Tesina equazioni integrali, con particolare riferimento ai nuclei di Pincherle-Goursat

G

*



  



( x ) K ( x , y ) ( y ) dy (4.21)

G

 

(dove ) sono dette aggiunte all’ equazione (F.2) ed alla sua omogenea

K ( x , y ) K ( x , y )

rispettivamente. 44

Anno accademico 2003/2004 Equazioni integrali



Il nucleo K ( x , y ) si dice nucleo coniugato aggiunto al nucleo . Il nucleo è

K ( x , y ) K ( x , y )

  

detto hermitiano se K ( x , y ) K ( x , y ) , cioè se ovunque.

K ( x , y ) K ( x , y )

Ovviamente un nucleo reale e simmetrico è anche hermitiano.

4.4.5 Riduzione di un’equazione a nucleo non simmetrico ad una a nucleo

simmetrico

Si consideri l’equazione 

  

  (4.22)

f ( x ) ( x ) k ( x , y ) ( y ) dy

e si ponga 



  (4.23)

F ( x ) f ( x ) k ( y , x ) f ( y ) dy

allora per la (4.22) si ha  

  

      

   

F ( x ) ( x ) k ( x , y ) ( y ) dy k ( y , x )

dy ( y ) K ( y , z ) ( z ) dz

 

 

 

   

 

   

( x ) ( y ) dy K ( x , y ) K ( y , x ) k ( z , x ) K ( z , y )

dz

 

 

16

dove l’ultimo passaggio si ottiene scambiando y con z. Con la posizione



  

Q ( x , y ) K ( x , y ) K ( y , x ) A

( x , y ) (4.24)





A

( x , y ) K ( z , x ) K ( z , y )

dz

la (4.23) si può riscrivere come segue

16 Per come è definito A(x,y) è simmetrico, e quindi anche Q(x,y) lo è.

45 Anno accademico 2003/2004

Equazioni integrali 

  

  (4.25)

F ( x ) ( x ) Q ( x , y ) ( y ) dy

La (4.25) è pertanto un’equazione integrale a nucleo simmetrico. Ogni soluzione della (4.22)

soddisfa anche la (4.25); inoltre se la prima è omogenea, lo è pure la seconda, visto che f(x) = 0

implica F(x) = 0.

4.6 Metodo delle approssimazioni successive

4.6.1 Specificazioni preliminari

Per alcuni sviluppi è utile una scrittura abbreviata delle precedenti equazioni integrali. Esse

saranno scritte in forma contratta utilizzando la notazione d’operatore

     

  

  (4.26)

f ,

 

     

  

 

g , (4.27)

 





dove gli operatori integrali e sono determinati dai nuclei e K ( x , y ) rispettivamente;

K ( x , y )

essi operano, come è evidente, nel modo che segue  

 

 

 

( f )( x ) k ( x , y ) f ( y ) dy , ( f )( x ) k ( x , y ) f ( y ) dy ,

G G L (

G ) , L (

G ) ,

In appendice sono riportate le definizioni di norme degli spazi di Banach 1 2

L (

G ) e e del prodotto scalare in L (G), essi si ritroveranno negli argomenti trattati nei

C ( G ) 2



prossimi paragrafi. 46

Anno accademico 2003/2004 Equazioni integrali

4.6.2 Equazioni di II specie e serie di Neumann

Il metodo classico per cercare la soluzione dell’equazione di F di II specie, non

REDHOLM

omogenea, è basato su un procedimento di approssimazioni successive.

Prendendo come approssimazione zero la soluzione

  f ( x )

0

si costruisce la soluzione di prima, seconda, n-sima approssimazione per sostituzioni

successive nella prima delle (4.26), ottenendo

  



 

( x ) f ( x ) ( x )

1 0

    

  

     2 2

( x ) f ( x ) ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x )

2 1 (4.28)

..........

    

  

      n n

x f x x f x f x f x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )



1

n n

Si vuole ora dimostrare che P



 

 



j j

( x ) f ( x ) P 0, 1, 2, .... (4.29)

n  0

j

  

j

dove denotano le potenze j-esime dell’operatore . Per farlo si noti come per , la formula

p 0

  

f ( x ) . Supponendo che questa formula si valida per p e sostituendo al

(4.29) è valida: p 1

0 

posto di p nella successione di ricorrenza (4.28), si ottiene la formula (4.29) calcolata in p 1



  

P P P 1

 

h h j j j j

1 1

     

      

     

f f f f f f



p p

1   

h j j

0 0 0

Dal principio di induzione matematica discende quindi che la formula (4.29) è valida per tutti

i valori di p. 

 P f ( x ), p 0,1, 2...

