Teoria di matematica generale e finanziaria

Matematica Finanziaria

• Operazioni di capitalizzazione: il denaro è portato avanti nel tempo
• acquistando un titolo
• cedendo un prestito → rinuncia a una somma di denaro/disponibilità finanziaria immediata per ottenere una futura

C = capitale → denaro investito oggi

M = somma di denaro ottenuta tra un anno → MONTANTE

1 + I = tasso di capitalizzazione o di montante = ϕ

I = M - C → interesse

• Operazioni di attualizzazione: il denaro è portato indietro nel tempo
• vendo un titolo → ottengo una disponibilità finanziaria immediata
• ricevendo un prestito → in cambio del pagamento di una somma in futuro

Es. ricevo 1000 euro = un prestito in cambio del pagamento di 1050 tra un anno

A = valore attuale o scontato → somma di denaro ottenuta oggi

S = valore a scadenza o nominale → somma di denaro che pagherò tra 1 anno

A/S = ϕ = fattore di attualizzazione

D = S - A = sconto

Capitalizzazione → ϕ = 1 + I/C

Attualizzazione → ϕ = 1 - D/S

Tasso annuo di interesse

i = interesse prodotto da 1 € investito per 1 anno

i = ϕ(1) - 1

Tasso annuo di sconto

d = compenso per chi anticipa la somma di 1 € che scadrà tra 1 anno

d = 1 - ϕ

ϕ e ϕ sono coniugati, si ha:

i = d/1-d e d = i/1+i

Tasso annuo sconto

Tasso annuo interesse

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

I = C · i · t M = C * (1 + i t) i = tasso interesse semplice

C = 1000 i = 0,10 t = 9 mesi = ⁹/₁₂ I = (C · i · t) = fattore montante Φ (t) = fattore di sconto coniugato 1/(1 + i t)

TASSI NON ANNUALI E TASSI EQUIVALENTI

i ₁₂ = tasso mensile i ^* = ⁱ/_m = tasso semestrale i ₃ = tasso quadrimestrale

Si considera una legge di capitale semplice al tasso annuo del 12%. Calcolate tasso trimestrale equivalente. NB: tassi equivalgono lo stesso fattore di capitalizzazione 1 + i _* t = 1 + i · m · t tasso trimestrale 1/3 i^* 4 = m = 4 1/4 i ^* 4 i ^* = 4 i = ¹²/₄ = 3%

TITOLO DI PURO SCONTO (zero - coupon bond)

Si chiama rendimento semplice a scadenza r il tasso di interesse semplice tale che il montante del prezzo di acquisto A uguagli il valore di rimborso N alla data T

r = ^{N - A}/_AT A = N · 1/(1+ iT)

CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA

• fattore di montante β(t)_i = (1 + i)^t
• fattore di sconto Φ(t)_i = 1/(1 + i)^t
• i = tasso annuo di interesse composto

esempi CAPITALIZZAZIONE C=1000 t=3 anni i=10% M= C · (1 + i)^t H=1000 · (1 + 0,1) ³

ATTUALIZZAZIONE S=1000 t=2 anni i=10% A = Φ S A = Φ · S

A = 1/(1+ i)^t S = ¹⁰⁰⁰/_{(1 + 0,10)²} = 826,45

TASSI NON ANNUALI E TASSI EQUIVALENTI

i^* = ^m√(1 + i)^t - 1 i e i^* m sono tassi equivalenti in capitalizzazione composta j^* m = i m · m -> tasso annuo nominale convertibile m volte l'anno

Esercizio: Data una rendita annua immediata posticipata a rata costante R = 1000 di durata 6 anni, calcolare il suo valore attuale al tasso annuo 10%.

• Valore attuale

A = R • (a_n|i) = R • ^1-(1+i)-n/_i = 1000 • ^1-(1,1)-6/0,1

• Montante

M = R • s_n|i = R • ^(1+i)n-1/_i = 1000 • ^(1,1)6-1/0,1

• R = RATA
• A = Valore attuale
• H = montante

AMMORTAMENTO

Si parla di ammortamento quando si prende in prestito un capitale S al tempo 0 e lo si rimborsa in n rate di ammortamento R₁, R₂, R₃ ... ai tempi t₁, t₂, ... t_n. Supponiamo che i pagamenti avvengano in intervalli di tempo regolari.

