Metodi numerici e modelli matematici - 139 di 139

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Appunti di Metodi numerici, corso tenuto dalla prof Elisa Fracomano basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof. Francomano dell’università degli Studi …

Esame Metodi numerici

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Francomano Elisa

Università Università degli Studi di Palermo

A.A. 2018-2019

90 pagine

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Estratto del documento

ESEMPIO

m = 3

x₁^(k) = (b₁ - a₁₂x₂^(k-1) - a₁₃x₃^(k-1))/a₁₁

x₂^(k) = (b₂ - a₂₁x₁^(k) - a₂₃x₃^(k-1))/a₂₂

x₃^(k) = (b₃ - a₃₁x₁^(k) - a₃₂x₂^(k))/a₃₃

Se A è a predominanza diagonale per righe o per colonne allora Gauss-Seidel converge (più velocemente rispetto a Jacobi)

4x₁ + x₂ = 6
3x₁ + 2x₂ = 7

x = (1, 2) A = (4 1, 3 2) b = (6, 7)

kk = 1k = 2k = 3x₁1,51,491,07→ 1x₂1,251,721,89→ 2

Esempio

m=3

x₁^(k) = b₁ - a₁₂x₂^(k-1) - a₁₃x₃^(k-1) / a₁₁

x₂^(k) = b₂ - a₂₁x₁^(k) - a₂₃x₃^(k-1) / a₂₂

x₃^(k) = b₃ - a₃₁x₁^(k) - a₃₂x₂^(k) / a₃₃

Se A è a predominanza diagonale per righe o per colonne allora Gauss-Seidel converge (più velocemente rispetto a Jacobi)

4x₁ + x₂ = 6

3x₁ + 2x₂ = 7

x = (¹/₂)

A = (^{4 1}/_{3 2})

b = (⁶/₇)

k=1

x₁ = 1,5 → 1,9 → 1,07 → 1

x₂ = 1,25 → 1,72 → 1,89 → 2

Metodi di Rilassamento

Per la risoluzione di sistemi lineari Ax=b

A=N-D, M=D

> M^-1N=-(D-P)^-1

(D-P)x^(k) = Nx^(k-1) + b > x^(k+1) = (D-P)^-1Nx^(k) + (D-P)^-1b

Gauss Seidel fa parte della classe dei metodi di rilassamento ovvero tutti quei metodi in cui:

x^(k) = x^(k+1) + ωv_k

ω = parametro di rilassamento

v_k = x^(k) - x^(k-1)

x^(k) = x^(k-1) + ω(x^(k) - x^(k-1))

x^(k) = x^(k-1) + ω[(D-P)x^(k) + (D-N)x^(k-1) + (D^-1b) - x^(k-1)]

D_x^(k) = D_x^(k-1) + ωPx^(k) + ωNx^(k-1) + ωb - ωDx^(k-1)

(D-ωP)x^(k) = [ (1-ω)D + ωN ]x^(k-1) + ωb

x^(k) = (D-ωP)^-1[(1+ω)D + ωN] x^(k-1) + (D-ωP)^-1ωb

Matric Iterazione

Per ω = 1 abbiamo proprio il metodo di Gauss-Seidel

Al variare di ω si generano i vari metodi di rilassamento

ω=1 → Gauss-Siedelω>1 → sovrarilassamentoω<1 → sottorilassamento

Teorema di Kahan

0<ω<2 è condizione necessaria per la convergenza.Se A è simmetrica definita positiva allora 0<ω<2 è c.n.s. di convergenza.

Esempio

(7, 4, -7-4, 5, -37, -3, 8)b=(4,6,-2)

ω_opt=1,531281Valori ottimali di ω ϴ con toll=10^-5In ω=ω_opt converge in k=35In ω=1 converge in k=119Con Jacobi: non converge

RICERCA DEGLI AUTOVALORI

Data la matrice A ∈ ℝ^m×m

Sono autovalori i valori λ_i tali che:

Ax = λx

dove x è autovettore di A relativo a λ_i (x ≠ 0)

Si ha che:

(A - λI)x = 0 e i λ_i sono le radici

del polinomio caratteristico P(A) = det(A - λI) = 0

P(λ) = (-1)^m λ^m + (-1)^m-1 c₁ λ^m-1 + ... + (-1)⁰ c_m = 0

N.B.:

c₁ = tr(A) = ∑_i=1^m a_ii

c_m = det(A) = Π_i=1^m λ_i

quindi: det(A) ≠ 0 (non singolare) ⇒ λ_i ≠ 0

ρ(A) = max |λ_i| _{1 ≤ i ≤ m} raggio spettrale

Si considera che:

se B = S^TAS A e B sono ortogonali e hanno

gli stessi autovalori. Infatti:

det(B - λI) = det(S^TAS - λI) = det(S^TAS - λS^TS) =

= det[S^T(A - λI)S] = det(S^T) det(A - λI) det(S) =

= det(S^TS) det(A - λI) = det(A - λI) ⇒ P_A(λ) = P_B

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