Teoria di matematica generale e finanziaria

MATEMATICA FINANZIARIA

Operazioni di capitalizzazione

il denaro è portato avanti nel tempo

• Acquistando un titolo
• Concedendo un prestito

C = capitale → somma di denaro investita oggi

M = somma di denaro ottenuta tra un anno → montante

I = M-C → Interesse

Operazioni di attualizzazione

il denaro è portato indietro nel tempo

• Vendo un titolo
• Ricevo un prestito

A = valore attuale o scontato → somma di denaro ottenuta oggi

S = valore a scadenza o nominale

A/S = ϕ → fattore di attualizzazione

D = S - A → sconto

Capitalizzazione → = 1 + I/C

Attualizzazione → = 1 - D/S

Tasso annuo di interesse

i = interesse prodotto da 1€ investito per 1 anno

i = (1) - 1

Tasso annuo di sconto

d = compenso per cui anticipo la somma di 1€ che scadrà tra 1 anno

d = 1 -

f e ϕ sono coniugati, si ha

_d = ⁱ/_1+i

_i = ^d/_1-d

MATEMATICA FINANZIARIA

operazioni di capitalizzazione: il denaro è portato avanti nel tempo

• acquistando un titolo rinuncio a una somma di denaro/disponibilità finanziaria immediata per ottenere una futura
• C = capitale = somma di denaro investita oggi
• M = somma di denaro ottenuta tra un anno → MONTANTE
• Ъ = fattore di capitalizzazione o di montante = _M⁄_C
• I = M – C = interesse

operazioni di attualizzazione: il denaro è portato indietro nel tempo

• vendo un titolo → ottengo una disponibilità finanziaria immediata
• ricevendo un prestito in cambio del pagamento di una somma in futuro
• es. ricevo 1000 euro = un prestito in cambio del pagamento di 1050 tra un anno
• A = valore attuale o scontato → somma di denaro ottenuta oggi
• S = valore a scadenza o nominale → somma di denaro che pagherò tra 1 anno
• _A⁄_S = Э = fattore di attualizzazione
• D = S – A = sconto

capitalizzazione → Ъ = 1 + _I⁄_C

attualizzazione → Э = 1 - _D⁄_S

TASSO ANNUO DI INTERESSE

_i = interesse prodotto da 1 € investito per 1 anno

_i = Ъ(1) - 1

TASSO ANNUO DI SCONTO

_d = compenso per chi anticipa la somma di 1 € che scadrà tra 1 anno

_d = 1 - Э

Ъ e Э sono coniugati, si ha

tasso annuo sconto → _d = _i⁄_{1+ i}

tasso annuo interesse → _i = _d⁄_1-d

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

I = C · i · t

M = C · (1 + i t)

i = tasso interesse semplice

C = 1000

i = 10% = 0,1

t = 9 mesi = 9/12

f(t,i) = 1 + i t ➔ fattore montante

φ(t,i) ➔ fattore di sconto coniugato 1/(1+i t)

TASSI NON ANNUALI E TASSI EQUIVALENTI

i₁₂ = tasso mensile

i₆ = ........ semestrale

i₃ = ........ quadrimestrale

Si consideri una legge di capitale semplice col tasso annuo del 12%. Calcolare tasso trimestrale equivalente.

NB: tassi equivalenti generano lo stesso fattore di capitalizzazione

1 + i = 1 + i_m · m ..... tasso trimestrale 1/3 = 4m = 4

1 + i₁₂ = 1 + i₃ · 4 = 4 (1 + i₃)

i₄ = i₁₂/4 = 12/4 = 3%

TITOLO DI PURO SCONTO (zero-coupon bond)

Si chiama rendimento semplice a scadenza ➔ r il tasso di interesse semplice tale che il montante del prezzo di acquisto A eguagli il valore di rimborso N alla data T

r = (N - A)/AT

A = N · (1/(1 + r T))

CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA

• fattore di montante ➔ f(t,i) = (1+i)^t
• fattore di sconto ➔ φ(t,i) = 1/(1+i)^t

i = tasso annuo di interesse composto

esempi

CAPITALIZZAZIONE

• C = 1000
• t = 3 anni
• i = 10%
• M = C · (1 + i)^t
• H = 1000 (1 + 0,1)³

ATTUALIZZAZIONE

• S = 1000
• t = 2 anni
• i = 10%
• A = φ S
• A = 1/(1 + i)^t
• S = 1000/(1 + 0,10)² = 826,45

TASSI NON ANNUALI E TASSI EQUIVALENTI

i_m = ^m√(1+i) - 1 i e i_m ➔ tassi equivalenti in capitalizzazione composta

j^m = i_m · m ➔ tasso annuo nominale convertibile m volte l'anno

Sconto Commerciale

La propria caratteristica di questo regime finanziario è che lo sconto è proporzionale alla somma a scadenza S e alla scadenza t dell'impiego.

D = S · t · d

da cui seguono

D = S -