Modellistica e Simulazione (Teoria ed esercizi)

DERIVATO

stato vedere

trovare di chi

modo compare

le

Un e

van

per

DERIVATO

NON

e (b) I

i)x

(2 a)x

3 +

=

- +

+

+ l'ingresso

fettamento

It é (b) +

i)x

(2 a)x

3 =

- +

+

+ 2

=

x . . .

(b, ) U

+

x X t

= - (2 i)w

(2 i) 3

3 +

+

+

+

stato

L'incita la

è

y x

= 0

Ricavando da essa T e sostituendo nella seconda si ottiene:

s2 -

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ T

J b

ω ω

+ + = − + +

!

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ m

21 1

J J b

c

2 2 1 2

2 n

n n

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

E’ interessante notare che la coppia motrice vista dall’albero mosso è pari a quella agente sull’albero motore

divisa per il rapporto di riduzione, mentre il momento di inerzia e il coefficiente d’attrito dell’albero motore,

allorché trasportati sull’albero mosso, risultano divisi per il quadrato del rapporto di riduzione.

000

ω ω

= = = , si ottiene:

Posto: y (

t ) (

t ); u (

t ) T (

t ); x (

t ) (

t )

2 m 2

⎛ ⎞

b

+

⎜ ⎟

1

b

1 2 1

n

⎝ ⎠ +

= −

!

x x u

⎞

⎛

⎞

⎛ J J

+ +

+ + ⎟

⎜

⎟

⎜ 21 21

n J J

J J c c

2 2

n n ⎠

⎝

⎠

⎝

=

y x

Il sistema è lineare, tempo-invariante.

II.8 Equazioni del moto di un sistema di corpi rigidi: approccio lagrangiano

=

Come visto nei paragrafi precedenti, l’approccio newtoniano per la scrittura delle equazioni

del moto di un sistema meccanico è basato su equazioni di bilancio di forza, in forma

vettoriale, scritte in corrispondenza di ciascun elemento di inerzia del sistema stesso. Il

-

-

principale inconveniente di tale approccio è dovuto al fatto che, per la scrittura della legge

di Newton relativa a ciascun elemento di inerzia bisogna portare in conto tutte le forze che

-

agiscono sull’elemento, comprese le forze di interazione con altri componenti, quali

-

-

componenti elastici e di attrito, e le forze di vincolo. La scrittura delle prime può talvolta

-

comportare degli errori di segno o di verso della forza agente. Le seconde, invece, oltre a

richiedere una certa attenzione per la loro individuazione, comportano un aumento del

numero di incognite per ricavare le quali bisogna aggiungere altre equazioni (equazioni di

vincolo) al sistema.

L’esempio che segue serve a chiarire il significato di tali affermazioni.

Esempio 2.16 Si consideri il sistema meccanico mostrato in Figura 2.28 costituito da una carico collegato,

attraverso una fune che scorre su una puleggia, ad un elemento elastico. Si vuole determinare un modello i-s-

u per lo studio degli spostamenti verticali del carico.

K F

1

θ F

e

R M

y Mg

F F

1 v

F(t)

mg

m

x F(t) II-27

Fig. 2.28

Da un’analisi preliminare del problema si vede che la posizione dei due elementi di inerzia è, a prima vista,

descritta mediante tre coordinate posizionali: la posizione verticale x del carico, la posizione verticale y e quella

θ

radiale della puleggia. Per ciascuna di esse possiamo scrivere un’equazione di Newton. In realtà tali

coordinate non sono tra loro indipendenti, ma sono legate tra loro dalle equazioni cinematiche di vincolo:

ϑ

= =

x 2 y y R

per cui il sistema ha 1 solo grado di libertà.

Nella scrittura delle equazioni di Newton, inoltre, si dovranno portare in conto le forze di vincolo

che la fune di sostegno esercita

(incognite) trasmesse attraverso la fune, e cioè (vedi Figura 2.28) la forza F 1

che il tratto di corda fissato al suolo esercita sulla puleggia. In

sia sul carico che sulla puleggia, e la forza F v

definitiva il moto sarà descrivibile attraverso 5 equazioni (3 di Newton e 2 di vincolo cinematico) nelle 5

incognite costituite dalle 3 coordinate posizionali e 2 forze vincolari. Per ottenere la rappresentazione i-s-u

cercata, dovremo scegliere 1 coordinata posizionale ed eliminare sia le altre due che le due forze vincolari.

Come unica coordinata posizionale per descrivere il moto dell’intero sistema conviene assumere la

grandezza di interesse nello studio, e cioè la posizionale verticale x del carico.

L’equazione di Newton per il moto verticale del carico si scrive:

= + −

!

!

m

x mg F F

1

Allo stesso modo, l’equazione del moto verticale della puleggia si scrive:

= + + −

!

!

M

y Mg F F F

1 v e

dove con F si è indicata la forza di richiamo elastico della molla pari a ky. Risulta allora:

e = + + −

!

!

M

y Mg F F ky

1 v

Infine, la legge di Newton per il moto di rotazione della puleggia si scrive:

2

MR MR

!

! !

! !

!

ϑ ϑ ϑ

= − ⇒ = − ⇒ = −

J F R F R F R F R F F

1 v 1 v 1 v

2 2

Ricavando F dall’equazione del moto del carico, F dall’equazione del moto rotatorio della puleggia, e

1 v

sostituendo nell’equazione del moto verticale della puleggia, portando in conto le due equazioni di vincolo

cinematica si ottiene: !

