Teoria e teoremi analisi I

Teoremi

Irrazionalità di √2

Hp x²=2MCD(p,q)=1

th x∉ℚ

D x∈ℝ

Sia x=P/Q

P,Q∈ℤ

q≠0

P²/Q²=2

P²=2Q² implica D P² è pari, quindi P è pari

P=2S implica 2Q²=4S²=Q² implica D Q è pari

MCD(P,Q)≠1

assurdo

MCD(P,Q)=2

Formule di De Moivre

Hp z,ω∈ℂ

th zw=pr(cos(θ₁+θ₂)+isen(θ₁+θ₂)

z=ρ(cosθ₁+isenθ₁)ω=r(cosθ₂+isenθ₂)

zw=pr(cosθ₁cosθ₂-senθ₁senθ₂+isenθ₁cosθ₂+icosθ₂senθ₁-isenθ₁senθ₂)

=pr(cos(θ₁+θ₂)+isen(θ₁+θ₂))

cos(x+β)=cosαcosβ-senαsenβsen(x+β)=senαcosβ+cosαsenβ

Radici n-esime di un numero complesso

Sia z∈ℂ\{0}, n∈ℕ, 1≤n

Alla cerca di radici di un numero complesso

ω_k∈ℂ k=0,1,...,n-1

tc ω_kⁿ=z vale che se z=ρ(cosα+isenαx)

ω_k=^n√p(cos(^α+2kπ⁄_n)+isen(^α+2kπ⁄_n))

Sia ω_k z∈ℂ, z≠0 via ω_k=ρ(cosx+isenx) ω_k è radice n-esimo di z

(ωk)ⁿ=z ⇒ ρ^m(cos(nx)+isnx)=r(cosα+isenα)

ρⁿ=1nx=θ+2kπ k∈ℤ

x=^θ+2kπ⁄_n k∈ℤ

x=^θ⁄_n+2π c x=^θ⁄_n

Teoremi

Irrazionalità di √2

Hp x²=2   th x∉ℚ => x∈ℝ

MCD(P,q)=1

absurdo:

Suppliamo che x∈ℚ => x=p/q, p∧q∈ℤ, q ≠ 0.

e che MCD(p,q)=1

=> p²/q²=2 => p²=2q² => dp² è pari => p² è pari

=> p è pari => p=2s => 2q²=s² => 2q²=s² => dq² è pari => q è pari

=> MCD(p,q)≠1 => assurdo

MCD(p,q)=2

Formule di DeMoivre

Hp z, ω ∈ ℂ   th zω = pω (cos(θ₁+θ₂) + isin(θ₁+θ₂))

diciamo

z, ω ∈ ℂ, z = p(cosθ₁, isinθ₁)

ω = r(cosθ₂ + isinθ₂)

zω = pr(cosθ₁cosθ₂ - sinθ₁sinθ₂ + icosθ₂isinθ₂ - sinθ₁cosθ₂) =

    pr (cos(θ₁ + θ₂) + isin(θ₁ + θ₂))

  cos(x+β) = cosxcosβ - sinxsinβ

  sin(x+β) = sinxcosβ + cosxsinx

Radici n-ime di un numero complesso

Sia z∈ℂ\{0}, n∈ℕ, n>1

Allora esistono 7 n numeri complessi

ω_k∈ℂ, k=0,1,...,n-1

tc ω_kⁿ = z

vale che ∀z = ρ(cos x + isin x)

ω = √ⁿ(ρ)(cos(x+2k_π) + isin(x+2k_π))

ω = √ⁿ(ρ)(cos(x+2k_π) + isin(x+2k_π))

diciamo

ω₁, z∈ℂ z ≠ 0 zie ω_k = ρ(cosx+isinx), ω_k è

radici n-mime di z (=>)

ω_k=z ⟹ ρⁿ(cos(nx) + isin(nx))

ρ(cos(x+2k_π) +

ρⁿ=z ρ=√_n(ρ)

ρ(z+2k_π)

x_π=z

x = x + 2k_π k∈ℤ

⟹ θ=θ/n

x = θ/n + 2π

-= x/n = θ/π => k =>

DEFINIZIONI

SUCCESSIONE CONVERGENTE

{a_n}_n∈ℕ → e, n →+∞, e∈ℝ

⇔ ∀ε>0 ∃N∈ℕ : |a_n-e|<ε ∀n>N

SUCCESSIONE DIVERGENTE

{a_n}_n∈ℕ →+∞, n →+∞

⇔ ∀M>0 ∃n∈ℕ: a_n>M ∀n>N

DEF SEQUENZIALE DI LIMITE

lim_x→cf(x)=e, c,e∈ℝ

⇔ ∀{x_n}_n∈ℕ→c n →+∞ x_n≠c

⇒ {f(x)}→e n →+∞

DEF TOPOLOGICA / PER INTORNI DI LIMITE

lim_x→cf(x)=e ⇔

∀V^e intorno di e, V^c intorno di c

∃U c intorno di c

∋ ∀x∈Oc\{c}⇒ f(x)∈V^e

• lim PUNTO DI PUNTO

lim_x→cf(x)=e c,e∈ℝ

⇔ ∀ε>0 ∃δ>0: ∀x∈(c-δ, c+δ), x≠c ⇒ |f(x)-e|<ε

• lim INFINITO CON IL PUNTO

lim_x→cf(x)=e c,e∈ℝ

⇔ ∀M>0 ∃H>0 : ∀x>M ⇒ f(x)>H

UNICITÀ del LIMITE

se lim a_n = l allora l è unico

dim per assurdo e l₂ è unico l₁ ≠ l₂ ∀ε > 0 ∃N₁∈ℕ : |a_n - l₁| < ε ∀n > N₁ con N₂ > N₁ ∀ε > 0 ∃N₂∈ℕ : |a_n - l₂| < ε