Teoria ed esempi di modellistica ed identificazione

MODELISTICA E IDENTIFICAZIONE

Il corso è suddiviso in 3 parti:

1. Statistica descrittiva: media, varianza, dissymmetria, curtosi, percentili, test statistici di ipotesi
2. Statistica inferenziale: Si tratta di analizzare un campione di dati e da questo inferire tutte le proprietà del campione
3. Modelli regressivi e analisi di serie temporali

Statistica descrittiva

Consideriamo un apparato di produzione di supporti in ferro.

La qualità del prodotto è definita in termini di carico di rottura (kg/cm²).

Si esamina un lotto di N = 100 pz

X = "carico di rottura" kg/cm²

N = 100

Vogliamo sapere se il processo di produzione soddisfa la specifica del carico di rottura. Ovviamente NON possiamo effettuare una prova distruttiva su tutta la produzione ma preso il campione N = 100 possiamo definire una certa tolleranza percentuale.

Mediana

La mediana fornisce il valore di X che divide la distribuzione in due classi contigue di frequenza 0.5 (esattamente a metà).

Il calcolo è il seguente:

m = a + (P/C) (b-a)

dove:

• [a,b] -> Intervallo classe centrale
• P -> Posizione centrale
• C -> Popolazione classe centrale

Dall'esempio:

m = 70 + (16/29) (80-70) = 75.517

Δ 50 - 34 = 16

Σ Elementi prima della classe centrale

4 + 10 + 20 = 34

Moda

Valore di X per cui si ha un massimo locale della frequenza relativa.

Si intende cioè, il valore di X che si ripete più frequentemente. Quando si ha un solo massimo si parla di distribuzione unimodale; se ve ne sono diversi multimodale (bimodale se ve ne sono 2).

- Monomodale

- Bimodale: 2 sottogruppi significative

• Data una TRASFORMAZIONE AFFINE

Y = aX + b

notiamo che questa è una combinazione delle prime due _1* ^M∑ ^My_iπ_i = ∑(ax_i + b)π_{i i=1 i=1} = ∑ax_iπ_i + ∑bπ_i = a∑x_iπ_i + b∑π_i = a_{i=1 i=1 i=1 i=1} = aμ_x + b·1

ŷ_y = aŷ_x + b

2^* σ²_y = ∑(y_i - ŷ_y)²π_i = ∑(ax_i + b - aŷ_x - b)² = a^{2 M} _M = a²∑(x_i - ŷ_x)²π_i M_i=1

σ_y = aσ_x

La TRASFORMAZIONE AFFINE è importante poiché consente di effettuare la STANDARDIZZAZIONE di una v.a. X ovvero la trasformazione di X in X^'

X^' = (X - μ_x) / σ_x

con stesso tipo di distribuzione ma μ^0_x = 0 e σ²_x = 1.

che corrisponde ad una TRASFORMAZIONE AFFINE con a = ₁ b = -_μx ^{σ_x σ_x}

Y = ^{X - μ_x} = ¹X - ^μ_x

σ_x = 1^σ_x

ESEMPIO APPLICATIVO 1

Un'azienda deve decidere tra diversi tipi di investimento riguardo alla produzione e vendita di un caro prodotto.

Abbiamo 5 possibili strategie

• X₁: utili annui
• π_i: freq. relative

Dalla semplice ispezione dei dati non riusciamo a decidere la strategia.

Una buona politica è scegliere l'investimento che comporti mediamente i migliori guadagni annuali.

• * S₁, μ_X=4000=Σ
• * S₂, μ_X=3700
• * S₃, μ_X=2900
• * S₄, μ_X=4000
• S₅, μ_X =2400

Quale scegliere tra S₁ e S₂?

Calcoliamo la VARIABILITÀ: σ²=Σ(x-μ)²π

• σ₁² = (0-4000)²•0.8+(20000-4000)²•0.2=

1280000 + 5120000

• σ₅=8000

σ₂=0

È più utile rappresentare X, anziché come valore assoluto, come

X - m_X / σ_X

In questo modo in base alla grandezza di λ posso valutare la dispersione della distribuzione.

Esempio

• X̄ = 30, X = 15 → σ̄_X = 5
• λ ↓ dispersione ↑
• X̄ = σ_X, X = 15 → σ̄_X = 15
• λ ↑ dispersione ↓

Il valore di X che risolve il problema λ = λ_ε1 è chiamato percentile ε₁, o λ_ε1*.

In una distribuzione si è interessati a eventi del tipo

| X - m_X | / σ_X > λ_ε1

con probabilità

P ( | X - m_X | / σ_X > λ_ε1 ) = ε₁.

λ_εi viene calcolato sempre in riferimento alla V.A. standardizzata X - m_X / σ_X e rappresentano i valori in ascissa per cui l'evento ha il ε_i, di probabilità.

• t ∈ (-∞, +∞)
• SIMMETRICA
• UNIMODALE
• C >> 0, LEPTOCURTICA

All'aumentare dei gradi di libertà somiglia sempre più ad una gaussiana.

MOMENTI DISPARI NULLI

• MOMENTI PARI (υ > 2) dati da

E(t^2k) = ^{1⋅3⋯(2k-1)υk}/_{(υ-2)(υ-4)⋯(υ-2k)}

per cui σ_x² = ^υ/_υ-2

L'INTERVALLO BILATERALE è -t_υ,ε/2 ≤ t ≤ t_υ,ε/2

essendo P(-t_υ,ε/2 ≤ t ≤ t_υ,ε/2)= 1 - ε.

In generale

P(μ_x - λσ_x ≤ X ≤ μ_x + λσ_x)

^{|X - μ_x|}/_σx ≤ λ

Poi: μ_x - λσ_x ≤ X ≤ μ_x + λσ_x

Analizzo una parte:

^{X - Μ_x}/_σx ≤ λ

Guardiamo graficamente cosa succede

• RISPETTO 1^a CURVA

p_Δx⁽¹⁾

μ₁ Δx χ μ₂

• RISPETTO 2^a CURVA

p_Δx⁽²⁾

La 1^a prob. p_Δx⁽¹⁾ comprende anche p_Δx⁽²⁾ da cui si può dedurre chep_Δx⁽¹⁾ > p_Δx⁽²⁾

Questa regola funziona fino al punto di intersezione delle due curve, motivo per cui diciamo che

{

• χ̅ ≥ χ₀ malato
• χ̅ < χ₀ sano

con χ₀ punto di intersezione.

Le due situazioni sopracitate sono le più verosimili.