Fondamenti di telecomunicazioni - Teoria

Sistemi di telecomunicazione

per trasmettere un segnale è necessario modularlo (individuale di banda) e dare la potenza per inviarlo

• Trasmettitore converte il segnale in impulsi elettrici adatti alla trasmissione. Poi gli impulsi dovranno necessariamente essere riconvertiti
• Canale è mezzo fisico atto per trasmettere il segnale
• Ricevitore riceve il segnale trasmesso ed estrae il segnale vero tramite un demodulatore

Definiamo:

Segnale di energia

0 < E_x < +∞ (E_x esiste ed è finita, positiva) (OSS. ⇒ P_x = 0)

• E_x = ∫ E{|x(t)|²} dt = ∑_m∈Z E{|X(m)|²}
• E_xy = ∫ E{x(t)·y*(t)} dt = ∑_m∈Z E{X(m)·y*(m)}

Segnale di potenza

0 < P_x < +∞ (P_x esiste ed è finita, positiva) (OSS. ⇒ E_x = +∞)

• P_x = lim_T→∞ 1/T ∫_−T/2^T/2 E{|x(t)|²} dt = lim_N→∞ 1/(2N+1) ∑_m=−N^N E{|X(m)|²}
• P_xy = lim_T→∞ 1/T ∫_−T/2^T/2 E{x(t)·y*(t)} dt = lim_N→∞ 1/(2N+1) ∑_m=−N^N E{X(m)·y*(m)}

Q1: Se il segnale è deterministico, l'operatore media statistica E non agisce

Q2: Se il segnale è periodico, l'operazione di limite è ridondante

Q3: Segnali SSLI (media indipendente dal tempo e la correlazione dipende solo dal ritardo)

E_x = +∞

P_x = E{|x(t)|²} = E{X(0)}

Funzione di correlazione

R_xy(τ) = ∫_R E[x(t) y*(t - τ)] dt segnali di energia = lim_T→+∞ 1/2T ∫_-T^T E[x(t) y*(t - τ)] dt segnali di potenza

[R_xy(m)] = Σ_{n ∈ Z} E[x(m) y*(m-n)] segnali di energia = lim_N→+∞ 1/2N + 1 Σ_{m= -N}^N E[x(m) y*(m-n)] segnali di potenza

Osservazioni

- nulla correlazione in zero R_xy(0) = Σ_xy quindi R_xx(0) = Σ_x

- R_yx(τ) = R_xy(-τ)

Z_xY_Z = Σ ln z_n * Σ x_Yx_L inoltre Z_Y = Σ ln * Σ x

Densità spettrale di energia (ESD)

Σ_xy = ∫_R E[x(t)y*(t)] dt + ∫_R E[x(t)y*(t)] dt = E[∫_R x(t)y*(t)] dt = ∫_R E[|x(t)|²] dt = Σ_xy(t) = E[Σ|x(t)|² y*(t)]

Densità spettrale di potenza (PSD)

P_xy = lim_T→+∞ 1/2T ∫_-T^T E[x(t)y*(t)] dt = lim_T→+∞ 1/2T ∫_-T^T x(t) y*(t) dt = lim_T→+∞ 1/2T ∫_-T^T E[x(t)y*(t)] dt = lim_T→+∞ 1/2T ∫_-T^T E[|x(t)y*(t)|] dt = lim_T→+∞ 1/2T ∫_-T^T E[|x(t)|² y*(t)] dt

Σ_xy(t) = E[|x(t)|² y*(t)]

Densità (indice fra integrale fra E/P) spettrale (variabile nel dominio delle frequenze)

Osservazioni

• Per il Teorema Wiener-Khintchin Σ_xy = F Σ[xy]
• Σ_x = Σ_xx(δ) = Σ_x(δ)
• Σ_xx(t)₀ = δ_xx(s)
• X_Y = Σ_N Σ_x = H Σ_x
  • parziale Σ_x(t) = ln|(t)|_xln(t-x) ± H₁(x)₂ ± H₂(x)₂

Decibel

= unità di misura logaritmica che valuta il rapporto fra due grandezze SNR (signal noise ratio)

• 10 log₁₀(
• 10
• X = x
• X_iB
• X₁
• X₂
• X₃
• X₁₀
• X₁₀= 10

X₁ = x_db = 0 X₂ = x_db = 3 X₁₀ = x_db = 20

1) \( X_{BP}(t) = Re \{ \sqrt{2} X_{LP}(t) e^{j2\pi f_c t} \} = \)

\( \int_{-\frac{1}{2}T_I}^{+\frac{1}{2}T_1} x_c(t) e^{j2 \pi f_c t} \ dt = \)

\( [X_{BP}(t) = \sqrt{2} X_{C}(t) \cos(2\pi f_ct)] \overset{\text{componente}}{\text{in fase}} x_s(t) \overset{\text{componente}}{\text{in quadratura}} \)

\( [\rightarrow X_{LP}(t) = x_c(t) \ ; \ x_s(t)] \)

