Tesina equazioni integrali, con particolare riferimento ai nuclei di Pincherle-Goursat

Equazioni integrali

U R T

NIVERSITÀ DEGLI STUDI OMA RE

Facoltà di Ingegneria

Corso di Laurea in Ingegneria elettronica

Tesina per il corso di Equazioni differenziali

“E ”

QUAZIONI INTEGRALI

con particolare riferimento ai nuclei di Pincherle – Goursat

Studente

Docente titolare del corso Massimo MINÁ

Prof. Andrea Laforgia A 2003/2004

NNO ACCADEMICO Anno accademico 2003/2004

Equazioni integrali I NDICE

......................................................................................... pag. 8

P

RESENTAZIONE DEL LAVORO C 1

APITOLO pag. 9

T

EORIA DELLE EQUAZIONI INTEGRALI

................................................................................................................. pag. 10

I

1. NTRODUZIONE ............................................................... pag. 12

V

E

2. QUAZIONI DI OLTERRA DI SECONDA SPECIE

2.1 Risoluzione dell’equazione integrale.......................................................................... » 12

2.2 Nuclei iterati e nucleo risolvente................................................................................ » 15

2.3 Unicità della soluzione................................................................................................ » 19

2.4 Esempio numerico...................................................................................................... » 20

.................................................................... pag. 22

V

E

3. QUAZIONI DI OLTERRA DI PRIMA SPECIE

3.1 Riduzione ad un’equazione di seconda specie............................................................ » 21

 » 23

3.2 Equazioni in cui il nucleo K(x,y) è un polinomio e K(0,0) 0...................................

3.3 Esempio numerico...................................................................................................... » 25

2

Anno accademico 2003/2004 Equazioni integrali

.............................................................. pag. 26

E F

4. QUAZIONI DI REDHOLM DI SECONDA SPECIE

4.1 Risoluzione dell’equazione mediante nucleo risolvente............................................. » 26

4.2 L’equazione integrale vista come limite di un sistema d’equazioni lineari................ » 28

4.2.1 Osservazioni e conclusioni................................................................................ » 37

4.3 Esempio numerico...................................................................................................... » 37

4.4 Classificazione dei nuclei........................................................................................... » 38

4.4.1 Nuclei simmetrici............................................................................................... » 39

4.4.2 Nuclei emisimmetrici......................................................................................... » 41

4.4.3 Nuclei simmetrizzabili....................................................................................... » 41

4.4.4 Nuclei hermitiani ed equazioni integrali aggiunte............................................. » 43

4.4.5 Riduzione di un’equazione a nucleo non simmetrico ad una a nucleo 44

simmetrico.................................................................................................................. pag.

4.6 Metodo delle approssimazioni successive.................................................................. » 45

4.6.1 Specificazioni preliminari.................................................................................. » 45

4.6.2 Equazioni di II specie e serie di Neumann......................................................... » 46

)......................................................... pag. 49

N P – G (

5. UCLEI DI INCHERLE OURSAT O DEGENERI

per le equazioni a nucleo degenere........................................ » 57

5.1 Teoremi di F

REDHOLM ................. pag. 57

T F

6. EOREMI DI REDHOLM PER EQUAZIONI INTEGRALI A NUCLEO CONTINUO

6.1 Alternativa di F ............................................................................................ » 60

REDHOLM 3 Anno accademico 2003/2004

Equazioni integrali ........................................................ pag. 61

E

7. QUAZIONI INTEGRALI CON NUCLEO HERMITIANO

7.1 Teorema di Hilbert-Schmidt per un nucleo continuo hermitiano............................... » 61

7.2 Sviluppo bilineare di nuclei iterati.............................................................................. » 66

7.3 Sviluppo bilineare di nucleo continuo hermitiano...................................................... » 67

7.4 Soluzione di un’equazione integrale non omogenea con nucleo hermitiano.............. » 69

7.5 Nuclei definiti positivi................................................................................................ » 72

7.6 Teorema si Jentsch e di Perron-Frobenius.................................................................. » 74

pag. 76

E F I (C )..............................................................

8. QUAZIONI DI REDHOLM DI SPECIE ENNI pag. 78

E (C )......................................................................................

9. QUAZIONI SINGOLARI ENNI C 2

APITOLO pag. 80

A PPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE EQUAZIONI INTEGRALI

.......................................................... pag. 81

P

1. ROBLEMI DI CAUCHY E PROBLEMI DI LIOUVILLE

1.1 Problemi di Cauchy ed equazione integrale di V ......................................... » 81

OLTERRA » 86

...........................