Le funzioni , sono dette iterazioni della funzione (x).

f

47 Anno accademico 2003/2004

Equazioni integrali  G

Secondo il (V.Appendice), le iterazioni di sono continue su e, in

f C (

G )

lemma 1

virtù della disuguaglianza (A.2) contemplata nello stesso lemma 1, soddisfano la disuguaglianza

 

 

  

   

P P 1 P 1 P

f f Mm

(

G

) f ( Mm

(

G

)) f C

C C

C

cioè  

 P P

f ( Mm (

G )) f p 0, 1, 2, ... (4.30)

C

C

Da questa disuguaglianza segue che la serie



  



j j

( f )( x ) x G (4.31)



j 0

detta serie di Neumann, è maggiorata dalla serie numerica f



 j

 

j C

f Mm G

( ( )) (4.32)





C Mm G

1 ( )



j 0

 ,



che converge nel cerchio di raggio . Perciò, per questi valori di la serie (4.31) è

| | 1/ Mm ( G ) 



x G , definendo così una funzione

uniformemente (infatti lo è totalmente) convergente in ( x )

 ( )

p

G

continua . Ciò vuol dire, in virtù della (4.29), che le approssimazioni successive ( x ) per



  tendono in modo uniforme alla funzione :

p x

( )

( P )

 

 

( x ) ( x ) 0

max

lim (4.33)

  

P x G

ed, inoltre, in virtù della (4.32), è valida la disuguaglianza

48

Anno accademico 2003/2004 Equazioni integrali

f

  C (4.34)





C 1 Mm (

G )

 verifica l’equazione integrale (F.2) si consideri il limite

Per dimostrare che la funzione x

( )

 

per nella relazione di ricorrenza (4.28), utilizzando la convergenza uniforme della

p   G

successione a su , si ottiene:

x

( x ) ( )

p 

     

( p ) ( p 1)

     

    

  

x ( x ) K x , y ( y ) f ( x ) K x

, y ( y ) f ( x )

lim lim

 

p p

G GG

Volendo anche dimostrare l’unicità della soluzione di detta equazione nella classe L (G),

1

 

(G), ) se , è sufficiente dimostrare che l’equazione omogenea

(oppure L C ( G ) Mm G

| | 1/ ( )

2

associata ha, in L (G), una sola soluzione nulla.

1

   

  

( x ) L (

G ) è una soluzione dell’equazione omogenea, cioè , si ha,

Infatti se 0 1 0 0

secondo il Lemma 2     

 

|| || | ||| K || | | Mm ( G ) || ||

0 1 0 1 0 1

 

 || ||

 , deriva =0 cioè = 0, ovvero quanto si

da cui, grazie alla disuguaglianza Mm G

| | ( ) 1 0 1 0

doveva dimostrare. Il seguente teorema riassume i risultati sinora ottenuti. 17

Ogni equazione integrale di Fredholm di II specie con nucleo continuo per

K x y

( , )

Teorema 4.1 

 

 , ha un' unica soluzione nella classe per un termine noto

C ( G ) f C (

G )

Mm G

| | 1/ ( )

qualsiasi. Questa soluzione è rappresentata nella forma della serie di Neumann (4.31)



x G

uniformemente convergente in e soddisfa la disuguaglianza (4.34).

Si è quindi passati a dover studiare le proprietà della serie Neumann, le quali chiaramente

dipendono dal tipo di nucleo K. Per comprendere allora la possibilità di risolvere l’equazione di

17 Per i nuclei l’aggettivo continuo sta ad indicare che essi sono funzioni continue in GG.

K ( x , y ) 49 Anno accademico 2003/2004

Equazioni integrali

F di II specie è fondamentale esaminare una delle classi più importanti di nuclei, quella

REDHOLM

dei nuclei di Pincherle-Goursat.

5. Nuclei di Pincherle-Goursat (o degeneri)

Interrompendo momentaneamente la teoria generale, si entra nel vivo di un caso particolare

estremamente interessante in cui la risoluzione dell’equazione di F di II specie si riduce ad

REDHOLM

un problema elementare.

Va innanzitutto detto che con la denominazione di nuclei di Pincherle-Goursat (o degeneri )

si intendono tutti quei nuclei che assumono la forma

N





K ( x , y ) X ( x )

Y ( y ) (5.1)

h h



1

h

ovvero essi sono esprimibili come somma di prodotti di funzioni della sola x per funzioni della

N

 

sola y. Senza perdere di generalità si può assumere che i sistemi di funzioni e

X ( x )

h 

1

h

N

  siano linearmente indipendenti. Infatti, se così non fosse, si avrebbe, per esempio

Y ( y )

h 

1

h 

 

N 1



     

X ( x ) c X ( x ) ... c X ( x ) c X ( x )

 

N 1 1 N 1 N 1 h h

 

 



h 1

ed il nucleo K(x,y), in virtù della definizione (5.1), assume la forma

 

 

N 1 N 1

 

   

K ( x , y ) X ( x )

Y ( y ) c X ( x ) Y ( y )

h h h h N

 

 

 

h 1 h 1

50

Anno accademico 2003/2004 Equazioni integrali

Procedendo in modo simile si giunge, dopo un numero finito di passi, ad una situazione nella

N N

   

quale e risulterebbero linearmente indipendenti, violando quindi l’ipotesi

X ( x ) Y ( y )

h h

 

h h

1 1

iniziale. Tale assurdo rassicura sul fatto che l’ipotesi di lineare indipendenza non è restrittiva.

di II specie non omogenea, si

Si procede ora inserendo la (5.1) nell’equazione di F

REDHOLM

ha N

 

  

 

f ( x ) ( x ) X ( x ) Y ( y ) ( y ) dy (5.2)

h h



1

h G

ne segue N



 

 

( x ) f ( x ) q X ( x ) (5.3)

h h



1

h

quanto segue

avendo inteso con le costanti Q

h  



q Y y y dy (5.4)

( ) ( )

h h

G



Tali costanti, dip