K];

2

g è l’accelerazione di gravità [

• /s];

2

ν è la viscosità cinematica [

• /s];

Una volta determinato Gr in funzione delle proprietà fisiche del fluido in esame e delle condizioni al

contorno è possibile procedere al calcolo del numero di Nusselt dopo aver individuato la relazione

funzionale adeguata alla configurazione geometrica e al tipo di moto.

Poiché per la convezione naturale l'esponente di Gr e Pr è lo stesso si è soliti raggruppare i due

parametri adimensionali in un unico numero, chiamato Numero di Rayleigh (Ra), dato dal prodotto

dei due. La relazione che intercorre quindi tra i due parametri adimensionali è:

= ∗ ( ∗ Pr )

Nel caso in esame i coefficienti assumeranno i valori:

• superficie laterale verticale: C=0,46 e n=1/3

• superficie orizzontale superiore: C=0,54 e n=1/4

• superficie orizzontale inferiore: C=0,15 e n=1/3

Gli altri parametri fisici necessari ai fini del calcolo sono il calore specifico a pressione costante (cp) e la

per l’aria si sono

densità (ρ); ricavati questi parametri da tabelle per interpolazione, mentre per gli alimenti

sono stati considerati le percentuali di Proteine, Grassi, Carboidrati, Fibre, Ceneri e Acqua contenute negli

alimenti e sono stati calcolati quei parametri tramite le indicazioni della normativa ASHRAE Handbook

Refrigeration.

Infine, il flusso termico per unità di area attraverso il pavimento, viene calcolato come rapporto tra la

variazione di temperatura tra l’ambiente esterno ed il canale e la sommatoria delle resistenze di scambio

termico conduttivo e convettivo.

alfa_18_vert1 = 8.58 W/m^2K Coefficienti di scambio convettivo pareti

orizzontali e verticali pallet 1 e 2

alfa_18_or1 = 1.93e-3 W/m^2K

alfa_18_vert2 = 8.58 W/m^2K

alfa_18_or2 = 2.54e-3 W/m^2K

alfa_28 = 4.23 W/m^2K

psi = 14.13 W/m^2

lambda_aria_28 = 0.0219 W/mK Coefficienti di scambio conduttivo

lambda_salmone = 0.531 W/mK

lambda_bloccoli = 0.385 W/mK

Calori specifici

cp_broccoli = 1981 J/kgK

cp_salmone = 1968 J/kgK

cp_aria_28 = 1003 J/kgK

Densità

rho_broccoli = 1022.81 kg/m^3

rho_salmone = 1030.71 kg/m^3

rho_aria_28 = 1.45 kg/m^3

3 Descrizione del modello: dominio e condizioni al contorno

Il dominio considerato è quindi l’insieme del canale e dei due pallet sopra descritti. Per risolvere

l’equazione del calore è opportuno assegnare come condizioni al contorno in ogni punto del bordo per

ogni tempo t, ed una condizione di tempo, tipicamente quella iniziale.

Il bordo viene suddiviso in più segmenti; in particolare sarà necessario un bordo in cui assegnare una

condizione all’ingresso, detto bordo di Dirichlet, il quale è caratterizzato dal fatto che:

{

= ∈ ∶ ∙ < 0}

Su questo bordo verrà imposta la temperatura iniziale = -28°C.

Mentre sul bordo caratteristico lungo il quale scorre il fluido vengono imposte condizioni di Robin e

Neumann: {

= ∈ ∶ ∙ ≥ 0}

a contatto con l’aria

Per quanto riguarda la condizione di Neumann, siccome la parete inferiore del canale è

.

esterna, vi sarà un flusso termico pari a

Mentre, per quanto riguarda la condizione di Robin, essa viene imposta tramite la temperatura

dell’ambiente interno al furgone α.

= -18°C ed il coefficiente di scambio conduttivo

̅

Definito Ω ] l’intervallo di tempo,

il dominio e [0, il problema può essere scritto come:

̅

( + ) − () = 0 Ω, 0 < ≤

= −28°

=

= ( − )

(, Ω

0) = ()

{ 0

In figura è mostrata la visualizzazione delle condizioni al contorno imposte al dominio:

Figura 2-Condizioni al contorno

4 Formulazione discreta del problema

Nella sua forma generale, con u come incognita, il problema si presenta come:

̅

+ − ∆ = 0 Ω, 0 < ≤

=

=

− =

(, 0) = Ω

()

{ 0

Definendo lo spazio degli spazi ammissibili come:

̅

° ( = 0 ∀

= ∈ Ω

) ∶ | ∈ ℙ () ∀ ∈ , ∈ }

{

ℎ(0) 1

)

(

̅

° (<