• D_t = debito residuo al tempo t
• E_t = S - D_t debito estinto al tempo t

R_t = C_t + I_t

La rata è composta da una quota di capitale rimborsato e da una quota di interessi sul capitale da rimborsare.

Due tipi di ammortamento:

• Italiano

La quota di capitale è costante per ogni rata e poiché la somma delle quote di capitale deve dare S = n•c = S

c = S/n

E_t = c•t = S/n•t

D_t = S - E_t = S - S•t/n = S • (1 - t/n) = S • n-t/n

Esercizio: Piano ammortamento x rimborso capitale 10.000 euro in 10 rate al tasso del 10%

1) Quota capitale costante C = S/n = 10.000/10 = 1000 euro

FUNZIONI - Teoria

• Diciamo che è assegnata una funzione di variabile reale β: X → ℝ, X ⊆ ℝ se è data una relazione che associa a ogni elemento x appartenente all'insieme dei numeri reali X uno e uno solo

RESTRIZIONE E PROLUNGAMENTO

• f: [0,2] → ℝ, x → x³
• g: [0,3] → ℝ x → x³
• f e g(x) sono differenti poiché non hanno lo stesso dominio

Sia

• f: X → ℝ X ⊆ ℝ
• g: X₂ → ℝ X₂ ⊆ ℝ
• se X₁ ⊆ X₂ e f(x) = g(x)
• allora
• f è restrizione di g
• g è prolungamento di f

GRAFICO di β: X → ℝ, X ⊆ ℝ

• Il grafico di una funzione β: X → ℝ, X ⊆ ℝ, indicato con G_β, si definisce come il sottinsieme di ℝ² dei punti la cui prima coordinata appartiene a X e la seconda è la corrispondente immagine tramite β

G_β = {(x,y) ∈ ℝ²: x ∈ X, y = β(x)}

INSIEME IMMAGINE

• Data una funzione β: X → ℝ, se X ⊆ ℝ, se y ∈ ℝ ed è in relazione a x ∈ ℝ tramite β allora diciamo che y è immagine di x mediante β
• Si dice insieme immagine il sottinsieme di tutti i numeri reali che sono immagine di X tramite β

im (β): β(x) = {y ∈ ℝ; y = β(x), x ∈ X}

INSIEME CONTROIMMAGINE

• Data una funzione β: X → ℝ, X ⊆ ℝ, e un insieme Y ⊆ ℝ, si dice controimmagine di Y secondo β indicato con β^-1 (Y), il sottinsieme del dominio X i cui elementi hanno immagine tramite β appartenente a Y:

β^-1(Y) = {x ∈ X: β(x) = y; y ∈ Y}

FUNZIONE PARTE INTERA

• Si definisce funzione parte intera la legge che associa a ogni numero reale la sua parte intera

[·]: ℝ → ℝ [X] = max numero intero non maggiore di X

DEFINIZIONE DI LIMITEDiciamo che una funzione f: X→ℝ , X⊆ℝ ha per limite L ∈ ℝ ⋃ {±∞} quando x tende a x₀ ∈ ℝ (u {±∞}), punto di accumulazione per X, se per ogni intorno U di L esiste un corrispondente intorno V di x₀ tale che, per ogni x∈X, con esclusione al più di x₀, si ha f(x)∈U.In tal caso scriveremo lim_x→x₀ f(x)=LIn simboli∀U(U intorno a L) ∃V(V intorno a x₀, x≠x₀ ⇒ f(x)∈U) →Limite sinistro… quando x tende a x₀ da sinistra se … V^- lim_x→x₀^- f(x)=L→Limite destro … ” … ” … destra se … V⁺ lim_x→x₀⁺ f(x)=L

TEOREMA: Condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione f:(a,b)→ℝ ammetta il limite per x tendente a x₀ ∈ (a,b) è che esistano i limiti destro e sinistro lim_x→x₀^- f(x) e lim_x→x₀⁺ f(x) e siano uguali tra loro

limite per eccesso e per difettoDIFETTO: Data una funzione f: X→ℝ , X⊆ℝ e un punto di X₀ ∈ X', diciamo che quando x tende a x₀, y tende a L ∈ ℝ per difetto se:per ogni intorno sinistro U^- di L esiste la corrispondente intorno V di x₀ tale che, per ogni x ∈ X appartenente a V, con esclusione al più di X₀, la corrispondente immagine f(x) appartiene a U^-. Scriveremo in tal caso

lim_x→x₀ f(x) = L^-