Metodi numerici e modelli matematici - 50 di 139

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Appunti di Metodi numerici basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof. Francomano dell’università degli Studi di Palermo - Unipa, facoltà di …

Esame Metodi numerici

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Francomano Elisa

Università Università degli Studi di Palermo

A.A. 2018-2019

50 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Introduzione ai metodi matematici e numerici

La modellistica di un fenomeno si suddivide in quattro fasi:

Analisi del fenomeno: attraverso semplificazioni, analogie ed astrazioni si effettua un'analisi quantitativa.
Analisi del modello: si ricerca esistenza, regolarità e unicità e quindi si effettua un'analisi qualitativa.
Individuazione del metodo
Implementazione

Analisi dell'errore

Quando i risultati di un algoritmo possono considerarsi attendibili allora l'algoritmo si dice stabile. Un problema si dice problema mal condizionato se piccole variazioni sui dati inducono grandi variazioni sul risultato.

Complessità computazionale: numero di operazioni elementari che caratterizzano l'algoritmo. Per la risoluzione di un problema si possono applicare algoritmi diversi più o meno complessi.

Ad esempio, per il calcolo del polinomio P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_mx^m in un punto x, si possono seguire i seguenti algoritmi:

Algoritmo 1

P = a₀
y = x
PER i = 1, ..., m-1
- P = P + a_iy
- y = yx
P = P + a_my

Algoritmo 2 (Ruffini-Horner)

P = a_m
PER i = 1, ..., m
- P = P x + a_m-i

Rappresentazioni Floating Point

Con x ∈ ℝ x = sgn(x) 0.d₁d₂...d_t ● β^p = 1.mβ^p dove β = base, p = esponente, m = d₁d₂...d_t mantissa, 0 ≤ d_i ≤ β - 1.

L'unicità della rappresentazione è garantita da d₁ ≠ 0, β = in rappresentazione normalizzata, 1/β ≤ m < 1.

32 Bit (Singola Precisione)

| s | - 8 p - | 23 m |
-127 ≤ P ≤ 128
P ∈ [L, U]

64 Bit (Doppia Precisione)

| s | - 11 p - | 52 m |
-1023 ≤ P ≤ 1024
P ∈ [L, U]

Numeri di macchina

Sono tutti i numeri rappresentabili esattamente in floating point. ℑ(β, t, L, U) = { x ∈ ℝ | x = sgn(x) 0, d₁...d_t β^e ∧ 0 ≤ d_i ≤ β-1 ∧ L ≤ e ≤ U }

Se x ∉ ℑ bisogna effettuare un'approssimazione per cui ẋ = m·β^e ∈ ℑ

Troncamento (Chopping)

m = 0.d₁d₂...d_td_t+1...d_s ⇒ ẋ = m(m) = 0.d₁d₂...d_t

Errore assoluto E_A = ẋ - x

Errore relativo E_R = ^{ẋ - x}/_x

Esempio

m	ẋ	\|ẋ - m\|
0.14	0.1	0.04
0.12	0.1	0.02
0.15	0.1	0.05
0.19	0.1	0.09

|E_A| = |ẋ - x| = |ẋβ - mβ^e| = |ẋ - m| β^e 1-t β^e = β^e+t

|E_R| = ^{|ẋ - x|}/_|ẋ| = ^{|ẋβ - mβ^e|}/_|mβ^e| = ^{|ẋ - m|}/_|m| 1-t

POICHÉ ¹/_β ≤ m 1/_m ≤ β

Arrotondamento (Rounding)

(x) = β^pm̃ = (m) se d_t+1 (m + 1/2 β^t) se d_t+1 ≥ β/2

Esempio

m	m̃	\|m̃ - m\|
0.11	0.1	0.01
0.12	0.1	0.02
0.15	0.2	0.05

Altri argomenti

Analisi dell'errore
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