2) \( X_{BP}(t) = Re \{ \sqrt{2} X_{LP}(t) e^{j2\pi f_c t} \} = Re \{ \sqrt{2} A(t) e^{j(\theta(t)} e^{j2\pi f_ct} \} \rightarrow \)

\( X_{BP}(t) = \Omega A(t) \cos(2\pi f_ct + \theta(t))\)

\( x_c(t) = [A(t)] ; \theta(t) = \)

\( X_{BP}(t) = Re \{ \sqrt{2} X_{LP}(t) e^{j2\pi f_c t} \rightarrow [X_{BP}(t) = \sqrt{2} A \cos(2 \pi f_c t + \theta)\)

\( X_{LP}(t) = A(t) e^{j\theta(t)} ]\) (fissato) \)

3) \( x_c(t) = \int x_c(\tau) e^{-j 2 \pi f_c \tau} x_c(\frac{1}{2}T_I t) d\tau = \frac{1}{2} \int x_c(t) e^{j2 \pi f_c t} x_s(t) e^{j2 \pi f_c t} d\tau \ = \)

\( \int X_{LP}(t) X_{LP}^*(t) d\tau = Im \int \rightarrow \int x_c(t) e^{s z + j \theta } e dt = \)

\( = Im \{ \delta (w) \times (2 \pi ) ]\} = 0\)

\( \hspace{1cm}\) \(() - \cos (t_0) = 0\)

\( \) [gratta la funzione di avere valore 0\)

se \( X_{BP}(t) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int \cdots \text{uologo al caso di } \epsilon \)

4) \( X'_{BP}(t) = \frac{1}{2} \left[ x(t)e^{-j(2\pi f_ct + \phi_2)} + \sqrt{2} A_2 \cos 2\pi\left( \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) (t + \beta_2) \right]\)

\( \Rightarrow \) allora

\( X_{LP}(t) = A_1 e^{\frac{sw}{2} \cdot e^{j(2\pi f_ct)} + A_2 e^{j2\pi \frac{sw}{2} + w = 2\pi f_c} \)

\( \uparrow X_{BP}(t) \)

5) \( X_{BP}(t) = \frac{1}{2} \left[ S_{x_{LP}}(-j \beta ) S_{x_{LP}}(-j \beta + P) \right]\)

\( S_{x_{LP}}(t) \)

\( \rightarrow \)

\( \mid\_\_ \)\( \updownarrow\)\( _____ \shortmid \);\( \widehat{S_{x_{LP}}(t)} \)

\( \mid\_\_ \)\( \updownarrow\)\( _____ \shortmid \)

Rumore

Un esempio pratico è quello termico.

Rumore termico: è rumore causato dall'agitazione termica data al movimento degli elettroni.

Per il T di limite centrale ho

Sperimentalmente si ottiene che

Consideriamo il rumore campionato (una volta passante per KƒT/s), vale anche Per ωm∞ ma è una approssimazione.

Diciamo quindi che:

• Reale - Z(t) = λ(t) + h(t)
• Sn(δ) = kT / 2
• Ideale - Z(t) = δ(t) + n(t)
• Sn(δ) = kT / 2

White gaussian noise

Diciamo quindi che il rumore termico può essere rappresentato da un processo gaussiano bianco.

Se il rumore viene filtrato, in uscita ho ancora un processo gaussiano ma NON bianco ma colorato.

No = KƒT

Es. Filtro RC

Bmax

x(t)

Y( ℧) = Y(f) = 1 / (1 + (2πRfCß)²)

H(ß) = Y(ß)/X(ß) = 1 / (1 + 2iπßRC)

|H(ß)|

Bmax = 1/2π ∫ 1 / 1 + (2πRCß)² dß = [arctg(2πRCß)] από 0 σε +∞ = π / 2π = 1 / 2

quindi Bsub10 = 1 / 2πRC

1 / 1 + (2πRCß)² dß = 1 / 2RC dß = 1 / R

σο από 0 σε άπειρο

BsubΣ = 1 / 2RC

integral da 0 a δ |H(δ)| ² dδ = 0,475

Introduciamo un tono pilota

Tono monociclico alla frequenza portante.

Il modulatore dovrà per scalare ampiezza e fase...

Per recuperare la fase faccio passare il segnale ricevuto in una narrow band...

z(t) = (Ac m(t) + Ap) cos (2πf_ct + φ) + n(t)

W

Ac/2_sinc()

Sommatore coerente

Del Narrow band esce: Ap cos (2πf_ct + φ)...

A..._{prende la fase portante emessa}

Ac m(t) cos (2πf_ct + φ)...

(...) k(t) + n(t) + h(t)

Le cui potenze saranno:

(A²p)/2

ε(A²_c/2) P_m

εN₀

ε molto piccolo → εA²c/2 Pm << A²p/2 , εN₀ <<

(A²p)/2

Quindi un filtro passa banda con banda attuata è in grado di estrarre la portante del segnali ricevuti.