1.2 Problema di SturmLiouville ed equazioni integrali di F

REDHOLM » 94

1.3 Autovalori ed autofunzioni del problema di SturmLiouville...................................

............................................................................. pag. 108

E

2. QUAZIONI DELLA FLUIDO DINAMICA 4

Anno accademico 2003/2004 Equazioni integrali

2.1 Equazioni che governano il moto di un fluido............................................................ » 108

2.1.1 Conservazione della massa................................................................................. » 109

2.1.2 Teorema della quantità di moto.......................................................................... » 110

2.1.3 Conservazione dell’energia................................................................................. » 111

2.2 Modelli di fluido......................................................................................................... » 113

2.2.1 Equazioni di Navier- Stokes............................................................................... » 113

2.2.2 Equazioni di Eulero............................................................................................. » 116

2.2.3 Correnti a potenziale........................................................................................... » 117

2.2.4 Teoria delle piccole perturbazioni...................................................................... » 118

2.2.5 Correnti a potenziale incomprimibile................................................................. » 119

2.3 Osservazioni............................................................................................................... » 119

2.4 Equazioni integrali di bilancio per fluidi in moto....................................................... » 120

2.4.1 Definizioni.......................................................................................................... » 120

2.4.2 Sistema aperto e sistema chiuso ausiliario......................................................... » 123

2.4.3 Bilancio delle masse........................................................................................... » 125

2.4.4 Bilancio di massa stazionario per sistemi a due correnti.................................... » 126

2.4.5 Bilancio di massa stazionario per sistemi a più correnti..................................... » 126

2.4.6 Bilancio della quantità di moto........................................................................... » 127

2.4.6.1 Bilancio di quantità di moto stazionario per sistemi a due correnti........... » 130

2.4.6.2 Bilancio di quantità di moto stazionario per sistemi a più correnti........... » 131

2.4.7 Determinazione delle forze esercitate su pareti rigide........................................ » 131

2.4.7.1 Forze normali e forze tangenziali............................................................. » 131

5 Anno accademico 2003/2004

Equazioni integrali

2.4.7.2 Sollecitazione sui vincoli........................................................................... » 132

2.4.7.3 Esempi....................................................................................................... » 135

2.4.8 Momento della quantità di moto......................................................................... » 140

2.4.8.1 Forma generale stazionaria........................................................................ » 140

2.4.9 Bilancio dell’energia........................................................................................... » 141

2.4.9.1 Bilancio stazionario dell’energia per sistemi a due correnti......................... » 141

2.4.9.2 Bilancio stazionario dell’energia per sistemi a più correnti.......................... » 142

2.10 Bilancio dell’energia meccanica per fluidi ideali................................................ » 142

2.10.1 Bilancio stazionario per sistemi a due correnti.......................................... » 143

2.10.2 Equazioni di Bernoulli lungo una linea di corrente.................................... » 145

2.11 Bilancio dell’energia meccanica per fluidi reali.................................................. » 149

2.11.1 Bilancio stazionario per sistemi a due correnti............................................ » 150

3. A

PPLICAZIONE DELLE EQUAZIONI INTEGRALI DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO PER

......................... pag. 152

’ ENERGIA ASSORBITA DAI TESSUTI BIOLOGICI

LA VALUTAZIONE DELL ........................................... pag. 155

S

4. TUDI E RICERCHE RECENTI SULLE EQUAZIONI INTEGRALI

4.1 Metodi numerici per equazioni differenziali ed integrali........................................... » 155

4.2 Metodi paralleli per equazioni integrali di V ed equazioni differenziali

OLTERRA

ordinarie...................................................................................................................... » 155

6

Anno accademico 2003/2004 Equazioni integrali

5. E :

QUAZIONI INTEGRALI PER UN MODELLO DI SIMBIOSI TRA DUE SPECIE CASO DI

......................................................................................... pag. 158

PINO CEMBRO E NOCCIOLAIA

5.1 Introduzione................................................................................................................ » 158

5.2 Formulazione del modello.......................................................................................... » 161

5.3 Trasformazione delle equazioni.................................................................................. » 166

5.4 Ricerca delle soluzioni................................................................................................ » 169

5.5 Conclusioni................................................................................................................. » 178

6. I L PROBLEMA DEI CAMPI INFINITAMENTE DEBOLI NELLA TEORIA DELLA

............................................................................................. pag. 180

GRAVITAZIONE DI EINSTEIN

6.1 Introduzione................................................................................................................ » 180

6.2 Posizione del problema............................................................................................... » 181

6.3 Le equazioni di campo per un deformazione infinitamente debole di un dato

campo elettrico........................................................................................................... » 182

6.4 Introduzione di un sistema di coordinate naturale...................................................... » 191

6.5 Soluzione delle equazioni di campo abbreviate mediante un tensore di Green.......... » 197

6.6 Introduzione delle equazioni integrali tensoriali. Riconduzione delle stesse ad

un’equazione integrale di F ........................................................................ » 197

REDHOLM

6.7 Soluzione delle equazioni di campo abbreviate mediante un’equazione

integrale...................................................................................................................... » 202

7 Anno accademico 2003/2004

Equazioni integrali

Presentazione del lavoro

In questa tesina sono state raccolte le nozioni fondamentali per lo studio delle equazioni

integrali (C 1), oltre che interessanti applicazioni delle stesse in campi non solo

APITOLO

ingegneristici (C 2). Un compito arduo è stato quello di selezionare gli argomenti da

APITOLO

affrontare a partire dalla mole d’informazioni ottenuta a seguito delle ricerche effettuate.