! !

!

⎡ ⎤

x MR x x

( ) ( )

= + + − + + − − −

!

! !

!

M Mg mg F m

x mg F m

x k

⎢ ⎥

2 2 2 R 2

⎦

⎣

da cui, con semplici manipolazioni, si ottiene:

⎛ ⎞

M M K ( )

+ + = − + + +

!

!

⎜ ⎟

2 m x x M 2 m g 2 F

2 4 2

⎝ ⎠

e quindi: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

3 K M

+ = − + + +

!

!

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

m M x x m g F

8 4 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞

M

Posto: , si ottiene:

= = + = = = !

⎜ ⎟

y (

t ) x (

t ); u (

t ) m g ; u (

t ) F (

t ); x (

t ) x (

t ); x (

t ) x (

t )

1 2 1 2

⎝ ⎠

2 II-28

=

!

x x

1 2

k 1 1 1

= − + +

!

x x u u

2 1 1 2

3 3 3

4 + + +

m M m M m M

8 8 8

=

y x

1

Come si è visto, per scrivere l’equazione del moto del sistema è stato necessario portare in

conto anche le forze di vincolo e poi, successivamente, eliminarle.

- -

Nell’approccio lagrangiano tali inconvenienti vengono eliminati in quanto il sistema

è considerato nel suo insieme piuttosto che nei suoi componenti individuali. In tale

-

approccio, inoltre, il problema è trattato in termini di due funzioni scalari, l’energia cinetica

E

e l’energia potenziale del sistema, e di un’espressione infinitesimale che rappresenta il

lavoro virtuale fatto dalle forze non conservative in corrispondenza di uno spostamento

virtuale del sistema. Per poter scrivere tali termini, è necessario preliminarmente richiamare

le espressioni per il calcolo dell’energia cinetica e potenziale immagazzinata in un sistema

meccanico in un generico istante, e introdurre il concetto di spostamento virtuale.

II.8.1 Lavoro e energia

-

O

agente su un punto materiale nella

Lavoro di una forza. Consideriamo una forza F

x

I

direzione x, e indichiamo con dx uno spostamento infinitesimo del punto nella stessa

direzione. Definiamo lavoro fatto dalla forza F sul punto nello spostamento dx la quantità:

x

A

wForta spectamento

=

dW F dx

x

F

Tit Ovviamente, se la forza e lo spostamento non hanno la stessa direzione, si potrà effettuare

una scomposizione dei relativi vettori lungo gli assi di un’arbitraria terna di riferimento e

poi sommare i termini di lavoro relativi alle varie componenti.

-

D

Energia. L’energia è una misura della capacità di un corpo a compiere lavoro. Nei sistemi

meccanici, l’energia posseduta da un componente elementare in virtù della sua posizione è

detta energia potenziale; quella posseduta in virtù della sua velocità è detta energia cinetica.

*

-

Energia potenziale In un sistema meccanico gli elementi in grado di immagazzinare energia

C

0

potenziale sono le masse e gli elementi elastici. -

Energia potenziale gravitazionale. Con riferimento ad un corpo di massa m, l’energia

I

-> potenziale ad esso associata è quella di natura gravitazionale. Dato un corpo che si trova ad

un’altezza h rispetto ad un livello di riferimento prefissato, definiamo energia potenziale

gravitazionale U del corpo rispetto al riferimento prescelto l’opposto del lavoro fatto dalla

forza peso in corrispondenza dello spostamento che porta il corpo dal riferimento alla quota

h. Pertanto, assumendo come verso positivo per la misura degli spostamenti quello verso

8

l’alto, risulta: h

∫ -

= − − =

U ( mg ) dx mgh

0 -

L’energia potenziale gravitazionale di un corpo, quindi, è positiva quando il corpo si trova

ad una quota più alta del riferimento. E’ da notare che tale energia è misurata rispetto ad una

prescelta posizione di riferimento, per cui il suo valore non è assoluto, bensì relativo al

riferimento prescelto. #

e

- -

i

Energia potenziale elastica. Con riferimento ad una molla traslatoria deformata rispetto alla

-> -

sua configurazione di riposo in assenza di forze esterne, definiamo energia potenziale

II-29

elastica immagazzinata nella molla il lavoro fatto dalle forze agenti ai suoi estremi per

-

portarla dalla configurazione di riposo alla configurazione deformata. Per calcolare il lavoro

-

fatto dalle forze esterne in conseguenza di una deformazione x della molla, consideriamo,

=>

per semplicità, una molla bloccata ad un estremo, ed indichiamo con x’ uno spostamento

o

dell’estremo libero compreso tra 0 e x e conseguente ad una forza esterna F’. Tale forza,

~a

come sappiamo, è legata a x dalla relazione F’=kx’ dove k è la costante elastica della molla.

Ne consegue che: *-*

1 Uso

x x

∫ ∫ man

= = = 2

U F ' dx ' kx ' dx ' kx

S

- 2

H 0 0

X

Come si vede, l’energia potenziale elastica è sempre positiva, sia in caso di estensione che

di compressione della molla. = -

Analogamente, per una molla torsionale si ha: re

#I

1

θ θ

∫ ∫

θ θ θ θ

= = = 2

U T d k d k

' ' ' ' 2

0 0

&