Ad esempio, è stata solo accennata la teoria sull’equazione di Fredholm di I specie in quanto

essa esigerebbe, per una minuziosa comprensione e quindi una compiuta esposizione, tecniche

analitiche di studio altamente avanzate. Si è invece ritenuto opportuno evidenziare le applicazioni

delle equazioni integrali in ambito matematico e fisico, non solo perché è da questi campi che le

equazioni integrali traggono la loro origine, ma anche perché è in essi che la teoria delle equazioni

integrali esplica appieno la sua potenza applicativa. In quest’ottica i nuclei di Pincherle-Goursat

costituiscono un argomento fulcro, e pertanto, rispetto ad altre questioni, gli è stato dato maggior

rilievo.

Infine è da far notare la presenza, nelle ultime pagine, di un’appendice contenente alcuni

1.

richiami e dei risultati cui spesso si fa riferimento nel C

APITOLO Massimo MINÁ

8

Anno accademico 2003/2004 Equazioni integrali

C 1

APITOLO

T EORIA DELLE EQUAZIONI INTEGRALI

9 Anno accademico 2003/2004

Equazioni integrali

1. Introduzione

Equazioni contenenti la funzione incognita sotto il segno di integrale sono dette equazioni

integrali. Un ampio studio è stato dedicato, dalla fine del 1800 ad oggi, da parte di molti

1

matematici, alle equazioni integrali lineari di cui segue un esempio generale

g ( x )

2 

 

 

f ( x ) h ( x ) ( x ) K ( x , y ) ( y ) dy (1.1)

g ( x )

1



dove è la funzione incognita e le quantità f(x), g ( x ), g ( x ), K ( x , y ) e h ( x ) sono note.

( x ) 1 2

Questioni storiche, legate allo studio della Meccanica e dell’Analisi matematica, hanno

condotto notevole attenzione principalmente verso quattro tipi di equazioni, che nella letteratura

2

scientifica sono designate con i seguenti nomi

Equazione di Volterra di prima specie

1. x

 



f ( x ) K ( x , y ) ( y ) dy ;

0 (V.1)

Equazione di Volterra di seconda specie

2. x



 

 

f ( x ) ( x ) K ( x , y ) ( y ) dy ;

0 (V.2)

1 Dal contesto si intende, come in effetti è, che x e y indichino variabili unidimensionali; tuttavia è ammesso il caso, non

trattato in modo sistematico in quanto semplice estensione dei concetti che saranno esposti, in cui esse rappresentino

variabili n-dimensionali.

2 Le equazioni di Fredholm e le equazioni di Volterra si ottengono facilmente dalla (1.1) come casi particolari, inoltre

nel caso più generale, quello che implica integrali n-dimensionali, il dominio d’integrazione è una qualunque regione

n

 

G . Anno accademico 2003/2004

Equazioni integrali

Equazione di Fredholm di prima specie

3. 1

 



f ( x ) K ( x , y ) ( y ) dy ;

0 (F.1)

Equazione di Fredholm di seconda specie

4. 1



 

 

f ( x ) ( x ) K ( x , y ) ( y ) dy ;

0 (F.2)

3 dell’equazione. Quando poi accade che f(x) = 0 si dice che

La funzione K(x,y) è detta nucleo

l’equazione in esame è l’equazione omogenea associata alla (1.1).

, come già introdotto nella presentazione

Le equazioni integrali di prima specie di F

REDHOLM

del lavoro, non troveranno una trattazione esaustiva in questa sede, sebbene saranno fatti dei cenni

sulle condizioni di risolvibilità delle stesse nel ¶ 9.

3 Si assumerà che il nucleo K sia della cosiddetta classe di Hilbert-Schmidt, cioè risulti finito l’integrale doppio

y

x 2

  | K ( x , y ) | dxdy

00

Un esempio di equazione equazione integrale come la (F.1) che trova ampio uso nelle applicazioni ingegneristiche è



(x) e l’uscita f(x) di un sistema lineare con risposta impulsiva K(x,y). In tali

dato dalla relazione che lega l’ingresso

casi spesso il nucleo (cui è dato il nome di risposta impulsiva) dipende dalla differenza x – y e l’equazione si dice del

tipo a convoluzione (o con nucleo di convoluzione). 11 Anno accademico 2003/2004

Equazioni integrali

2. Equazioni di Volterra di seconda specie

2.1 Risoluzione dell’equazione integrale

È conveniente riscrivere l’equazione di seconda specie come segue

x



  

 

f ( x ) ( x ) K ( x , y ) ( y ) dy (2.1)

0



dove con si intende una costante (reale o complessa) arbitraria. Le funzioni f(x), K(x,y) sono

     

per ipotesi continue, rispettivamente, nell’intervallo 0 x 1 e nel campo 0 x 1, 0 y 1 (anche

detto quadrato fondamentale). La continuità consente di parlare di limitatezza per le due funzioni

quindi è possibile indicare con M e N due